1、福建省龙岩高级中学-学年高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A=x|-2x4，B=-2,1，2，4，则AB=()A. 1,2B. -1,4C. -1,2D. 2,4【答案】A【解析】解：集合A=x|-2x4，B=-2,1，2，4，则AB=1,2故选：A直接利用交集的定义求解即可本题考查交集的运算法则的应用，是基础题2. “sin=12“是“=30”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当=150，满足sin=12，但=30不成立若=30，满足sin=12，“sin=12“是“
2、=30”的必要不充分条件故选：B根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础3. 复数z=cos(32-)+isin(+)，(0,2)的对应点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：复数z=cos(32-)+isin(+)=-cos-isin，复数z=cos(32-)+isin(+)，(0,2)的对应点(-cos,-sin)在第三象限故选：C利用诱导公式化简，求出复数z对应点的坐标即可得到结果本题考查诱导公式以及复数的几何意义，是基础题4. 将函数f(x)=
3、sin2x的图象向右平移12个单位，得到函数y=g(x)的图象，则它的一个对称中心是()A. (24,0)B. (-6,0)C. (6,0)D. (12,0)【答案】D【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移12个单位，则函数变为y=sin2(x-12)=sin(2x-6)；考察选项不难发现：当x=12时，sin(212-6)=0；(12,0)就是函数的一个对称中心坐标故选：D由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后通过选项，判断函数的一个对称中心即可本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型5. 在等差数列an中，已知a4+a8
4、=16，则该数列前11项和S11=()A. 58B. 88C. 143D. 176【答案】B【解析】解：在等差数列an中，已知a4+a8=16，a1+a11=a4+a8=16，S11=11(a1+a11)2=88，故选：B根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=11(a1+a11)2运算求得结果本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题6. 已知角的终边经过点P(x,3)(x0)且cos=1010x，则x等于()A. -1B. -13C. -3D. -223【答案】A【解析】解：已知角的终边经过点P(x,3)(x0)所以OP=x2+
5、9，由三角函数的定义可知：cos=1010x=xx2+9，x0,0,00,0,0)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90，KL=1，所以A=12，T=2，因为T=2，所以=，函数是偶函数，0，所以=2，函数的解析式为：f(x)=12sin(x+2)，所以f(16)=12sin(6+2)=34故选：D通过函数的图象，利用KL以及KML=90求出求出A，然后函数的周期，确定，利用函数是偶函数求出，即可求解f(16)的值本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力9. 若O为ABC所在平面内任一点，且满足(OB-OC)(OB+OC-2OA)=0，则ABC
6、一定是()A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】解：(OB-OC)(OB+OC-2OA)=(OB-OC)(OB-OA)+(OC-OA)=(OB-OC)(AB+AC)=CB(AB+AC)=(AB-AC)(AB+AC)=|AB|2-|AC|2=0|AB|=|AC|，ABC为等腰三角形故选：B利用向量的运算法则将等式中的向量OA，OB，OC用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题10. 正项等比数列an中的a1、a11是函数f(x)=13x
7、3-4x2+6x-3的极值点，则log6a5a6=()A. 1B. 2C. 2D. -1【答案】B【解析】解：f(x)=13x3-4x2+6x-3，f(x)=x2-8x+6，a1、a11是函数f(x)=13x3-4x2+6x-3的极值点，a1、a11是x2-8x+6=0的两个实数根，a1a11=6log6a5a6=log6(a1a11)=log66=2故选：Bf(x)=x2-8x+6，a1、a11是函数f(x)=13x3-4x2+6x-3的极值点，可得a1、a11是x2-8x+6=0的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二
8、次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11. 函数f(x)=xx2+a的图象可能是()A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】解：f(x)=xx2+a，可取a=0，f(x)=xx2=1x，故(4)正确；f(x)=a-x2(x2+a)2，当a0时，函数f(x)0，f(x)=0，解得x=a，当f(x)0，即x(-a,a)时，函数单调递增，当f(x)0，a0时，xlnxf(x)0成立的x的取值范围是()A. (-2,0)(0,2)B. (-,-2)(2,+)C. (-2,0
9、)(2,+)D. (-,-2)(0,2)【答案】D【解析】解：根据题意，设g(x)=lnxf(x)，(x0)，其导数g(x)=(lnx)f(x)+lnxf(x)=1xf(x)+lnxf(x)，又由当x0时，xlnxf(x)-f(x)，即lnxf(x)-1xf(x)，则有g(x)=1xf(x)+lnxf(x)0，又由lnx0，则f(x)0，在区间(1,+)上，g(x)=lnxf(x)0，则f(x)0，则f(x)在(0,1)和(1,+)上，f(x)0，(x2-4)f(x)0f(x)0x2-40或f(x)0x2-40，解可得：x-2或0x0)，对g(x)求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g(x
10、)在(0,+)上为减函数，分析g(x)的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间(0,1)和(1,+)上，都有f(x)0，进而将不等式变形转化，解可得x的取值范围，即可得答案本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析f(x)0与f(x)1)，其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=_【答案】35【解析】解：2an=an-1+an+1，(nN*,n1)，数列an为等差数列，又a2+a8=6，2a5=6，解得：a5=3，又a4a6=(a5-d)(a5+d)=9-d2=8，d2=1，解得：d=1或d=-1(舍去)an=a5+(n-5)1=3+(n-5)=n-
11、2a1=-1，S10=10a1+1092=35故答案为：35由2an=an-1+an+1，(nN*,n1)，知列an为等差数列，依题意可求得其首项与公差，继而可求其前10项和S10本题考查数列的求和，判断出数列an为等差数列，并求得an=2n-1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题16. 对函数f(x)=2sin(12x+6)-1(xR)，有下列说法：f(x)的周期为4，值域为-3,1；f(x)的图象关于直线x=23对称；f(x)的图象关于点(-3,0)对称；f(x)在(-,23)上单调递增；将f(x)的图象向左平移3个单位，即得到函数y=2cos12x-1的图象其中正确的是_.(填上所有正
12、确说法的序号)【答案】【解析】解：对函数f(x)=2sin(12x+6)-1(xR)，他的周期为212=4，值域为-3,1，故正确当x=23时，f(x)=1，为最大值，故f(x)的图象关于直线x=23对称，故正确当x=-3时，f(x)=-1，不是函数的最值，故故f(x)的图象不关于直线x=23对称，故错误在(-,23)上，12x+6(-3,2)，故f(x)=2sin(12x+6)单调递增，故f(x)在(-,23)上单调递增，故正确将f(x)的图象向左平移3个单位，即可得到函数y=2sin12(x+3)+6=2sin(12x+3)的图象，故错误，故答案为：由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y
13、=Asin(x+)的图象变换规律，从而得出结论本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(x+)的图象变换规律，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=-13，c=3,sinA=6sinC(1)求a的值；(2)若角A为锐角，求b的值及ABC的面积【答案】解：(1)cos2A=1-2sin2A=-13，且0A，sinA=63c=3,sinA=6sinC，由正弦定理asinA=csinC，得a=6c=63=32(2)由sinA=63,0A2得cosA=33由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得b2-
14、2b-15=0解得b=5或b=-3(舍负)SABC=12bcsinA=522【解析】(1)由二倍角余弦公式求出sinA的值，再由正弦定理即可求出a的值；(2)由sinA的值求出cosA的值，再由余弦定理即可求出b的值及ABC的面积本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题18. 已知向量a与b的夹角为120，且|a|=2，|b|=4()计算：|4a-2b|；()当k为何值时，(a+2b)(ka-b)【答案】解：()向量a与b的夹角为120，且|a|=2，|b|=4由已知得，ab=24(-12)=-4|a+b|2=a2+2ab+b2=4+2(-4)+16=12，|a
15、+b|=23|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=164-16(-4)+416=192，|4a-2b|=83()(a+2b)(ka-b)，(a+2b)(ka-b)=0，ka2+(2k-1)ab-2b2=0，即16k-16(2k-1)-264=0，k=-7即k=-7时，a+2b与ka-b垂直【解析】()求出ab=24(-12)=-4.由此能求出|4a-2b|()由(a+2b)(ka-b)，得(a+2b)(ka-b)=0，由此能求出k=-7时，a+2b与ka-b垂直本题考查向理的模的求法，考查满足向量垂直的实数值的求法，考查向量的娄量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
16、19. 函数f(x)=sin2x+3sinxcosx(1)求函数f(x)的递增区间；(2)当x0,2时，求f(x)的值域【答案】解：(1)f(x)=sin2x+3sinxcosx=1-cos2x2+32sin2x=sin(2x-6)+12(2分)令2k-22x-62k+2解得k-6xk+3(5分)f(x)的递增区间为k-6,k+3(kZ)(6分)(2)0x2，-62x-656(8分)-12sin(2x-6)1，0sin(2x-6)+1232(10分)f(x)的值域是0,32(12分)【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简，然后通过正弦函数的单调增区间求解即可(2)求出相位的范
17、围，利用正弦函数的有界性，求解函数的值域即可本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力20. 已知数列an的前n项和Sn和通项an满足Sn=12(1-an)(1)求数列an的通项公式并证明Sn12；(2)设函数f(x)=log13x，bn=f(a1)+f(a2)+f(an)，若Tn=1b1+1b2+1b3+1bn.求Tn【答案】解：(1)当n2时，Sn-1=12(1-an-1)，an=Sn-Sn-1，an=12(1-an)-12(1-an-1)=-12an+12an-1，整理得：2an=-an+an-1，anan-1=13，当n=1时，S1=a1=12(1-a
18、1)，解得：a1=13，数列an是首项a1=13，公比为13的等比数列，an=13(13)n-1=(13)n，证明：由等比数列前n项公式可知：Sn=131-(13)n1-13=121-(13)n，1-(13)n1，121-(13)n12，Sn12(2)f(x)=log13x，bn=log13a1+log13a2+log13an=log13(a1a2an)=log13(13)1+2+n，=1+2+n=n(1+n)21bn=2n(1+n)=2(1n-1n+1)，Tn=1b1+1b2+1bn=2(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=2nn+1，Tn=2nn+1【解析】(1)由当n2时，S
19、n-1=12(1-an-1)，an=Sn-Sn-1，整理得：2an=-an+an-1，anan-1=13，当n=1时，a1=13，数列an是首项a1=13，公比为13的等比数列，即可求得an=13(13)n-1=(13)n，由等比数列前n项和公式可知：Sn=131-(13)n1-13=121-(13)n，由1-(13)n1，则121-(13)n12，即可证明Sn1)，当k0时，f(x)0，函数f(x)在区间(1,+)上单调递增；当k0时，令1x-1-k0，则1x1+1k，函数f(x)在区间(1,1+1k)上单调递增；令1x-1-k1+1k，函数f(x)在区间(1+1k,+)上单调递减综上，当k
20、0时，函数f(x)单调递增区间为(1,+)；当k0时，函数f(x)单调递增区间为(1,1+1k)，单调递减区间为(1+1k,+)(2)由(1)知：当k0时，函数f(x)的最大值为：f(1+1k)=ln1k=-lnkf(x)0恒成立，-lnk1【解析】本题(1)先求出函数的导函数，利用导函数值的正负，研究函数的单调性，注意要分类研究；(2)要使f(x)0恒成立，就要求函数的最大值小于0，利用(1)的结论，得到求出函数最大值，得到相应的不等关系，解不等式，得到本题结论本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y=2+ts
21、inx=1+tcos(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位)，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，圆C的方程为=6sin(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若点P(1,2)，设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值【答案】解：()由=6sin得2=6sin，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+(y-3)2=9()将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2(cos-sin)t-7=0由=(2cos-2sin)2+470，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以t1t2=-7t1+t1=-2(cos-sin)，又直线l过点(1,2)，故结合t
22、的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(cos-sin)2+28=32-4sin232-4=27所以|PA|+|PB|的最小值为27【解析】(I)利用x=cos，y=sin可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；(II)先根据(I)得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度23 / 23
