1、一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf几何解
2、释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由此得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()(fxf,0)()(fxf,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()(lim
3、)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy,)0(2,2一切条件一切条件满足罗尔定理的满足罗尔定理的不存在外不存在外上除上除在在f .0)(xf但在内找不到一点能使但在内找不到一点能使;0)0(,1,0(,1 fxxy.1,0,xxy又例如又例如,例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在
4、则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上
5、连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy
6、,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),()(内可导内可导在在在在设设baxf)
7、.10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0
8、 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间
9、在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfbFaFbfaf成立成立.几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定
10、理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)
11、()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格
12、朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间.三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1,0(x.四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明
13、)()(11banababanbnnnn .五、五、证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、baba arctanarctan；2 2、时时当当1 x，exex .六六、证证明明方方程程015 xx只只有有一一个个正正根根 .一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零.练习题答案练习题答案洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义.00)()(lim,)
14、()(,)()(型未定式型未定式或或称为称为那末极限那末极限大大都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与两个函数两个函数时时或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种
15、在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时以及以及时时当当 xaxx证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()(Ff )(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(lim
16、AxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)00()(axbxxc
17、oscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 .3)(注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx x
18、xxtanlim310.31 型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步骤步骤:步骤步骤:型型00,1,0.3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0
19、 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式例例1212解解.coslimxxxx 求求1si
20、n1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(
21、显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在一、一、填空题：填空题：1 1、洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00”，及”，及“”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题.2 2、xxx)1ln(lim0=_.=_.3 3、xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题二、二、用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(
22、sinlnlimxxx ；2 2、xxxarctan)11ln(lim；3 3、xxx2cotlim0；4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim；6 6、xxxtan0)1(lim；7 7、xxx)arctan2(lim .三、三、讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当,在在处处点点0 x的连续性的连续性.一、一、1 1、00,0,1,0 ；2 2、1 1；3 3、1.1.二、二、1 1、81；2 2、1 1；3 3、21；4 4、21；5 5、1 1；6 6、1 1；7 7、2e.三、连续三、连续.练习题答案练习题答案一、单调性的判
23、别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,
24、)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又二、单调区
25、间求法二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 例例2 2解解.31292)(23的单调区
26、间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上上单单调调增增加加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，
27、当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在三、小结三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单
28、调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.思考题思考题 若若0)0(f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0,00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)(xxxxxf )212(1kx当当 时，
29、时，0)212(41)(kxf kx21当当 时，时，01)(xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _._.2 2、函数函数212xxy 在区间在区间-1,1-1,1上单调上单调_，在在_上单调减上单调减.3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_，单减区间为单减区间为_._.二二、确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、xxxy6941023 ；2 2、32)(2(xaaxy (0 a)；
30、3 3、xxy2sin .练练 习习 题题三、三、证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、当当4 x时，时，22xx；3 3、若若0 x，则，则361sinxxx .四、四、方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根.五、五、设设)(xf在在 ba,上连续，在上连续，在(ba,)内内)(xf ,试证试证 明：对于明：对于 ba,上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1）0)(xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)(xf，利用泰勒公式利用泰勒公式 一、一、1 1、
31、),3,1,(单调增加单调增加,3,1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加,),1,1,(3 3、1,(,),1；1,0(,1,(;1,0(),0,1 .二、二、1 1、在、在),1,21,0(),0,(内单调减少内单调减少,在在1,21上单调增加；上单调增加；2 2、在、在),32,(aa内单调增加内单调增加,在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题答案练习题答案 3 3、在、在32,2 kk上单调增加上单调增加,在在22,32 kk上单调减少上单调减少,),2,1,0(k.四、四、(1)(1)ea1 时没有实根；时没有实根；(2)(2)ea10 时有两个实根；时有两个实根；(3)(
32、3)ea1 时只有时只有ex 一个实根一个实根.一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设
33、函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极
34、值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf 符号相同符号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (
35、是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(
36、1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那末那末(1)(1)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)(2)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所以所以,
37、函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意:.2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在不
38、存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M三、小结三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)思考题思考题
39、下命题正确吗？下命题正确吗？如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时，)0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时时，,0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1co
40、s)1sin2(2)(练练 习习 题题二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、xeyxcos；2 2、xxy1；3 3、方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、0,00,21xxeyx.三、三、证明题：证明题：1 1、如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值.2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)(xf，则则0 x为为)(xf的的极极值值点点.一、一、1 1、局部；、局部；2 2、0)(0 xf；3 3、(1,2),(1,2),无；无；4 4、1,0,)1(,13eee;二、
41、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(,极小值极小值 ),2,1,0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、极大值、极大值eeey1)(；3 3、极小值、极小值1)0(y；4 4、极小值、极小值0)0(y.练习题答案练习题答案一、最值的求法一、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点
42、的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)二、应用举例二、应用举例例例1 1解解)1)(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最小值最
43、小值14123223 xxxy点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？解解公里公里5.0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5.0()(ttts 公公里
44、里4B A)(ts)(ts.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5.0(5.7522ttt ,0)(ts令令得唯一驻点得唯一驻点.5.1 t.5.1分钟射击最好分钟射击最好处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)(例例3 3 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓
45、会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花费而租出的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)(xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收
46、入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB),0,8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80
47、(0 x,0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316(s.0.2174096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s三、小结三、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)(af？思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点
48、不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例xxfy )(1,0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0(f一、一、填空题：填空题：1 1、最值可、最值可_处取得处取得.2 2、函数、函数2332xxy (41 x)的最大值为的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.3 3、函数函数2100 xy 在在0,80,8上的最大值为上的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.4 4、设有重量为设有重量为 5kg5kg 的物体，置于水平面上，受力的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始移动，摩擦系数的作用而开始移动，摩擦系数=0.25=0.25，问力，问力f与与水平线的交角水平线的交角
49、 为为_时，才可使力时，才可使力f的大小为的大小为最小，则此问题的目标函数为最小，则此问题的目标函数为_，讨论区间为讨论区间为_._.练练 习习 题题5 5、从一块半径为从一块半径为R的圆缺片上挖去一个扇形做成一个的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为漏斗，问留下的扇形的中心角为_时，做时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为_考察区间为考察区间为_._.二、二、求函数求函数xxy542 (0 x)的最值的最值.三、三、求数列求数列 nn210的最大项的最大项.四、四、要造一圆柱形油灌，体积为要造一圆柱形油灌，体积为V，问底半径
50、，问底半径r和高和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？高的比是多少？五、由五、由2xy ,0 y,ax (0 a)围成一曲边三角形围成一曲边三角形OAB，在曲线弧，在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲上求一点，使得过此点所作曲线线2xy 的切线与的切线与OA，OB围成的三角形面积最大围成的三角形面积最大.一、一、1 1、区间端点及极值点；、区间端点及极值点；2 2、最大值、最大值80)4(y,最小值最小值5)1(y；3 3、10,610,6；4 4、)2,0,sincos,arctan pf；5 5、38,)2,0(,4246
