1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2020高考模拟卷高三理科数学（九）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数，其中为虚数单
2、位，则的虚部是（ ）ABCD【答案】B【解析】的虚部是故选：B2集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得：，即，故选：A3如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间内的频率为（ ）A0.2B0.4C0.5D0.6【答案】C【解析】数据落在区间内的产品数量为：22，22，27，29，30，共5个数据落在区间内的频率为故选：C4已知等比数列满足，则的值为（ ）A1B2CD【答案】A【解析】等比数列满足，又偶数项同号，故选：A5已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A1B1C3D7【答案】A【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点时，有最小
3、值，故选A6下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）ABCD 【答案】D【解析】四个函数均为偶函数，下面判断单调性：对于A，在区间无意义，故A错误；对于B，在区间上单调递减，故B错误；对于C，为周期函数，所以在上不具有单调性；对于D，是偶函数，又在上单调递增故选：D7的展开式中，的系数为（ ）A154B42C42D126【答案】B【解析】的通项为，当第一个因子取1时，的系数为；当第一个因子取时，的系数为；当第一个因子取时，的系数为；故系数为：故选：B8如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ）ABCD【答案】C【解析】此时，经第一
4、次循环得到的结果是：；经第二次循环得到的结果是：；经第三次循环得到的结果是：；由特例归纳总结：中最后一项的分母与的关系是分母，令，解得：，即需要时输出，故图中判断框内（1）和执行框的（2）处应填的语句分别是故选：C9关于函数，下列叙述有误的是（ ）A其图象关于对称直线对称B其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到C其值域是D其图象关于点对称【答案】D【解析】关于函数，令，求得，为函数的最小值，故A正确；由图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得的图象，故B正确；函数的值域为，故C正确；令，求得，可得函数的图象不关于点对称，故D错误；故选：D10某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师
5、培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ）A5400种B3000种C150种D1500种【答案】D【解析】分两步：第一步从5个培训项目中选取三个，共种情况；第二步5位教师分成两类：一类：1人，1人，3人，共种情况；一类：1人，2人，2人，共种情况；故情况数为：1500故选：D11如图，等边的边长为2，顶点，分别在轴的非负半轴，轴的非负半轴上滑动，为中点，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，的最大值为故选：B12已知函数，则函数（为自然对数的底数）的零点个数是（ ）A3B4C6D8【答案】
6、C【解析】函数的图象如图所示：令，则，先看与的交点情况，此时，与在上相切于点，与在上有一个交点，与在上有两个交点，一个横坐标为0，一个横坐标为负值，故可以取到负值，0，大于零小于1，共四个值，再看与的交点情况，取负值，不存在；取0，有一个；取大于零小于1，有三个解；取时，有两个解，一共6个解，故选：C第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知命题，都有，则为_【答案】，使得【解析】命题，都有，为，使得14如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为_【答案】【解析】由抛物线的顶点在原点，关于轴
7、对称，且过点，所以抛物线方程为，阴影区域的面积为，正方形的面积为1，点在阴影区域内的概率为故答案为：15已知三棱锥，为等边三角形，为直角三角形，平面平面若，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】由，平面平面，可知：平面，球心在经过的中心且垂直面的垂线上，也在线段的中垂面上，故二者交点即球心，所以外接球的表面积为，故答案为：16已知，为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交，两点，且，双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，设垂足为，易得，又，所以，而，故，在中，利用余弦定理可得：，即，得：，故渐近线方程为：三、解答题：
8、本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）的内角的对边分别为（1）若，求面积的最大值；（2）若，求的值【答案】（1）面积的最大值为；（2）【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得，结合均值不等式得：，又，从而面积的最大值可得；（2）由正弦定理得，从而，又，故可求得的值试题解析：（1）由余弦定理得，即，所以，因为，所以，即（当且仅当时，等号成立），所以，故面积的最大值为（2）由正弦定理得，所以，所以，又因为，所以，所以，故为锐角，所以，所以 18（12分）已知正项数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值【答案】（1）；（2）【解析
9、】试题分析：（1）由推得，即，其中，故而得到数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和试题解析：（1）当时，即，解得，：，所以，即，因为是正项数列，所以，即，其中，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以（2）因为，所以，所以，所以19（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，为等边三角形，（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角的余弦值试题解析：（1）如图取的中点，连接，依题意且，所以四边形是
10、平行四边形，所以因为是中点，所以，故，所以为等边三角形，所以，因为，所以，所以平行四边形为菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，平面，所以平面平面（2）由（1）知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标设，则，所以，所以设平面的法向量，则，令，则，所以同理可得平面的法向量，所以，所以二面角的余弦值为20（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所
11、学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）随机变量的分布列为：【解析】试题分析：（1）由条件可得：，；（2）由题意知服从二项分布，从而得到分布列及期望试题解析：（1）设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：，解得，又因为，所以（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为：，由题意知服从二项分布，所以随机变量的分布列为：21（12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，
12、设矩形的面积为，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为，的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为，从而得到的范围试题解析：（1）依题，所以（为定值），所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是（2）当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，直线与间的距离为，同理直线与间的距离为，所以，因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，所以，（当且仅当时，不等式取等号），所以，即，由可知，22（12分）已知函数（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）在上单调递增；（2）【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式在上恒成立在上恒成立，转求的最小值即可试题解析：（1）易知函数的定义域为，设，则，当时，当时，所以，故，所以在上单调递增（2）依题在上恒成立，设，则在上恒成立，欲使在上恒成立，则，得，反之，当时，设，则，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，故，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，综上所述，在上恒成立，所以的取值范围是7
