1、分布函数及其基本性质分布函数及其基本性质 定义定义 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，函数是任意实数，函数()F xP Xx称为称为 X 的的分布函数分布函数。对于任意的实数对于任意的实数 a,b(a b)，有：，有：()().P aXbP XbP XaF bF aabXo()F xP Xx0 xX定义域为：定义域为：（，）；）；值域为：值域为：0,1。Xx函数函数 F(x)的值等于的值等于 X 的取值落入区间的取值落入区间(-,x 内的内的概率值。概率值。3）(1)()()P XbF b)()(aFbF0 (ab(3)()1()1()P XbP XbF b (2)()
2、()()P aXbP XbP Xa例例 1 设随机变量设随机变量 X 的分布列为：的分布列为：求求 X 的分布函数的分布函数.Xpk21 -1 2 34141解：解：当当 x -1 时，满足时，满足XxX的的集合为，0 xX-1x()0.F xP XxP 当当12,x 时满足满足 Xx 的的 X 取值为取值为 X=-1,1()1.4F xP XxP X xX-1x113()12.424F xP XxP XX 或Xpk214141-1 2 3当当23,x 时满足满足 Xx 的的 X 取值为取值为 X=-1,或或 2，同理当同理当3,x时()1231.F xP XxP XXX 或或0,1,1,12
3、,4()3,23,41,3.xxF xxx-1 0 1 2 3 x1111(),224P XF3553311()(),2222442PXFF32 XP-1 0 1 2 3 x1(3)(2)33110.44FFP X,1,2,kkP Xxpk分布函数分布函数 F(x)在在 x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其跳跃值为处有跳跃，其跳跃值为 pk=PX=xk.设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布率为的分布率为由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 X 的分布函数为的分布函数为()kkkkxxxxF xP XxP Xxp1214141-1 2 3Xpk2141412.2 多维随机变量、多维随
4、机变量、联合分布列联合分布列 和边际分布列和边际分布列 如果每个试验结果可以有n个数值与之对应，这是就称这种对应关系是一个n维随机变量，也称为n维随机变量。定义2.2 若 是定义在同一样本空间上的n个离散型随机变量，则 称为n维离散型随机变量或随机向量。12,n，12(,)n，一、二维分布函数及其基本性质一、二维分布函数及其基本性质()X()Y 定义定义【2.1】设 X,Y 是定义在同一个概率空间上的两个随机变量，则(X,Y)称为二维随机向量二维随机向量。定义定义【2.2】设是一个二维随机变(,)X Y称为二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数，(,)X Y随机变量和的联合分布函数联合分
5、布函数或二维分布二维分布函数函数。XY量，,x y对于任意实数，二元函数或称为(,)()(),F x yPXxYyP Xx Yy记成（1）二维随机变量也称为二维随机向量二维随机向量。是一个整体，（3）在集合上，说明：说明：XY因为与之间是有联系的。平面上的随机点。(,)X Y二维随机变量可看成（2）二维随机变量(,)(),()()X YXY二维随机变量举例二维随机变量举例1考察某地区成年男子的身体状况：令：该地区成年男子的身高X：该地区成年男子的体重Y则就是一个二维随机变量。(,)X Y2对一目标进行射击：令：弹着点与目标是水平距离X：弹着点与目标的垂直距离Y则就是一个二维随机变量。(,)X
6、Y3考察某地区的气候状况：令：该地区的温度X：该地区的湿度Y则就是一个二维随机变量。(,)X Y4考察某钢厂钢材的质量：令：钢材的含碳量X：钢材的含硫量Y则就是一个二维随机变量。(,)X Y分布函数的几何意义分布函数的几何意义(,)X Y表示平面上的随机点落在以(,)F x y(,)x y(,)X YyxO(,)x y为右上顶点的无穷矩形中的概率无穷矩形中的概率。重要公式重要公式设，则1212,xxyy22211211(,)(,)(,)(,)F xyF xyF xyF xy11(,)xy21(,)xy22(,)xy12(,)xy(,)X Y1y2y1x2xyxO1212,P xXxyYy分布函
7、数的基本性质分布函数的基本性质（1）是变量 的不减函数，即(,)F x y,x y12(,)(,)F x yF x y 12(,)(,)F xyF xy 对任意固定的，y对任意固定的，x0(,)1F x y（2）且对于任意固定的，y(,)0Fy对于任意固定的，x(,)0F x (,)0,(,)1FF 12xx 当时，12yy 当时，（3）关于左连续，关于也左连续(,)F x yyx22211112(,)(,)(,)(,)0F xyF xyF xyF xy（4）11(,)xy21(,)xy22(,)xy12(,)xy(,)X Y1y2y1x2xyxO说明说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的更
8、进一步地，还可以证明更进一步地，还可以证明如果某一二元函数具有这四条性质，最基本的性质，数都具有这四条性质。即任何二维随机变量的分布函么，那它一定是某一二维随机变量的分布函数。二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义定义【2.3】设二维随机变量的取(,)X Y 定义定义【2.4】设 为二维离散型随机(,)X Y则称变量，的（联合）分布列的（联合）分布列。(,1,2,)ij (,)X Y为二维离散型随机变量二维离散型随机变量12,jyyy为值是有限个或可列无穷个，维离散型随机变量维离散型随机变量。(,)X Y则称为二二X12,ixxx的取值为；Y的取值,jiijyYxXPp二维离散型随机变量的
9、联合分布列二维离散型随机变量的联合分布列的联合分布列可以用下表表示(,)X Y二维离散型随机变量联合分布列的性质二维离散型随机变量联合分布列的性质性质性质1对任意的,(,1,2,)iji j 性质性质21ijijp ，有,0ijijpP Xx Yy例例1将两个球等可能地放入编号为1，0,0P XY令：放入1号盒中的球数；X：放入2号盒中的球数.Y试求的联合分布列。(,)X Y解解的可能取值为0，1，2X的可能取值为0，1，2Y211392，3的盒子中。0,1P XY222391,2P XY()0P 0,2P XY211392,0P XY211391,0P XY222392,1P XY()0P
10、1,1P XY222392,2P XY()0P 由此得的联合分布列为(,)X Y Y X012091929119292029100例例2将一枚硬币掷三次，令：三次抛掷中正面出现的次数；X：三次抛掷中正面出现的次数与反面出现的Y(,)X Y试求的联合分布列。解解的可能取值为0，1，2，3X的可能取值为1，3Y次数之差的绝对值。0,1P XY()0P 0,3P XY18 1,1P XY38 1,3P XY()0P 2,1P XY38 2,3P XY()0P 3,1P XY()0P 18 3,3YXP由此得的联合分布列为(,)X Y11,|4P Xi YjP Yj Xi P Xii解由题意知，的取值
11、情况,Xi Yj整数，且是等可能的；1,2,3,4i 由乘法公式求得的分布律(,)X Y1,2,3,4,iji其中可能地取值，可能地取一整数值。例例3设随机变量在1,2,3,4四个数中等X(,)X Y试求的分布列。ji取不大于的正Y另一个随机变量在 中等X1XY 1 2 3 41234000410081810121121121161161161161二维离散型随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的联合分布函数定义定义【2.5】设 为二维离散型随机变(,)X Y为的联合分布函数联合分布函数。(,)X Y量，其联合分布律为），（,2,1,jiyYxXPpjiij,(,)ijijxx yyF x
12、 yp二、边沿分布二、边沿分布定义定义【2.6】若是一个二维随机变(,)X Y量，因此，称 X（或 Y）的分布函数为二维随机变量(X,Y)关于 X（或 Y）的边沿分布函数边沿分布函数。边沿分布也称为边沿分布也称为边缘分布边缘分布或或边际分布边际分布XY则它的分量（或）是一维随机变量,XY分量（或）也有分布函数。已知联合分布列求边沿分布列已知联合分布列求边沿分布列设二维随机变量的联合分布列为(,)X Y则随机变量的分布列为XY同理，随机变量的分布列为(1,2,)i (1,2,)j iixXPp），（,2,1,jiyYxXPpjiijjjyYPp1,jjiyYxXP1,ijiyYxXP，1jijp
13、,1iijp及的分布列也可以由下表表示XY 边沿分布边沿分布 边沿分布边沿分布联合分布联合分布例例2从1,2,3,4这4个数中随机取出一个，YX 则当时，ij,0P Xi Yj当时，由乘法公式得ij,ijPP Xi YjP Xi P Yj Xi解解与的取值都是1,2,3,4，YXX记所取的数为，数，XY列和及的边沿分布列。X再从1 到中随机取出一个,Y记所取的数为(,)X Y试求的联合分布且ii41141再由得与及的边沿分布列为(,)X YYX1jijipp1iijjpp(,)()()ijijPabPa Pb成立，则称随机变量 相互独立相互独立。和【定义2.7】设离散型随机变量 的可能取值为
14、可能取值为 ,如果对任意的 ,有(1,2,),ia i,ija b(1,2,)jbj 三、独立性三、独立性例例1 掷两颗骰子，用与分别表示第一颗与第二颗的点数。与是否独立。123456111111136363636363611111123636363636361111113363636363636111111436363636363611111153636363636361111116363636363636 111111666666jpip161616161616可见对所有i,j有pij=pipj故与是相互独立的。Y X12316191181231例例2设二维离散型随机变量的(,)X Y联合
15、分布列为Y试确定常数，使得与相互独立。,X Y X123 ip161911813123131jp2191181解：由表得与的边沿分布律为YX若与相互独立，则有XYijijpp p(1,2;1,2,3)ij11,29P XY1139 29 由此得11,318P XY1 3P XP Y11318 19 由此得而当时，联合分布列及边沿分布列21,9921YPXP可以验证，此时有ijijpp p(1,2;1,2,3)ij即当时，与相互独立。21,99XY例例3将两个球等可能地放入编号为:X1,2,3的三个盒子中，放入1号盒中的球数；放入2号盒中的球数:Y解：试判断随机变量与是否相互独立？XY可能取值为0,1,2;X可能取值为0,1,2;Y与的联合分布列及边沿分布列为XY令1,20P XY由于 所以，随机变量与不相互独立。XY919421YPXP
