1、弹性地基梁计算原理（补充内容一）弹性地基梁计算原理（补充内容一）n概述概述 柱下条形基础、筏板基础的简化计算方法都假定基础柱下条形基础、筏板基础的简化计算方法都假定基础是无限刚性，且不考虑上部结构刚性的影响。是无限刚性，且不考虑上部结构刚性的影响。如条形基础简化计算方法的适用条件：地基均匀、上如条形基础简化计算方法的适用条件：地基均匀、上部结构刚度好、基础梁部结构刚度好、基础梁hl/6可以假定地基反力按直线分可以假定地基反力按直线分布。若不满足上述条件应考虑地基梁和地基变形协调条布。若不满足上述条件应考虑地基梁和地基变形协调条件，以确定地基梁的实际反力分布，使之尽量符合实际件，以确定地基梁的实
2、际反力分布，使之尽量符合实际情况。情况。下面介绍常用的弹性地基模型和常用的分析方法。下面介绍常用的弹性地基模型和常用的分析方法。注意：本节介绍的方法，仅考虑基础本身刚度作用，而注意：本节介绍的方法，仅考虑基础本身刚度作用，而忽略上部结构刚度的影响。忽略上部结构刚度的影响。n 一、弹性地基模型地基模型：用以描述地基的数学模型。下面介绍的地基模型应注意其适用条件。1.文克尔地基模型适用条件：抗剪强度很低的半液态土(如淤泥、软粘土等)地基或塑性区相对较大土层上的柔性基础，采用该方法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该方法。基本假定：地基上任一
3、点所受的压力强度与该点的地基沉陷s成正比，关系式如下:P=ksP=ksk地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度(kNm3)；p地基上任点所受的压力强度(kPa)；s p作用位置上的地基变形(m)。n 基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。地基基床系数表n 这个假定是文克勒于这个假定是文克勒于1867年捉出的故称文克勒地基模型。年捉出的故称文克勒地基模型。该模型计算简便，只要该模型计算简便，只要k值选择得当，可获得较为满意的结值选择得当，可获得较为满意的结果。地基土越软弱，上的抗的强度越低，该模型就越接近果。地基土越软弱，上的抗的强度越低
4、，该模型就越接近实际情况。实际情况。n 缺点：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模缺点：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模型地基变形只发生在基底范围内，而基底范围外没有地型地基变形只发生在基底范围内，而基底范围外没有地基金形，这与实际情况是不符的，使用不当会造成不良后基金形，这与实际情况是不符的，使用不当会造成不良后果。果。2.弹性半空间地基模型弹性半空间地基模型 适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性基础。基础。n 原理：原理：弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向同性的弹性
5、半空间体。当同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上作用在弹性半空间体表面上时时,根据布氏的解：根据布氏的解：ErQS )1(2 11ln1lnln222bababaababbaFii矩形均布荷载作用下矩形面积中点矩形均布荷载作用下矩形面积中点的竖向位移计算的竖向位移计算n 一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方法：法：n 首先把受荷面积划分成首先把受荷面积划分成n个矩形网格，各网格的合力为个矩形网格，各网格的合力为Pi=piAi作用于网格的形心。柔度系数作用于网格的形心。柔度系数ij为为j网格中点作网格中点作用单位力（即用单位力（
6、即Pj=1）作用下引起）作用下引起i网格中点的沉降。此网格中点的沉降。此刻刻j网格上均布荷载网格上均布荷载Pj=1/Aj，按叠加原理，按叠加原理，n个网格的个网格的基底压力引起基底压力引起i网格中点的总沉降为：网格中点的总沉降为：n ji 地基地基 柔度系数求解的网格划分柔度系数求解的网格划分 1n21nn n2 n12n 22 211n 12 11n211nin22i211i1iKskPPsPPPsssn)2,1j,n2,1i(ApApAps 或写成：或写成：简写成：简写成：示为：示为：对于整个基础用矩阵表对于整个基础用矩阵表n ji 1 K ijiii2ijijr1Fa1E1 可用布氏公式
7、得到。可用布氏公式得到。柔度系数柔度系数 ji )yy()xx(r2ji2jiij ji skP 1Ps K半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点，半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点，但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土的弹性模量和伯松比值较为准确。的弹性模量和伯松比值较为准确。n 3.分层地基模型 分层地基模型即是我国地基基础规范中用以计算基础最终沉降的分层总和法(图)。按照分层总和法，地基最终沉降量等于压缩层范围内各计算分层在完全侧限条件下的压缩量之和。整个地基的压力和变形可以写成下式：km
8、1kskijkijij00hE 按下式计算：按下式计算：地基柔度矩阵，系数地基柔度矩阵，系数基底附加压力列向量；基底附加压力列向量；PPS压缩层下限压缩层下限n ji hkijk分层地基模型分层地基模型 km1kskijkijij00hE 按下式计算：按下式计算：地基柔度矩阵，系数地基柔度矩阵，系数基底附加压力列向量；基底附加压力列向量；PPS式中：式中：m压缩层厚度内的分层数；压缩层厚度内的分层数；hki网格中点下第网格中点下第k土层的厚度，土层的厚度，m；Eski网格中点下第网格中点下第k土层的压缩模量，土层的压缩模量，Kpa；ijkj网格中点作用单位集中附加压力引起网格中点作用单位集中附
9、加压力引起i网格中点下第网格中点下第k土层中点的附加应力，土层中点的附加应力，Kpa。该模型的计算结果比较符合实际情况，缺点：没有考虑低级该模型的计算结果比较符合实际情况，缺点：没有考虑低级图的塑性变形。图的塑性变形。n 地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。分析前应根据何在的大小和地基的实际情况选用合适分析前应根据何在的大小和地基的实际情况选用合适的地基模型。的地基模型。二、静力平衡和变形协调条件二、静力平衡和变形协调条件在地基梁板分析中，首先要选择合适的地基计算模型，在地基梁板分析中，首先要选择合适的地基计算模型，同时基础还应满足两个基
10、本条件：静力平衡和变形协同时基础还应满足两个基本条件：静力平衡和变形协调条件。调条件。1.静力平衡条件：静力平衡条件：作用在基础上的荷载和地基反力向平衡：作用在基础上的荷载和地基反力向平衡：F=0M=02.变形协调条件：变形协调条件：i=si表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和变形。变形。文克勒地基上梁的计算文克勒地基上梁的计算一、文克勒地基上梁的解析式：一、文克勒地基上梁的解析式：下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到下面分别
11、讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到集中力或集中力矩作用时的解答。集中力或集中力矩作用时的解答。短粱短粱(即刚性梁即刚性梁)。对于。对于/4的条形基础，可按一般的独立的条形基础，可按一般的独立基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。1)长梁解长梁解 梁的挠度随加荷点的距离增加而减小当梁端离加荷点距离梁的挠度随加荷点的距离增加而减小当梁端离加荷点距离为无限远时，梁端挠度为零。在实际应用时，只要为无限远时，梁端挠度为零。在实际应用时，只要L，可将，可将其当作长梁
12、处理，视梁端挠度为零。其当作长梁处理，视梁端挠度为零。(1)无限长梁受集中力无限长梁受集中力P0的作用的作用(向下为正向下为正)设集中力作用点为坐标原点设集中力作用点为坐标原点0，当，当x时时0，从通解式可得：，从通解式可得：C1C20。于是梁的挠度方程为。于是梁的挠度方程为由此可得：由此可得：20033PdxdEIQx 2kbPC0 得到：得到：x0 x0 x0 x20 x0A2bPkpD2P-QC4P-MB2kbpA2kbp 公式归纳如下：公式归纳如下：XCOSeD)xsin-XCOS(eCxsineB)xsinXCOS(eAXXXXXXXX 式中：式中：无限长梁的挠度无限长梁的挠度、转角
13、、转角、弯矩、弯矩M、剪力分布见下图、剪力分布见下图无限长梁的挠度无限长梁的挠度、转角、转角、弯矩弯矩M、剪力分布图、剪力分布图（2）无限长梁受集中力偶）无限长梁受集中力偶M0的作用的作用(顺时针方向为正顺时针方向为正)以集中偶力偶以集中偶力偶M0作用点为坐标原点作用点为坐标原点o，当，当x时时0，从，从通解式可得：通解式可得：C1C20。地基反力对原点时反对称，所以。地基反力对原点时反对称，所以x=0,=0,得到得到C3=0,于是梁的挠度方程写成：于是梁的挠度方程写成：xeCx sin4 M02MM0022 xdxdEIkbMC204 由此得到：由此得到：这样，得到受集中力偶这样，得到受集中
14、力偶M0作用时长粱的挠度公式（作用时长粱的挠度公式（x0）：）：xekbMx sin20 x20 x0 x0 x30 x20BbMkpA2M-QD2MMCkbMBkbM 公式归纳如下：公式归纳如下：若有多个荷载作用于长梁时可用叠加原理求得其内力。若有多个荷载作用于长梁时可用叠加原理求得其内力。2)半长梁解半长梁解 在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，此种基础梁称为半无限长梁，如条形基础的梁端作无限长，此种基础梁称为半无限长梁，如条形基础的梁端作用有集中力用有集中力Po和集中力偶和集中力偶M0的情况。可将坐标原点取在受力的情
15、况。可将坐标原点取在受力端，当端，当x时时0，从通解式可得：，从通解式可得：C1C20。当。当x0时，时，MM0 ,Q=-P。，由此可求得：。，由此可求得：)D(Pb2kp)2CP(Q)B(P1M)2AP(kb2)D(Pkb20 x00 x00 x00 x020 x0 xxxxxCMBMAMDMCM 公式归纳如下：公式归纳如下：（3）有限长梁解）有限长梁解用无限长梁的解，按两步骤叠加求解用无限长梁的解，按两步骤叠加求解有限长梁的解可采用有限长梁的解可采用Heteyi集中力作用下有限长梁的计算集中力作用下有限长梁的计算公式：公式：矩、剪力系数。矩、剪力系数。分别为长梁的挠度、弯分别为长梁的挠度、
16、弯、有限长梁上集中荷载；有限长梁上集中荷载；基础梁宽；基础梁宽；QMPbQPQMPMkbP 00002十字交叉梁基础的设计可（补充内容二）一、应用范围：n 当单柱的上部荷载大，按条形基础设计无法满足地基承载力要求时，则可采用交叉条形基础，即十字交叉基础，使基础底面面积和基础整体刚度相应增大，同时可以减小地基的附加应力和不均匀沉降。二、设计要点：二、设计要点：十字交叉梁式的条形基础计算与上述条形基础一样，也根据十字交叉梁式的条形基础计算与上述条形基础一样，也根据其其L值，按无限长梁、有限长梁或短梁进行。所不同的就值，按无限长梁、有限长梁或短梁进行。所不同的就在于两个方向条形基础在交叉节点上的荷载
17、要考虑如何在纵在于两个方向条形基础在交叉节点上的荷载要考虑如何在纵横两个条形基础上分配。横两个条形基础上分配。十字交叉梁，为超静定空间结构，应用弹性理论精确计算十字交叉梁，为超静定空间结构，应用弹性理论精确计算十分复杂，通常采用简化计算法。十分复杂，通常采用简化计算法。在基础交叉节点上，将柱荷载在纵横两个方向条形基础上进在基础交叉节点上，将柱荷载在纵横两个方向条形基础上进行分配，同时应满足变形协调关系，即分配后的荷载分别作行分配，同时应满足变形协调关系，即分配后的荷载分别作用于纵向与横向基础梁上时，纵、横双向条形基础在各交叉用于纵向与横向基础梁上时，纵、横双向条形基础在各交叉节点处的变形相等。
18、节点处的变形相等。简化计算时，假定纵、横梁的抗扭刚度均为零。每个交叉简化计算时，假定纵、横梁的抗扭刚度均为零。每个交叉节点仅由下列两个方程组成。节点仅由下列两个方程组成。Ni节节i点的柱荷载；点的柱荷载；Nix节点分配给节点分配给x向条基的荷载向条基的荷载;Niy节点分配给节点分配给y向条基的荷载向条基的荷载;Wixi节点处节点处x向条基的挠度；向条基的挠度；Wiyi节点处节点处y向条基的挠度向条基的挠度.对于无限长梁：对于无限长梁：半无限长梁：半无限长梁：KbsNW2 KbNW2 对于无限长梁：对于无限长梁：半无限长梁：半无限长梁：KbsNW2 KbNW2 S特征长度，特征长度，S=1/；为
19、柔度指数。为柔度指数。mKbIESc,414 K基床系数。基床系数。KN/m3；E混凝土弹性模量，混凝土弹性模量，KPa。n 三、三种节点荷载分配为：n 十字交叉基础的节点有三种：十字节点、T字节点7字节点。由上面公式，可以求解任意节点i柱荷载分配给纵、横方向条基的荷载。边柱节点边柱节点中柱节点中柱节点角柱节点角柱节点ByByByByBxBxBxn 中柱节点中柱节点基本方程：基本方程：解此联立方程得：解此联立方程得：边柱节点边柱节点中柱节点中柱节点角柱节点角柱节点ByByByByBxBxBxn 边柱节点边柱节点基本方程：基本方程：解此联立方程得：解此联立方程得：边柱节点边柱节点中柱节点中柱节点角柱节点角柱节点ByByByByBxBxBxin 角柱节点角柱节点基本方程：基本方程：解此联立方程得：解此联立方程得：边柱节点边柱节点中柱节点中柱节点角柱节点角柱节点ByByByByBxBxBx四、节点荷载的调整四、节点荷载的调整1.计算调整前的地基平均反力：计算调整前的地基平均反力：
