1、Total 261第第1次课次课:随机事件及其概率随机事件及其概率 随机事件及其概率随机事件及其概率 事件间的相互关系与运算事件间的相互关系与运算 概率的统计定义概率的统计定义频率概率频率概率 概率的古典定义概率的古典定义古典概率古典概率 习题一：习题一：3，8，9，10，11，12Total 262 人们通常将自然界或社会中出现的现象分成人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：二类：一类是必然的：一类是必然的：necessity,inevitability，一类是偶然的：一类是偶然的：chanciness,casualness,chance,fortuity,randomly 必然现象的
2、例子：必然现象的例子：同性电荷互相排斥同性电荷互相排斥 纯水加热到纯水加热到100摄氏度必然沸腾摄氏度必然沸腾 偶然现象的例子：偶然现象的例子：掷一枚硬币，可能出现正面或反面两种结掷一枚硬币，可能出现正面或反面两种结局，但究竟出现哪种结局事先无法确定局，但究竟出现哪种结局事先无法确定Total 263必然性和偶然性之间是相互联系的必然性和偶然性之间是相互联系的 大量的偶然性会导致某种必然的结果大量的偶然性会导致某种必然的结果 例如，在闹市区，开一家商店，每天有例如，在闹市区，开一家商店，每天有哪些顾客前来购买东西是偶然的哪些顾客前来购买东西是偶然的 但每天必然有顾客来购买东西则是必然但每天必然
3、有顾客来购买东西则是必然的，概率论的任务就是从偶然性中发现的，概率论的任务就是从偶然性中发现必然性必然性Total 264 概率一词的英文是概率一词的英文是 probability Probable 意指可能意指可能-ility 意指程度意指程度(large or small?)因此，因此，probability可认为是可认为是“可能性的大小可能性的大小”，翻译成中文就是概率，但也有不同时期或者不翻译成中文就是概率，但也有不同时期或者不同的资料翻译成或然率或者几率的。同的资料翻译成或然率或者几率的。而在不同的学科中又有不同的称呼，而在不同的学科中又有不同的称呼，如产品合格率，犯罪率，出生率，离
4、婚率，命如产品合格率，犯罪率，出生率，离婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。格率等等。Total 265概率论在各个学科都有广泛应用概率论在各个学科都有广泛应用 包括包括 社会科学：社会学，管理学，经济学，社会科学：社会学，管理学，经济学，军事学，等等军事学，等等 和自然科学：包括物理学，化学，生物和自然科学：包括物理学，化学，生物学，医学，等等学，医学，等等 尤其是你们所要学的经济学和管理学，尤其是你们所要学的经济学和管理学，概率论将在后继课程中有重要的应用概率论将在后继课程中有重要的应用Total 266本课程目的是为了给后继课
5、程本课程目的是为了给后继课程的应用打基础的应用打基础 分为两部分，分为两部分，第一部分建立概率论的基本的各个术语和概第一部分建立概率论的基本的各个术语和概念，常用的公式和基本的定理，这样后继课念，常用的公式和基本的定理，这样后继课程就可以继续在专业领域中使用这些基础知程就可以继续在专业领域中使用这些基础知识。识。第二部分为数理统计，即研究怎样从大量的第二部分为数理统计，即研究怎样从大量的随机的看似杂乱无章的数字中进行统计推断随机的看似杂乱无章的数字中进行统计推断的技术。的技术。Total 267试 验为了研究随机现象为了研究随机现象,就要对客观事物进就要对客观事物进行观察行观察.观察的过程称为
6、试验观察的过程称为试验.概率论里所研究的试验有下列特点概率论里所研究的试验有下列特点:(1)在相同的条件下试验可以重复进行在相同的条件下试验可以重复进行;(2)每次试验的结果具有多种可能性每次试验的结果具有多种可能性,而而且在试验之前可以明确试验的所有可且在试验之前可以明确试验的所有可能结果能结果;(3)在每次试验之前不能准确地预言该次在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果试验将出现哪一种结果Total 268事 件 事件事件试验的结果称为事件。试验的结果称为事件。随机事件随机事件每次试验中可能发生也可能不每次试验中可能发生也可能不发生，而在大量试验中呈现某种规律性的事发生，而在
7、大量试验中呈现某种规律性的事件称为随机事件，简称为事件。件称为随机事件，简称为事件。基本事件基本事件不能分解的最简单的事件。不能分解的最简单的事件。复合事件复合事件由基本事件复合而成的事件。由基本事件复合而成的事件。必然事件必然事件每次试验一定会发生的事件。每次试验一定会发生的事件。不可能事件不可能事件每次试验一定不会发生的事每次试验一定不会发生的事件件。Total 269事件与集合 基本事件基本事件:只包括一个样本点只包括一个样本点,或者说一个试验或者说一个试验结果的事件称为基本事件，用单点集结果的事件称为基本事件，用单点集表示。表示。复合事件复合事件：用包含的基本事件对应的样本点构成：用包
8、含的基本事件对应的样本点构成的集合表示，通常用大写字母的集合表示，通常用大写字母A，B，C等表示。等表示。必然事件必然事件:，用包含所有样本点的集合表示，这，用包含所有样本点的集合表示，这个集合也称为样本空间，记为个集合也称为样本空间，记为 。不可能事件不可能事件:不包括任何样本点的空集不包括任何样本点的空集,即每次试即每次试验一定不会发生验一定不会发生,称为不可能事件称为不可能事件,用用 表示。表示。Total 2610事件间的关系及其运算 1 包含包含 2 相等相等 3 事件的和事件的和 4 事件的积事件的积 5 事件的差事件的差 6 互斥事件（互不相容事件）互斥事件（互不相容事件）7 对
9、立事件对立事件 8 完备事件组完备事件组Total 26112 事件的相等如果事件如果事件A包含事件包含事件B,事件事件B也包含事件也包含事件A,称事件称事件A与与B相等相等.即即A与与B中的样本点完全中的样本点完全相同相同.记作记作A=B。A=B的充分必要条件为的充分必要条件为A B且且A B。Total 2612n个事件A1,A2,An中至少有一个发生是一个事件,称为事件的和,记作A1+A2+An 或 A1A2An可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作11iiiiAA或Total 2613例2从一批产品中每次取出一个产品进行检验从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每每次取
10、出的产品不放回次取出的产品不放回),事件事件Ai表示第表示第i次取到合次取到合格品格品(i=1,2,3).试用事件的运算符号表示下列事试用事件的运算符号表示下列事件件:三次都取到了合格品三次都取到了合格品;A1A2A3三次中至少有一次取到合格品三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有两次取到合格品三次中恰有两次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品三次中最多有一次取到合格品.Total 2614事件的概率事件的概率 事件事件A发生的发生的 可能性大小称为事件可能性大小称为事件A的概率的概率,记作记作P(A)或或PA.最高的发生概率为最高的发生概率为1,表示必然发生表示必然发生.最低的概率为最低的
11、概率为0,表示不可能发生表示不可能发生.一般的随机事件的概率介于一般的随机事件的概率介于0与与1之之间间.概率其实就是任何一个事件到实数概率其实就是任何一个事件到实数轴上的轴上的0,1区间的映射区间的映射.但怎样获得切合实际的一个事件的概但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢率呢?Total 2615概率的统计定义概率的统计定义 概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而只是大数定律的一个描述.在n次重复试验中,如果事件A发生了m次,则m/n称为事件A发生的频率.同样若事件B发生了k次,则事件B发生的频率为k/n.如果A是必然事件,有m=n,即必然事件的频率是1,当然不可能事件的频率为0.如果A与
12、B互不相容,则事件A+B的频率为(m+k)/n,它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n,这称之为频率的可加性.Total 2616定义1.1 在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动,且一般说来,n越大,摆动幅度越小,则称常数p为事件A的概率,记作P(A).但这不是概率的数学上的定义,而只是描述了一个大数定律.Total 2617历史上的掷硬币试验试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼300001499
13、40.4998Total 2618 概率的稳定性是概率的经验基础,但并不是说概率决定于经验.一个事件发生的概率完全决定于事件本身的客观本质,是先于试验而客观存在的.概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的,但并不能用这个定义计算P(A).实际上,人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中,可以看到生男孩的频率是稳定的,约为0.515Total 2619新生儿性别统计表出生年份新生儿总数n新生儿分类数频率(%)男孩数m1女孩数m2男孩女孩197736701883178751.3148.691978425021772073
14、51.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52Total 2620概率的古典定义(概率的古典概型)有一类试验的特点是:1 每次试验只有有限种可能的试验结果；2 每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同.具这两个特点的试验称为古典概型试验.在古典概型的试验中,如果总共有n个可能的试验结果,因此每个基本事件发生的概率为1/n,如果事件A包含有m个基本事件,则事
15、件A发生的概率则为m/n.Total 2621定义 1.2 若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,En组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性,而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,Em组成,则事件A的概率可以用下式计算:nmAAP试验的基本事件总数的基本事件数有利于)(Total 2622简单的例子 掷一枚硬币的试验,基本事件为正面和反面,而且由于硬币的对称性,因此出现正面和反面的概率一样,都是1/2.掷一次骰子的试验,基本事件有6个,因此每个基本事件的概率为1/6,则 P奇数点=3/6=1/2,P小于3=P1,2=2/6=1/3 等等.Total 2623排列和组合 在古典概型的概率的
16、计算中困难的是计算一事件包含的基本事件的数目,因此需要排列和组合的知识.乘法法则:如果一件事情可以分为两步做,第一步有n种选择,在第一步中的每一种选择中,第二步有m种选择,则整件事情共有mn种选择Total 2624放回抽样 假设一副牌有52张,将它们编号为1,2,52.每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到),这叫放回抽样.假设共抽了5次,共有多少种可能的抽法?第一次有52种抽法,在第一次的每一种抽法中,第二次又有52种抽法,因此抽5次共有5252525252=525种抽法.一般地,从n个元素中进行m次放回抽样,则共有nm种抽法.Total 2625不放回抽样(排列)还是
17、这52张牌,每次抽出一张,但不放回,则第二次抽时只有51张牌,第三次就只有50张牌.如果这样抽5次,就共有5251504948=52!/47!种抽法一般地,从N个元素中抽取n个(nN),共有!,)!(!)1()1(NAPnNnNNnNNNANNNnN记作全排列称为即将所有元素排成一列如果种抽法Total 2626不放回抽样(组合)如果从N个元素中不放回抽样n个,但不关心其顺序,比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目要比排列的数目小n!倍,记作!)!(!nnNNnAnNCnNnNTotal 2627 书上例1 袋内装有5个白球,3个黑球,从中
18、任两个球,计算取出的两个球都是白球的概率.357.014578212145)(,:282525235CCnmAPCmAACn则基本事件数的则取到两个白球假设事件数组成试验的基本事件总解Total 2628例2 一批产品共一批产品共200个个,废品有废品有6个个,求求(1)这批产品的废品率这批产品的废品率;(2)任取任取3个恰有一个恰有一个是废品的概率个是废品的概率;(3)任取任取3个全非废品个全非废品的概率的概率 解解 设设P(A),P(A1),P(A0)分别表示分别表示(1),(2),(3)中所求的概率中所求的概率,则则9122.0198199200321321192193194)()3(0
19、855.0198199200321211931946)()2(03.02006)()1(32003194032002194161CCAPCCCAPAPTotal 2629例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信 事件B=前两个邮筒中各有一封信 两封信投入4个邮筒共有44种投法,而组成事件A的投法有23种,组成事件B的投法则只有2种,因此81162)(,83166)(BPAPTotal 2630比较难的例子：一个小型电影院出售电影票,每张5元.总共有10个观众随机地排成一队买票,其
20、中有5人手持一张5元的钞票,另5人手持 10元一张的钞票.售票开始时,售票员手里没有零钞,求售票能够进行的概率(即不因为缺少零钱找不开而需要等的概率).Total 2631售票能进行的例:售票不能进行的例:持五元持十元Total 2632基本事件总数n的计算:考虑将5个手持五元的人随机地放入10个排队位置中的5个,则剩下的5个位置当然是手持十元的人的位置.即10个位置中拿出5个来放手持五元的人的总数n.!5!5!10510 CnTotal 2633将问题改变一下,假设售票员手里还是有足够的零钞找换的,因此售票能进行的事件就等于售票员始终没有使用自己手中的零钞的事件,而售票不能进行的事件就是售票
21、员要动用自己手中的零钞的事件.假设在售票开始时,售票员手中的五元零钞数目为0,在售票过程中,遇到手持五元钞的观众则零钞数目增1,否则零钞数目减1,如果必须动用售票员手中原有的零钞时,零钞数目可能变为负值.将售票过程中的零钞数目的变化绘成折线图.Total 2634售票能进行的例子:01234-1-2-3-4Total 2635售票不能进行的例子:01234-1-2-3-4Total 2636售票不能进行的例子:01234-1-2-3-4Total 2637对于售票不能进行的例子,在遇到第一个手持10元却必须给他找自己的零钞的人时,将后面的人的手中钞票都换一下,5元的换10元,10元的换5元,这
22、样总的效果就是有6人持10元钞,4人持5元钞,在售完票时零钞总损失必然是2个5元钞.反过来,如果一开始就是有6人持10元4人持5元,则售票必然不能进行,因此必然存在第一个无法找零钞的人,如果这时将其后面的人10元换5元,5元换10元,则对应于一个5人持10元5人持5元且售票不能进行的事件.Total 2638因此,6人持10元4人持5元的排队事件总数,和5人持10元5人持 5元售票不能进行的事件总数应当是一样的.我们只需计算前者的事件总数,而这等于先将10个排队位置中拿出4个放持5元的人的总数.!6!4!10410 CnBTotal 2639因此,假设事件A为售票能进行,事件B为售票不能进行,
23、有利于A的基本事件数为nA,有利于B的基本事件数为nB,则61651!6!4!10!10!5!5111)(510410CCnnnnnAPBBTotal 2640第第2次课次课:随机事件及其概率随机事件及其概率概率的加法法则概率的加法法则习题一习题一:13,14,15,16,17Total 2641习题一第3题 用步枪射击目标5次,设Ai为第i次击中目标(i=1,2,3,4,5),B为5次中击中次数大于2,用文字叙述下列事件:BAAAii)3()2()1(51 解(1)5次射击至少一次击中目标 (2)5次射击没有一次击中目标 (3)5次射击中击中次数不大于2Total 2642记住事件的加与积的
24、运算满足分配律 即任给事件A,B,C(A+B)C=AC+BC,如果AB,则A+B=A 而对于任何事件都有AAB,因此 对任何事件A与B恒有A+AB=ATotal 2643第4题 用图示法简化各式(A,B,C都相容)(1)(A+B)(B+C)(2)(A+B)(B+C)=A(B+C)+B(B+C)(3)=AB+AC+B+BC=B+ACABCTotal 2644(2)(A+B)(A+B)ABBBABAABBAABABABA)()()(ABTotal 2645(2)(A+B)(A+B)(A+B)ABABAABAABABABA)()()(ABTotal 2646概率的加法法则Total 2647例1 1
25、00个产品中有60个一等品,30个二等品,10个废品.规定一,二等品都为合格品,考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系 解 设事件A,B分别表示产品为一,二等品.则A与B不相容,AB=,A+B为合格品,则)()()(100901003060)(10030)(,10060)(BPAPBAPBAPBPAP可见Total 2648例2 200个产品中有6个废品,任取3个,求最多只有一个废品的概率P(B)解:设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废品,则B=A0+A1,且A0与A1与互不相容.则有利于B的基本事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1与m2之和,因此9977.00855.0
26、9122.0)(0855.0)(9122.0)()()()(32002194161320031940101010BPCCCAPCCAPAPAPnmnmnmmBP因此其中Total 2649例 对光顾一个超市的顾客的购买情况进行统计,总共观察了1000名顾客,其中花了400元以上的有50名,花的钱在100元到400元的有500名,试估计花钱超过100元的概率 解:假设A=花钱超过100元,B=花钱在100元到400元之间,C=花钱超过400元,利用频率来估计概率,则B,C互不相容,A=B+C55.010005010005001000550)()()()(05.0100050)(,5.010005
27、00)(CPBPCBPAPCPBPTotal 2650加法法则 两个互不相容两个互不相容(互斥互斥)事件之和的概率等于事件之和的概率等于它们的概率的和它们的概率的和.即当即当AB=时时,P(A+B)=P(A)+P(B)实际上实际上,只要只要P(AB)=0,上式就成立上式就成立.加法法则的一个形象解释加法法则的一个形象解释:将一个边长为将一个边长为1的方形看作是整个样本空间的方形看作是整个样本空间,而其中的每一区域代表一事件而其中的每一区域代表一事件,这些区这些区域的面积代表此事件发生的概率域的面积代表此事件发生的概率,则可以看则可以看出加法法则出加法法则Total 2651如下图所示:如果区域
28、A与区域B不重合,则它们的总的面积等于各个区域的面积之和11ABTotal 2652如果n个事件A1,A2,An互不相容,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)这个性质称为概率的有限可加性,但在建立概率概念时需要规定概率应具有完全可加性(又称可列可加性),即如果可列个事件A1,A2,两两互不相容,则有11)()(iiiiAPAPA1A2A3A4Total 2653若n个事件A1,A2,An构成一完备事件组,则它们的概率的和为1,即 P(A1)+P(A2)+P(An)=1 特别地,两个对立事件概率之和为1,即)(1)(1)()(APAPAPAP经常使用的形式是A1A2A3
29、A4AATotal 2654 例例 掷掷3次硬币次硬币,求至少一次正面朝上的概求至少一次正面朝上的概率率.解解:假设假设A=至少一次正面至少一次正面,则则A=全是反面全是反面,只包含一个基本事件只包含一个基本事件.基本事件总数为基本事件总数为23=8,因此因此当当 直接计算事件的概率较困难时直接计算事件的概率较困难时,可可以考虑先求此事件的逆事件的概率以考虑先求此事件的逆事件的概率87811)(1)(81)(APAPAP则Total 2655如果如果B A,则则P(B A)=P(B)P(A)这是因为这是因为,如果如果B A,则必有则必有B=A+(B A),而而A与与B A互不相容互不相容,因此
30、因此 P(B)=P(A)+P(B A)BATotal 2656对任意两个事件对任意两个事件A,B,有有 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)这被称为广义加法法则这被称为广义加法法则,这是因为这是因为A+B=A+(B AB),而而A与与B AB互斥互斥,因此因此P(A+B)=P(A)+P(B AB),而因为而因为B AB 则则P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)ABTotal 2657由广义加法法则可以推导出多个事件的和的概率公式 例如,考虑任意三个事件之和A+B+C的概率P(A+B+C),先将B+C看作一个事件,得 P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)PA(B+C)=P(A)+
31、P(B+C)P(AB+AC)=P(A)+P(B)+P(C)P(BC)P(AB)P(AC)+P(ABC)最后得 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)ABCTotal 2658例例3 产品有一产品有一,二等品及废品二等品及废品3种种,若一若一,二等品率分别为二等品率分别为0.63及及0.35,求产品的求产品的合格率与废品率合格率与废品率.解解 令事件令事件A表示产品为合格品表示产品为合格品,A1,A2分分别表示一别表示一,二等品二等品.显然显然A1与与A2互不相容互不相容,并且并且A=A1+A2,则则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(
32、A2)=0.63+0.35=0.98 P(A)=1 P(A)=1 0.98=0.02 注意此题并非古典概型题注意此题并非古典概型题.Total 2659例例4 一个袋内装有大小相同的一个袋内装有大小相同的7个球个球,4个是白球个是白球,3个为黑球个为黑球.从中一次抽取从中一次抽取3个个,计算至少有两个是白球的概率计算至少有两个是白球的概率.解：解：设事件设事件Ai表示抽到的表示抽到的3个球中有个球中有i个白个白球球(i=2,3),显然显然A2与与A3互不相容互不相容,且且3522)()()(354567234)(351856732132134)(3232373433713242APAPAAPC
33、CAPCCCAP根据加法法则得Total 2660例例5 50个产品中有个产品中有46个合格品与个合格品与4个个废品废品,从中一次抽取从中一次抽取3个个,求其中有废求其中有废品的概率品的概率.解解 设事件设事件A表示取到的表示取到的3个中有废品个中有废品,则事件则事件A的的逆为取到的逆为取到的3个产品中没有废品更好计算一些个产品中没有废品更好计算一些,因因此有此有2255.07745.01)(1)(7745.09807592491011323484950444546)(350346APAPCCAPTotal 2661在严格的概率论公理化体系中,把一个随机事件的概率所应具备的三个基本属性作为建立
34、概率的数学理论的出发点,直接规定为三条公理,即:(1)对任何事件A,P(A)0;(2)P()=1(3)若可列个事件A1,A2,两两不相容,则11)()(iiiiAPAP而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况Total 2662(1998年MBA试题)()(,8.0)(,9.0)(,BCAPCBPAPCABA则若).C(,7.0)8.01(9.0)(1)()()()(8.0)()(,应填选项因此因此因此必有且因即BCPAPBCPAPBCAPBCACABACBPBCPBCCB(A)0.4(B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9解：根据狄.摩根定理Total 2663(1992年研究生
35、入学考试题)全不发生的概率求事件已知CBABCPACPABPCPBPAP,61)()(,0)(41)()()(0)(,0)(1270616104141411)()()()()()()(1)(1)()(ABCPABPABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPCBAPCBAP因此其中因解Total 2664(1990年研究生入学考试题)_)(.6.03.0,4.0,BAPBABABA的概率则积事件和是的概率分别及和事件设随机事件.,)()()()(3.01.04.0)()()()(1.0)()(3.04.0)()()()(6.0须记熟是常用式子其中故得ABPAPBAPBAPABPAPBAPBA
36、PABPABPABPBPAPBAP 由已知得:Total 2665第第3次课次课:随机事件及其概率随机事件及其概率 条件概率条件概率 第二个重要法则第二个重要法则乘法法则乘法法则 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 习题一（习题一（19，21，23，25，27，28，30）Total 2666先看先看1.3中的例中的例1 100个产品中有个产品中有60个一等品个一等品,30个二等品个二等品,10个废品个废品.规定一规定一,二等品都是合格品二等品都是合格品.试验试验:从从100个产品中任抽一个个产品中任抽一个 假设假设:A,B为抽到的为一为抽到的为一,二等品二等品,C为抽到为抽到的是合格
37、品的是合格品,则则C=A+B 则一等品率为则一等品率为P(A)=60/100,二等品率为二等品率为P(B)=30/100.合格率为合格率为P(C)=90/100 如果改变试验为如果改变试验为:从合格品中任抽一件从合格品中任抽一件,则合格品中的一等品率为则合格品中的一等品率为P(A|C)=60/90.Total 2667定义定义1.3 在事件在事件B已经发生的条件下已经发生的条件下,事件事件A发生发生的概率的概率,称为事件称为事件A在给定在给定B下的条件概下的条件概率率,简称为简称为A对对B的条件概率的条件概率,记作记作P(A|B).相应地相应地,把把P(A)称为无条件概率称为无条件概率.这里这
38、里,只只研究作为条件的事件研究作为条件的事件B具有正概率即具有正概率即P(B)0的情况的情况.Total 2668条件概率意味着样本空间的压缩条件概率意味着样本空间的压缩 或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验.以事件以事件B为条件的条件概率为条件的条件概率,意味着在试验中将意味着在试验中将B提升为必然事件提升为必然事件.BB Total 2669例例1 市场上供应的灯泡中市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占甲厂的产品占70%,乙乙厂占厂占30%,甲厂产品的合格率是甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格乙厂的合格率是率是80%,若用事件若用事件A,A分别表示
39、甲乙两厂的产品分别表示甲乙两厂的产品,B表示产品为合格品表示产品为合格品,试写出有关事件的概率和条试写出有关事件的概率和条件概率件概率 解 依题意%20)|(%5)|(%80)|(%95)|(%30)(%70)(ABPABPABPABPAPAP注注:在解题过程中常见的错误是将条件概在解题过程中常见的错误是将条件概率写成无条件概率率写成无条件概率!Total 2670例例2 全年级全年级100名学生中名学生中,有男生有男生(以事件以事件A表表示示)80人人,女生女生20人人,来自北京的来自北京的(以事件以事件B表表示示)有有20人人,其中男生其中男生12人人,女生女生8人人,免修英语免修英语的的
40、(用事件用事件C表示表示)40人中有人中有32名男生名男生,8名女名女生生,则有则有P(A)=80/100=0.8P(B)=20/100=0.2 P(B|A)=12/80=0.15P(A|B)=12/20=0.6 P(AB)=12/100=0.12P(C)=40/100=0.4)()()|(,)()()|(32.0100/32)(15.080/12)|(80/32)|(BPABPBAPAPABPABPACPBAPACP可以看出Total 2671因此因此,在概率论中把某一事件在概率论中把某一事件B在给定另一在给定另一事件事件A(P(A)0)下的条件概率下的条件概率P(B|A)定义为定义为)()
41、()|(APABPABP 乘法法则乘法法则 两个事件两个事件A,B之交的概率等于其中任一之交的概率等于其中任一个事件个事件(其概率不为零其概率不为零)的概率乘以另一个事件在的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率已知前一个事件发生下的条件概率,即即P(AB)=P(A)P(B|A)(若若P(A)0)P(AB)=P(B)P(A|B)(若若P(B)0)Total 2672相应地相应地,关于关于n个事件个事件A1,A2,An的的乘法公式为乘法公式为:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)在证明此式时,首先将事件A1A2An分为两个事件A
42、1和A2An然后套用乘法公式得P(A1A2An)=P(A1)P(A2An|A1)然后再将P(A2An|A1)中的A2An分为两个事件A2和A3An,这样依此类推就能够得到上式.Total 2673无论是两个事件的乘法公式还是多无论是两个事件的乘法公式还是多个事件的乘法公式都是非常重要的个事件的乘法公式都是非常重要的,需要在解题前背下来需要在解题前背下来,它们可以用它们可以用来解许多概率论的较难的题来解许多概率论的较难的题 在通常的情况下在通常的情况下,一事件一事件A条件下的对另条件下的对另一事件一事件B的条件概率的条件概率P(A|B)通常是好算的通常是好算的,而两事件的积的概率而两事件的积的概
43、率P(AB)往往是不好算往往是不好算的的.这是因为条件概率是在条件受控情况下这是因为条件概率是在条件受控情况下的概率的概率,能够在一个较能够在一个较小小的样本空间中的样本空间中讨论问题讨论问题,相对容易一些相对容易一些.Total 2674再回到例再回到例1 市场上供应的灯泡中市场上供应的灯泡中,甲厂产品甲厂产品(A)占占70%,乙厂乙厂(A)占占30%,甲厂产品合格率是甲厂产品合格率是95%,乙厂合格率是乙厂合格率是80%,B表示产品为合格品表示产品为合格品 解 依题意06.02.03.0)|()()(24.08.03.0)|()()(665.095.07.0)|()()(%20)|(%5)
44、|(%80)|(%95)|(%30)(%70)(ABPAPBAPABPAPBAPABPAPABPABPABPABPABPAPAP则Total 2675例例4 10个考签中有个考签中有4个难签个难签,3人参加抽签人参加抽签(不不放回放回),甲先甲先,乙次乙次,丙最后丙最后,求甲抽到难签求甲抽到难签,甲甲,乙都抽到难签乙都抽到难签,甲没抽到难签而乙抽到难签以甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲及甲,乙乙,丙都抽到难签的概率丙都抽到难签的概率.解解 设事件设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签分别表示甲乙丙各抽到难签720248293104)|()|()()(902494106)|()()(901293
45、104)|()()(104)(ABCPABPAPABCPABPAPBAPABPAPABPnmAPTotal 2676这道题也可以用古典概型的办法来做这道题也可以用古典概型的办法来做,因为因为关心的是抽签人的次序问题关心的是抽签人的次序问题,因此共有因此共有10个个签签,3个人抽签个人抽签,基本事件总数基本事件总数n为为10个里面个里面拿出拿出3个来作排列个来作排列,而而A表示第一个人抽到难表示第一个人抽到难签签,则有利于则有利于A的基本事件数的基本事件数m的计算为的计算为:首首先从先从4个难签中任取一个放在第一个位置个难签中任取一个放在第一个位置,而剩下的而剩下的9个签则排列在剩下的两个位置个
46、签则排列在剩下的两个位置 用这种思路可以知道P(B)和P(C)也都是4/1010489108944)(,4,3102929310AAnmAPAmAn则Total 2677事件上事件上,即使这十张难签由即使这十张难签由10个个人抽去人抽去,因为因为 其中有其中有4张难签张难签,因此每个人抽到难签的因此每个人抽到难签的概率都是概率都是4/10,与他抽的次序无关与他抽的次序无关.正如十万张彩票如果只有正如十万张彩票如果只有10个特等奖个特等奖,则则被十万个人抽去被十万个人抽去,无论次序如何无论次序如何,每个人每个人的中奖概率都是十万分之十的中奖概率都是十万分之十,即万分之一即万分之一.这在概率论中叫
47、抽签原理这在概率论中叫抽签原理.这类问题经常在研究生的入学考试题中这类问题经常在研究生的入学考试题中出现出现,如果知道如果知道,就能够很快回答就能够很快回答,否则就否则就有可能出错有可能出错.Total 2678例如例如(1993年考研题年考研题,3分分)一批产品有一批产品有10个正品和个正品和2个个次品次品,任意抽取两次任意抽取两次,每次抽一个每次抽一个,抽出后不放回抽出后不放回,则第二次抽出的是次品的概率为则第二次抽出的是次品的概率为_.因产品总数是因产品总数是12,次品数是次品数是2,因此答案是因此答案是2/12.(1997年考研题年考研题,3分分)袋中有袋中有50个乒乓球个乒乓球,其中
48、其中20个个是黄球是黄球,30个是白球个是白球.今有两人依次随机地从袋中今有两人依次随机地从袋中各取一球各取一球,取后不放回取后不放回,则第则第2个人取得黄球的概个人取得黄球的概率是率是_.因共有因共有50个乒乓球个乒乓球,20个黄球个黄球,因此答案是因此答案是2/5.Total 2679(1998MBA试题试题)甲乙两选手进行乒乓球单打甲乙两选手进行乒乓球单打比赛比赛,甲发球成功后甲发球成功后,乙回球失误的概率为乙回球失误的概率为0.3,若乙回球成功若乙回球成功,甲回球失误的概率为甲回球失误的概率为0.4,若甲若甲回球成功回球成功,乙再回球时失误的概率为乙再回球时失误的概率为0.5,试计试计
49、算这几个回合中算这几个回合中,乙输掉一分的概率乙输掉一分的概率.解解 设设Ai为甲在第为甲在第i回合发回合发(回回)球成功的事球成功的事件件,Bi为乙在第为乙在第i回合回球成功的事件回合回球成功的事件(i=1,2),A为两个回合中乙输掉一分的事为两个回合中乙输掉一分的事件件,则则22111121121121115.0)|(4.0)|(,3.0)|(,1)(BABABAAABABPBAAPABPAP而Total 2680则因51.05.06.07.013.01)|()|()|()()|()()()()()(,2112112111111221111221111221111ABABPBAAPABPA
50、PABPAPBABAPBAPBABABAPAPBABABA互斥与Total 2681(1998MBA试题试题)5人以摸彩方式决定谁得人以摸彩方式决定谁得1张电影票张电影票.今设今设Ai表示第表示第i人摸到人摸到(i=1,2,3,4,5),则下列结果中有则下列结果中有1个不正确个不正确,它是它是()53)()(51)()(41)()(51)()(31)|()(2152121213AAPEAPDAAPCAAPBAAAPATotal 2682解解 摸彩即是做摸彩即是做5张彩票张彩票,其中其中1张写张写有有,其其余余4张写张写无无.则则P(A3|A1A2)是指在前两个人是指在前两个人没有抽到条件下第没
