1、出题人：徐晓云2020年高考文科数学一轮复习大题篇-数列题型一等差数列、等比数列的交汇【例】记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列【解】(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列【思维升华】 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程【训练】已知公差不为0的等差数列an的前n项
2、和为Sn，S11，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比【解】(1)设数列an的公差为d，由题意可知整理得即an2n1.(2)由(1)知an2n1，Snn2，S416，S636，又S4SnS，n281，n9，公比q.题型二新数列问题【例】对于数列xn，若对任意nN，都 有xn2xn1xn1xn成立，则称数列xn为“增差数列”设an，若数列a4，a5，a6，an(n4，nN)是“增差数列”，求实数t的取值范围。【解析】数列a4，a5，a6，an(n4，nN)是“增差数列”，故得到an2an2an1(
3、n4，nN)，即2(n4，nN)，化简得到(2n24n1)t2(n4，nN)，即t对于n4恒成立，当n4时，2n24n1有最小值15，故实数t的取值范围是.【思维升华】 根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键题型三数列的求和1分组求和与并项求和【例】已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a22，a3a432.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnalog2an，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)设等比数列an的公比为q(q0)，则ana1qn1，且an0，由已知得化简得即又a10，q0，a11，q2，数列an的通项公式为
4、an2n1.(2)由(1)知bnalog2an 4n1n1，Tn(14424n1)(0123n1).2错位相减法求和【例】已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN+.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由已知可得，2，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1)2n1，an.(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，两式相减得，Tn622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)
5、2n1，Tn2(2n1)2n1.3裂项相消法求和【例】在数列an中，a14，nan1(n1)an2n22n.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.(1)【证明】nan1(n1)an2n22n的两边同时除以n(n1)，得2(nN+)，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列(2)【解】由(1)，得2n2，所以an2n22n，故，所以Sn.【思维升华】 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等【训练】已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1
6、)Sna3an2(tR)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.【解】(1)因为a11，且(t1)Sna3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2. ()当n2时，有6Sn1a3an12，()得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项a11，公差d3的等差数列，所以an3n2(nN+)(2)因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN+)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan1a2
7、b1.又b11也适合上式，所以bn(nN+)所以，所以Tn，.题型四数列与函数【例】数列an的前n项和为Sn，2Snan12n11，nN，且a1，a25，19成等差数列(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列an的通项公式；(3)设bnlog3(an2n)，若对任意的nN，不等式bn(1n)n(bn2)60恒成立，试求实数的取值范围【解】(1)在2Snan12n11，nN中，令n1，得2S1a2221，即a22a13，又2(a25)a119，则由解得a11.(2)当n2时，由得2anan1an2n，则1，又a25，则1.数列是以为首项，为公比的等比数列，1n1，即an3n2n.(3)由
8、(2)可知，bnlog3(an2n)n.当bn(1n)n(bn2)60恒成立时，即(1)n2(12)n60(nN)恒成立设f(n)(1)n2(12)n6(nN)，当1时，f(n)n60恒成立，则1满足条件；当1时，由于对称轴n0，则f(n)在1，)上单调递减，f(n)f(1)341满足条件，综上所述，实数的取值范围是1，)【思维升华】 数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法【训练】已知数列an满足a11，2an1an，数列bn满足bn2log2
9、a2n1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围【解】(1)由a11，an0，an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得，Tnn23n，m2n26n对任意正整数n都成立设f(n)2n26n，f(n)2n26n22，当n1或2时，f(n)的最大值为4，m4.即m的取值范围是4，)题型五数列与不等式【例】已知数列an中，a1，其前n项的和为Sn，且满足an(n2)(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn1.【证明】(1)当n2时，SnSn1，整理得Sn
10、1Sn2SnSn1(n2)，2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)可知，(n1)22n，Sn.当n1时，Sn1，方法一当n2时，Sn，S1S2S3Sn 11.原不等式得证方法二当n2时，S1S2S3Sn，1.原命题得证【思维升华 】数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到【训练】已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1a2，a32b36.(1)求数列an，bn的通项公式；(2
11、)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn0，所以Tn.又因为Tn在1，)上单调递增，所以当n1时，Tn取最小值T1，所以Tn62成立的正整数n的最小值【解】(1)由题意，得解得或an是递增数列，a12，q2，数列an的通项公式为an22n12n.(2)bnanan2n2nn2n，Snb1b2bn(12222n2n)，则2Sn(122223n2n1)，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1，则Snn2n12n12，解2n1262，得n5，n的最小值为6.4正项等差数列an满足a14，且a2，a42，2a78成等比数列，an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求
12、数列bn的前n项和Tn.【解】(1)设数列an的公差为d(d0)，由已知得a2(2a78)(a42)2，化简得，d24d120，解得d2或d6(舍)，所以ana1(n1)d2n2.(2)因为Snn23n，所以bn，所以Tnb1b2b3bn.5数列an的前n项和为Sn，已知a11，(2n1)an1(2n3)Sn(n1，2，3，)(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)【证明】an1Sn1SnSn，Sn1Sn，2，又a11，10，数列是以1为首项，2为公比的等比数列(2)【解】由(1)知，2n1，Sn(2n1)2n1，Tn132522(2n3)2n2(2n1)2n1，2T
13、n12322523(2n3)2n1(2n1)2n.得Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n1)2n(32n)2n3，Tn(2n3)2n3.6设数列an满足a1，an(n2，nN)(1)证明：数列为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设cn(3n1)an，证明：数列cn中任意三项不可能构成等差数列(1)【解】由条件，an11(n2，nN)，an11(n2，nN)，由a1知an0，an10.得，(n2，nN)，且0，是首项为，公比为的等比数列n1n，an.(2)【证明】由(1)得，cn(3n1)an3n1，(反证法)假设存在正整数l，m，n且1lmn，使得cl，cm，cn成等差数列
14、则2(3m1)3l3n2，即23m3l3n，则有23ml13nl，即23ml3nl1，则有3ml23nl(ml)1，即3ml(23nm)1.l，m，nN且1lmn，3mlN.lmn与lmn矛盾，故假设不成立，数列cn中任意三项不可能构成等差数列7设数列an的前n项和为Sn，且Snan1.(1)求数列an的通项公式；(2)若f(x) x，设bnf(a1)f(a2)f(an)，求数列的前n项和Tn.【解】(1)由Snan1得Sn1an11，两式相减得，Sn1Snan1an，即 an1an1an，即 (n1)，所以数列an是公比为的等比数列，又由a1a11得a1，所以ana1qn1n.(2)因为bn
15、f(a1)f(a2)f(an)12n，所以2，所以Tn22.8已知等差数列an的公差d0，a10，其前n项和为Sn，且a22，S3，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.(1)【解】由a10得an(n1)d，Sn，因为a22，S3，S4成等比数列，所以S(a22)S4，即(3d)2(d2)6d，整理得3d212d0，即d24d0，因为d0，所以d4，所以an(n1)d4(n1)4n4.(2)【证明】由(1)可得Sn12n(n1)，所以bn22，所以Tn2n2n1，所以Tn2n0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(
16、2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，则2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1，由，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.11若正项数列an的前n项和为Sn，首项a11，点P(，Sn1)在曲线y(x1)2上(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tn表示数列bn的前n项和，若Tna恒成立，求Tn及实数a的取值范围【解】(1)
17、由Sn1(1)2，得1，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以(n1)1，即Snn2，由公式an得an所以an2n1.(2)因为bn，所以Tnb1b2bn，显然Tn是关于n的增函数，所以Tn有最小值(Tn)minT1.由于Tna恒成立，所以a，于是a的取值范围是.12已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为9，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1cn(nN)(1)【解】设数列an的公差为d，则解得或(舍去)，所以ann1，Sn.又b1a12，b2a34，所以bn2n，Tn2n12.(2)【证明】因为anbn(n1)2n，所以Kn221322(n1)2n，所以2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，所以Knn2n1.则cn，cn1cn0，所以cn1cn(nN)17
