1、 圆圆的的对称性对称性 -垂径定理的应用垂径定理的应用 垂径定理垂径定理三种语言三种语言OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.垂径定理的逆定理如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要只要具备具备其中其中两个两个条件条件,就可就可推出其余三个推出其余三个结论结论.OABCDM CD是直径（过圆心）是直径（过圆心）,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.CDO MAB平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.判断：判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这
2、条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）ODCBAM注意：在解决类似问题时常常先作出M，AO，再用到垂径定理和勾股定理垂径定理垂径定理三角形三角形EOABDC已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E.若半径若半径R=2，AB=,求
3、求OE、DE 的长的长.若半径若半径R=2，OE=1，求，求AB、DE 的长的长.由由、两题的启发，你还能编出什么其他问题？、两题的启发，你还能编出什么其他问题？32推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。MOABNCD在在 O半径为半径为10，弦，弦AB12，CD16，且，且ABCD求求AB与与CD之间的距离之间的距离 分析：本题目属于分析：本题目属于 “图形不明确型图形不明确型”题题 目，应分类求目，应分类求解解 (如右图如右图)ABODCEF在同圆或等圆中在同圆或等圆中两个圆心角两个圆心角两条弧两条弧两条弦两条弦两条弦的弦两条弦的弦心距心距有一组量相等有一
4、组量相等它们所对应的它们所对应的其余各组量都其余各组量都分别相等分别相等BD例例3：如图，：如图，P是是 O外一点，射外一点，射线线PAB，PCD分分别交别交 O于于A、B和和C、D，已知，已知AB=CD，求证：求证：PO平分平分BPDOPACFEOPABCD若把上题改为：若把上题改为：P是是 O内一点，内一点，直线直线APB，CPD分别交分别交 O于于A、B和和C、D，已知，已知AB=CD，结论还成立吗？结论还成立吗？FEA AB BE E1.1.连结连结AB;AB;2.2.作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线CD,CD,交交ABAB与点与点E;E;作法作法:点点E E就是所求就是所求ABA
5、B的中点的中点.分析分析:要平分要平分AB,AB,只要画垂直于弦只要画垂直于弦ABAB的直径的直径.而这条直径应在弦而这条直径应在弦ABAB的的垂直平分线上垂直平分线上.因此画因此画ABAB的垂直平的垂直平分线就能把分线就能把ABAB平分平分.平分弦所对的弧C CD DA AB BF FG G错在哪里？错在哪里？1 1作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线CDCD2 2作作ATAT、BTBT的垂直平分线的垂直平分线EFEF、GHGH强调：强调：等分弧时一定要作等分弧时一定要作弧所对的弦弧所对的弦的垂的垂直平分线直平分线变式一：变式一：求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点变式一：变式一：求弧求弧A
6、BAB的四等分点的四等分点CDABEFGmn变式二：你能确定弧变式二：你能确定弧ABAB所在圆的圆心吗？所在圆的圆心吗？OABC ab方法：只要在圆弧方法：只要在圆弧上任意取三点，连上任意取三点，连结两条弦，画这两结两条弦，画这两条弦的垂直平分线，条弦的垂直平分线，交点即为圆弧所在交点即为圆弧所在圆的圆心圆的圆心破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。作图依据：A AD DO OE EC CB BA AD DO OE EC CB B例例4 4、如图，已知、如图，已知ABCABC内接于内接于O O，ADBCADB
7、C，D D为垂足，为垂足，AEAE平分平分OADOAD交交O O于于E E，求证：求证：CE=BECE=BE 拓展延伸：船能过拱桥吗 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶高拱顶高出水面出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高米、船舱顶部为长方形并高出水面出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座此货船能顺利通过这座拱桥吗？拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂
8、足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.3.在在 O中，若中，若CD AB于于M
9、，AB为为直径，则下列结论不正确的是（直径，则下列结论不正确的是（）4.已知已知 O的直径的直径AB=10，弦，弦CD AB，垂足为垂足为M，OM=3，则，则CD=.5.在在 O中，中，CD AB于于M，AB为直径，若为直径，若CD=10，AM=1，则，则 O的半径是的半径是 .OCDABMC A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM8133 3、过、过O O内一点内一点M M的最长弦长为的最长弦长为10cm10cm，最短弦长为，最短弦长为8cm8cm，那么，那么OMOM长为（长为（）A A3 B3 B6cm C6cm Ccm Dcm D9cm 9cm 414 4、如图，
10、、如图，O O的直径为的直径为1010，弦，弦ABAB长为长为8 8，M M是弦是弦ABAB上上的动点，则的动点，则OMOM的长的取值范围是（的长的取值范围是（）A A3OM5 B3OM5 B4OM5 4OM5 C C3OM5 D3OM5 D4OM54OM5ABOMA A5 5、已知、已知O O的半径为的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12，CD=16CD=16，则则ABAB和和CDCD的距离为的距离为 2 2或或14146 6、如图，已知、如图，已知ABAB、ACAC为弦，为弦，OMABOMAB于点于点M M，ONACONAC于点于点N N，BC=4BC=4，求，求M
11、NMN的长的长A AC CO OM MN NB B1、在、在 O中，中，OC垂直于弦垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则，则AC=，OC=。ABCOABCO58432、在、在 O中，中，OC平分弦平分弦AB，AB=16，OA=10，则，则OCA=，OC=。1610906课堂练习：7 7、已知：如图，、已知：如图，O O中，中，ABAB为弦，为弦，OCABOCAB，OCOC交交ABAB于于D D，AB=6cm AB=6cm，CD=1cm.CD=1cm.求求O O的半径的半径.A AB BO OC CD D1 1课堂小结：课堂小结：本节课探索发现了本节课探索发现了垂径定理垂径定理的的推论推论1和推
12、和推论论2,并且运用推论并且运用推论1等分弧等分弧。要分清推论要分清推论1的的题设题设和和结论结论,即已知什么条即已知什么条件件,可推出什么结论可推出什么结论.这是正确理解应用推论这是正确理解应用推论1的关键的关键;例例3是基本几何作图是基本几何作图,会通过作会通过作弧所夹弦弧所夹弦的的垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化转化思想思想在这里的运用在这里的运用.青少年励志名言毕业班励志格言毕业班励志格言1、为了最好的结果，让我们把疯狂进行到底。2、当今之世，舍我其谁！3、有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；4、苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。5、把命运掌握在
13、自己手中。6、机遇永远是准备好的人得到的。7、无情岁月增中减，有味青春苦中甜。集雄心壮志，创锦绣前程。关于勤奋学习的名言关于勤奋学习的名言1、人生在勤，不索何获。张衡2、业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。韩愈3、天才就是无止境刻苦勤奋的能力。卡莱尔4、聪明出于勤奋，天才在于积累。华罗庚5、好学而不勤问非真好学者。6、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。7、我未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。8、世上无难事，只要肯攀登。毛泽东9、天才是不足恃的，聪明是不可靠的，要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的。坚持不懈的名言坚持不懈的名言1、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。伏尔泰2、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。佚名3、在希望与失望的决斗中，如果你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。普里尼4、坚持者能在命运风暴中奋斗。5、锲而不舍，金石可镂。6、有志者事竟成。7、耐心之树，结黄金之果。8、百败而其志不折。9、失败是块磨刀石。10、忍耐和坚持是痛苦的，但它会逐给你好处。11、骆驼走得慢，但终能走到目的地。12、耐心是一切聪明才智的基础。13、伟大的作品，不是靠力量而是靠坚持才完成的。14、勤勉。不浪费时间，该做就做。15、如果相信自己能够做到，你就能够做到。
