1、MATHS 全国中等职业技术学校通用教材 第三章 函数 假设某种细胞的裂变过程是：第一次由1个分裂成2个，第二次由2个分裂成4个，如此不断分裂下去，第x次分裂后产生y个细胞。这里，变量y和x之间存在怎样的关系？当学习了本章的函数知识后，我们将找到答案。初中阶段，我们已学过正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数，本章里我们将学习另外三种函数。在此之前，我们需要运用集合的知识来进一步理解函数的概念。教学要求 学会用函数的概念观察、认识、分析客观世界中变量之间的关系，理解函数是变量之间关系的数学模型。学会用恰当的方法（解析法、列表法、图像法）表示函数，会解读用列表法与图像法表示的函数关系的实际含
2、义。会求一些简单函数的定义域。理解函数值的概念，并学会用观察与分析的方法得到一些简单函数的值域。会用描点法画简单函数的图像。会通过观察与分析，判断函数的奇偶性、单调性，并能利用单调性确定函数的最大值或最小值。掌握实数指数幂的运算法则，能熟练地使用计算器求幂值。了解由指数式引入对数概念的过程，理解对数的含义，掌握对数的运算法则，能熟练地使用计算器求对数值。初步学会运用函数知识理解和解决简单实际问题。掌握由图识性、数形结合的数学思想方法，了解幂函数、指数函数、对数函数模型的实际背景，理解它们的概念，了解它们的图像特征和性质，并能够将这些知识用于解释生活或生产中有关指数增长、指数衰减以及对数增长的问
3、题。3.1函数的概念及其表示 教学要求及目标 学会用函数的概念观察、认识、分析客观世界中变量之间的关系，理解函数是变量之间关系的数学模型。学会用恰当的方法（解析法、列表法、图像法）表示函数，会解读用列表法与图像法表示的函数关系的实际含义。会求一些简单函数的定义域。理解函数值的概念，并学会用观察与分析的方法得到一些简单函数的值域。会用描点法画简单函数的图像。教学重点 学会用恰当的方法（解析法、列表法、图像法）表示函数，会解读用列表法与图像法表示的函数关系的实际含义。会求一些简单函数的定义域。理解函数值的概念，并学会用观察与分析的方法得到一些简单函数的值域。会用描点法画简单函数的图像。教学难点 会
4、求一些简单函数的定义域。理解函数值的概念，并学会用观察与分析的方法得到一些简单函数的值域。会用描点法画简单函数的图像。教学内容 函数的概念 函数的表示方法 函数关系的建立 教学时间 4学时3.1函数的概念及其表示 知识回顾我们在初中已经初步接触了有关函数的一些概念：变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量常量 在一个变化过程中，数值保持不变的量函数与自变量 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么变量y称为变量x的函数，x称为自变量。正比例函数 形如 的函数反比例函数 形如 的函数一次函数 形如 的函数二次函数 形如 的函数 (0)y
5、kx k(0)kykx(0)ykxb k2(0)yaxbxc a 实例考察请根据初中学过的知识，思考下列实例中的两个变量之间的函数关系，写出相应的函数解析式及自变量的取值范围（用不等式表示），并求出表格内相应的函数值。面积正方形面积y是边长x的函数，可表示为y=自变量x的取值范围为x3510100y 个人所得税按照我国税法规定，个人月收入的应纳税所得额中，超过2000元不超过5000元的部分，需缴纳15%的个人所得税。设某人月收入的应纳税所得额为x元 ，其中2000元到5000元部分个人缴纳的所得税为y元。这里y是x的函数，可表示为y=自变量x的取值范围为(20005000)x在以上两例中，当
6、自变量x在取值范围内取一个确定的值时，函数y有几个值与之对应？x2100300040005000y函数的概念在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数，记作其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定义域，与x的值相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域。(),yf x xD(),yf x xD例如，正比例函数 的对应关系是“乘以k”，定义域是 ，值域也是二次函数 的对应关系是“求平方再加c”，定义域是 ，值域是从函
7、数的概念可知，函数的定义域和对应关系是构成函数的两大要素。函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就随之确定了。(0)ykx k,2yxc,)c 例题解析例 求下列函数的定义域：22312312yxxxyxyxx 解：由于x为任何实数时，函数都有意义，所以这个函数的定义域为 函数的定义域不等式组 得所以这个函数的定义域为,3020 xx2,3xx2,33,函数的定义域不等式组得所以这个函数的定义域为1020 xx 12x1,2课堂练习题知识巩固1 P621、写出反比例函数和一次函数的一般形式，并确定它们的定义域和值域。2、用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地，矩形一边长为x米，面积为y平方米
8、，请写出y关于x的函数关系式，并求它的定义域。3、求下列函数的定义域：311yxxyx函数的表示方法表示两个变量之间的函数关系的方法有解析法、列表法和图像法。正比例函数 ，反比例函数 ，一次函数 ，二次函数 都是用解析式来表示两个变量之间函数的关系。这种用解析式来表示函数的方法称为解析法。(0)ykx k(0)kykx(0)ykxb k2(0)yaxbxc a所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。列表法表示的函数便于直接查找函数的对应值，但有时会数据不会。所谓图像法是指在平面上用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。函数的图像法表示直观现象，能清晰地反映函数关系及变化趋势，但有
9、时不可能把函数的图像全部画出。例题解析例1 已知二次函数 求 的值。解：当x=0时，当x=1时，当 时，当x=a-1时，223,f xxx 10,1,12ffff a 2002 033f 2112 1 30f 12x 21117232224f 22112134f aaaa 例2（略）例3 用描点法作函数 的图像。解：函数的定义域为 。列表：21yx,00,x -4-2-1-0.5 0.5 124y 0.1 0.314410.3 0.1 在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数 的图像，如图所示。21yx 描点法作图流程：确定定义域列表描点连线课堂练习题 知识巩固2 P661
10、、已知函数 ，求 的值。2、用描点法作函数 的图像。3、作出函数 的图像。212xf xx 3,1,02,20fffff aa1yx21,0,1,2,3yxx函数关系的建立用数学方法解决问题时，常常需要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式（代数式、方程、表、图或其他方法）表示出来。通常，这个过程称为建立数学模型，简称建模。函数模型是数学模型中最常用的一种。由于实践中的大量问题时两个变量之间的关系问题，因此建立两个变量之间的函数关系（即函数模型）是很重要的。例题解析例1 如图，把截面直径d为10厘米的圆形木料锯成矩形木料。设矩形的一条边长是x厘米，另一条边长是y厘米，试写出y关于x的函数关系式
11、。解：如图，因为把截面直径d为10厘米的圆形木料锯成矩形木料后，矩形的对角线长就是圆形的直径，即10厘米，所以由于矩形一条边长x必须满足0 x10。因此，所求函数为2100yx2100,0,10yxx例2 网球赛记分规则如下：每局打四个球，赢第一、二个球，每个得15分，赢第三、四个球，每个得10分。双方得分之和满50分为一局。以x表示打第几个球，y表示双方累计得分和。试用列表法表示y与x之间的函数关系y=f(x)，并写出函数的定义域和值域。解：y与x之间的函数关系y=f(x)如下表：所以，函数y=f(x)的定义域是 ，值域是 。x1234y153040501,2,3,415,30,40,50在
12、实际问题中，有时两个变量之间的对应关系式要分几段来表示。例如，在国内投寄外埠平信，每封信的重量不超过20克，付邮资0.8元；超过20克而不超过40克，付邮资1.6元；超过40克而不超过60克，付邮资2.4元。设平信的重量为x克(0 x60)，应付邮资为y元，则有0.80,201.620,402.440,60 xyxx在自变量的不同取值范围内，函数的对应法则不同。我们把这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是将自变量的几个取值范围合并而成，它的图像要在同一个直角坐标系内逐段一一画出。例题解析例3 已知函数 。把f(x)写成分段函数的形式。求f(-2),f(5)的值。解：函数的定义域为 ，函数f
13、(x)写出分段函数的形式为 23f xx,32323232xxf xxx 因为 所以f(-2)=(-2)(-2)+3=7 因为 所以f(5)=25-3=7322352对分段函数特别要注意以下几个问题：分段函数在形式上，尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数；分段函数的图像一般由多于一段的线段或曲线段以及点组成，同样也应该把它们看做一个整体，而不是几个图像；在求分段函数的函数值时，需要注意的是，对给定的自变量，首先要确定它所在范围，再根据该范围的对应法则（即函数表达式），计算函数值。课堂练习题知识巩固3 P692、已知一半径为r厘米的圆，若该圆的半径增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y关于x的函数关系式。3、设 试确定函数f(x)的定义域；求f(-2),f(0),f(1.5),f(3)的值。1010212xxf xxxx
