1、上海市交大附中高三9月份开学考试一、填空题.1.方程组的增广矩阵是_【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。2.若直线的参数方程为 ，则直线的倾斜角是_【答案】【解析】【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tan，结合的范围，分析可得答案【详解】根据题意，直线l的参数方程为，则其普通方程为y+2（x3），其斜率k，则有tan，且0180，则120；故答案为：120【点睛】本题考查直线的参数方程
2、，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题3._【答案】【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可【详解】由二项式定理系数的性质可得，故答案为：【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时， _【答案】【解析】【分析】由已知求得，当n2且n为正偶数时，anSnSn12n2（n1）12n2n+3，验证a23适合，由此可得当n为正偶数时的an【详解】由，得1，；当n2且n为正偶数时，anSnSn12n2（n1）12n2n+3验证3适合上式
3、，当n为正偶数时，故答案为：2n2n+3【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题5.函数是奇函数，那么_【答案】【解析】【分析】求f（x），再根据f（x）为奇函数，可得出-整理化简即可求出a的值【详解】由题f（x）函数是奇函数，- f（x），即-解得2,故答案为-1【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题6.若函数无最值，则的取值范围是_【答案】a或a【解析】【分析】由题意函数f（x）lg（x2ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+）是yx2ax+2的值域的子集，即0，可得a的取值范围
4、【详解】由题意，函数f（x）lg（x2ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+）是yx2ax+2的值域的子集，即0，a280，则a或a；故答案为：a或a【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的0解决问题是关键，是中档题7.的内角，的对边分别为，已知的面积为，则_【答案】【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A的值【详解】已知ABC的面积为，则：SABCacsinB，整理得：3csinBsinA2a，由正弦定理得：3sinCsinBsinA2sinA
5、，由于sinA0，故：sinBsinC，由于：6cosBcosC1，所以：cosBcosC，所以：cosBcosCsinBsinC，所以：cos（B+C），故：cosA，A所以：A故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8.设，是虚数单位，已知集合，若，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围【详解】由题意，集合A表示的点的
6、轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部AB，说明，两圆面有交点；可得：，故答案：，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是_【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，则，在中，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，
7、他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为_（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况， 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1； 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；由古典概型得所求的概率为 .故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.关于的方程恰有3个实数根，则_【答案】2【解析】【分析】令f（x）x2+arcsin（co
8、sx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）0的解，即可得到所求和【详解】令f（x）x2+arcsin（cosx）+a，可得f（x）（x）2+arcsin（cos（x）+af（x），则f（x）为偶函数，f（x）0有三个实数根，f（0）0，即0a0，故有a，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，可设0，且2+arcsin（cos）0，2+arcsin（cos）0，由yx2和yarcsin（cosx），当x0，且0x时，yarcsin（cosx）arcsin（sin（x）（x）x，则x0时，yarcsin（cosx）x
9、，由yx2和yarcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（1，1），（1，1），则2+2+20+1+12故答案为：2【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中
10、的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是_没有最大元素，有一个最小元素；没有最大元素，也没有最小元素；有一个最大元素，有一个最小元素；有一个最大元素，没有最小元素.【答案】【解析】【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案【详解】若MxQ|x0，NxQ|x0，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故可能成立；若MxQ|x，NxQ|x；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故可能成立；若MxQ|x0，NxQ|x0；M有一个最大元素，N没有最小元素，故可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存
11、在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故不可能成立故答案为：【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题二、选择题。13.已知集合，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据元素与集合的关系，用，集合与集合的关系，用，可知B正确.14.在空间直角坐标系中，若点在第卦限，则与点关于轴对称的点在（ ）A. 第卦限B. 第卦限C. 第卦限D. 第卦限【答案】A【解析】【分析】根据点P的卦限得坐标x，y，z的符号，再得对称点的坐标的符号，从而可得对称点的卦限【详解】因为点P（x，y，z）在第卦限，所以x0
12、，y0，z0，点P关于y轴的对称点为（x，y，z），在第卦限故选：A【点睛】本题考查了空间向量运算的坐标表示，熟记每个卦限的坐标符号是解决问题的关键，属基础题15.设，为实数，则实数“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】D【解析】【分析】首先求出方程Ax2+By2C表示的曲线为双曲线的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断【详解】方程Ax2+By2C表示的曲线为双曲线，AB0且C0；ABC0推不出AB0且C0，AB0且C0推不出ABC0；实数“ABC0”是“方程Ax2+By2C表示的曲线为双曲线”的
13、非充分非必要条件故选：D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记双曲线的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题16.已知、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、，使得，则三个角、（ ）A. 都是钝角B. 至少有两个钝角C. 恰有两个钝角D. 至多有两个钝角【答案】B【解析】【分析】根据，移项得，两边同时点乘，得0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定BOC、COA至少有一个为钝角，同理可证明AOB、BOC至少有一个为钝角，AOB、COA至少有一个为钝角，从而得到结论【详解】123，两边同时点乘，得，即|cosCOA+cosBOC0，BOC、COA
14、至少有一个为钝角，同理AOB、BOC至少有一个为钝角，AOB、COA至少有一个为钝角，因此AOB、BOC、COA至少有两个钝角故选：D【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连
15、接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可【详解】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，设圆柱的底面半径为，即，在中，又所以直线与所成角的大小等于.（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，且平面，.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题18.（1）已知是定义在上的奇函数，求实数、的值；（2）已知是定义在上的函数，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质
16、可得f（0）lglgb0，解可得b，又由f（x）+f（x）0，可得a的值，即可得答案（2）根据题意，分析可得不等式ax0在R上恒成立；即ax恒成立，转化为两个函数y=和y=ax，先求相切的临界情况，再由不等关系，即可得答案【详解】（1）是定义在R上的奇函数，则有f（0）lglgb0，则b，且f（x）+f（x）lg（ax）+lg（ax）2lglg（x2+2）a2x2lg2lg（1a2）x2+2）lg20，即（1a2）x20恒成立；可得：a1；故a1，b；（2）若f（x）lg（ax）lgb为定义在R上的函数，则ax0在R上恒成立；即ax恒成立，令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支，令y=ax,
17、当y=ax与y=相切时，两式联立消去y,得,，故ax恒成立时，1a1即a的取值范围为（-1，1）【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，对数函数的运算性质，函数值域，不等式恒成立，数形结合思想，第（2）转化为两个函数交点问题是关键，属于中档题19.某工厂在生产产品时需要用到长度为的型和长度为的型两种钢管.工厂利用长度为的钢管原材料，裁剪成若干型和型钢管，假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）要使裁剪的废料率小于，共有几种方案剪裁？请写出每种方案中分别被裁剪型钢管和型钢管的根数；（2）假设一根型钢管和一根型钢管能成为一套毛胚，假定只能按（1）中的那些方案裁剪，
18、若工厂需要生产套毛胚，则至少需要采购多少根长度为的钢管原材料？最终的废料率为多少？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管，则，再由废料率小于得故即可设计方案，（2）设用方案一裁剪x根原材料，用方案二裁剪y根原材料，共裁剪得z套毛胚，则z2x+4y，由得即可求出答案【详解】（1）设每根原料可裁剪成根型钢管和型钢管，则即根据题意，废料率为故满足条件的a与b的值为方案一：废料率为；则可裁剪成2根A型钢管和5根B型钢管.方案二：废料率为.则可裁剪成4根A型钢管和2根B型钢管.（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛坯，则,
19、即，故由题，所以所以至少采购100根长度为4000mm的钢管原材料，其中方案一裁剪40根，方案二裁剪60根，废料率为.【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，准确计算不等式组的解是关键，属于中档题20.在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线：上时，位置向量终点总在抛物线：上，曲线和关于直线对称，问直线与向量满足什么关系？【答案】（1）（2）见证明 （3）直线与向量垂直【解析】【分析】（1）根据题意，算出7，10，代入的表达
20、式并化简整理，即可得到（，）；（2）设（x，y），终点在直线Ax+By+C0上，由题中的表达式解出（x，y）满足的关系式，从而得到点（，）在直线Ax+By+C0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A3B）y5C0，说明向量的终点也在一条直线上；（3）设，则，取，解出关于和t的坐标形式，结合的终点在抛物线x2y上且终点在抛物线y2x上，建立关于和t的方程，化简整理得到（，）再由曲线C和C关于直线l：yx对称，算出l的方向向量满足0，从而得到直线l与向量垂直【详解】（1）根据题意，7，10，.（2）设，则 ，于是故，从而w，由于、不全为零，所以，也不全为零.于是的终点在直线上.（3）设，则，
21、对任意实数，取，则 ，的终点在曲线上，.由于为任意实数，比较式两边的系数得，从而，.对曲线中任意点，可知落在曲线上，反之亦然，故曲线：与曲线：关于直线：对称，的方向向量，即直线与向量垂直.【点睛】本题考查向量的坐标运算，相关点法求轨迹，着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题21.设函数，若对任意成立，且数列满足：，.（1）求函数的解析式；（2）求证：；（3）求证：.【答案】（1）；（2）（证明略）；（3）（证明略）【解析】【分析】（1）由题令，解x=-1,所以-4f(-1)-4,则f(-1)=-4，得a=b-4，进而得对任意成立，由判别式整理解得b=2,
22、即可得a=-2,则f(x)可求；（2）由得，进而，累乘得（3）由（2）得，累加得，再由证明数列递增，得则证得；欲证，即证,则需证，由，放缩归纳得，再证明即可【详解】（1）由题对任意成立，令，解x=-1,所以-4f(-1)-4,则f(-1)=-4又，则f(-1)=a-b=-4，即a=b-4所以对任意成立，即,则整理得b=2,则a=-2所以（2）由（1）知，, ,所以又（3）由（2）知所以所以又,又,为递增数列，所以所以由（2）可知，欲证，即证,则需证,所以=所以=2因为所以证得，即证得所以【点睛】本题主要考查数列综合，不等关系与不等式以及数列求和，放缩法证明不等式，转化化归能力，是难题31 / 31
