1、深化数学课程改革深化数学课程改革落实数学核心素养落实数学核心素养人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、一、课改的背景和任务课改的背景和任务 教教育育改改革革是社会发展改革整体的有机组成是社会发展改革整体的有机组成部分，以国家社会发展改革为背景，要结部分，以国家社会发展改革为背景，要结合国家社会发展与改革的需要来思考。合国家社会发展与改革的需要来思考。进入进入国家治理国家治理阶段，与国家统治、国家主阶段，与国家统治、国家主导阶段不同，导阶段不同，最根本的着眼点是深化综合最根本的着眼点是深化综合改革，理顺各方面的关系。教育改革也要改革，理顺各方面的关系。教育改革也要抓住抓住“深化深化”、“
2、综合综合”的要求而持续推的要求而持续推进。进。五中全会精神五中全会精神 十八届五中全会公报中，强调创新、协调、十八届五中全会公报中，强调创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念。绿色、开放、共享的发展理念。坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展全局的核心位置，不断推进理论创新、制全局的核心位置，不断推进理论创新、制度创新、科技创新、文化创新等各方面创度创新、科技创新、文化创新等各方面创新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创新在全社会蔚然成风。新在全社会蔚然成风。推动物质文明和精神文明协调发展，加快推动物质文明和精神文明协调发展，
3、加快文化改革发展，加强社会主义精神文明建文化改革发展，加强社会主义精神文明建设，建设社会主义文化强国，加强思想道设，建设社会主义文化强国，加强思想道德建设和社会诚信建设，增强国家意识、德建设和社会诚信建设，增强国家意识、法治意识、社会责任意识，倡导科学精神，法治意识、社会责任意识，倡导科学精神，弘扬中华传统美德。弘扬中华传统美德。开放发展，提高教育质量，推动义务教育开放发展，提高教育质量，推动义务教育均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类推进中等职业教育免除学杂费，率先从建推进中等职业教育免除学杂费，率先从建档立卡的家庭经济困难学生实施普通高中档立卡的家庭经济
4、困难学生实施普通高中免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助全覆盖。全覆盖。提高教育质量提高教育质量“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，加强社会主义核心价值观教育，根本任务，加强社会主义核心价值观教育，培养德智体美全面发展的社会主义建设者培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。深化教育改革，把增强学生社和接班人。深化教育改革，把增强学生社会责任感、创新精神、实践能力作为重点会责任感、创新精神、实践能力作为重点任务贯彻到国民教育全过程。任务贯彻到国民教育全过程。”“推动义务教育均衡发展，全面提高教育推动义务教育均衡
5、发展，全面提高教育教学质量教学质量。”我国教育的规模问题已经解决。我国教育的规模问题已经解决。2010年教年教育发展与改革的中长期规划纲要中提出，育发展与改革的中长期规划纲要中提出，我国教育面临的主要任务是解决内涵质量我国教育面临的主要任务是解决内涵质量的问题，解决育人模式改革的问题。这就的问题，解决育人模式改革的问题。这就需要在已有课改的基础上深化改革，而我需要在已有课改的基础上深化改革，而我们面临的问题错综复杂，许多都是们面临的问题错综复杂，许多都是两难问两难问题，因此改革具有综合性，需要整体考虑题，因此改革具有综合性，需要整体考虑。目前高中课程目前高中课程存在的问题存在的问题 高中定位不
6、清高中定位不清；课程容量偏大课程容量偏大；操作性操作性较差较差、保障、保障条件跟条件跟不上不上；被高考绑架被高考绑架。深化课程改革的原则深化课程改革的原则 坚持方向坚持方向 总结经验总结经验 深化改革深化改革 完善方案完善方案 便于实施便于实施核心任务：立德树人核心任务：立德树人 以核心素养为纲以核心素养为纲 中国学生发展核心素养中国学生发展核心素养：学生学生发展核心素发展核心素养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键社会发展需要的必备品格和关键能力能力。三三大领域的大领域的9 9大大素养素养：社会社会参与领域的社会责参与领域
7、的社会责任、国家认同、国际任、国家认同、国际理解理解；文化文化修养领域的人修养领域的人文底蕴、科学精神、审美文底蕴、科学精神、审美情趣情趣；自主自主发展领域发展领域的身心健康、学会学习、实践创新。的身心健康、学会学习、实践创新。学科学科核心核心素养素养学科为学生提供什么、学科为学生提供什么、知识忘记了剩下的是什么知识忘记了剩下的是什么。数学学科核心素养：数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分数学建模、直观想象、数学运算和数据分析析。不是去学科化，而是学科本质化，学科要不是去学科化，而是学科本质化，学科要做出哪些独特贡献做出哪些独特贡献；不
8、是为了考试的功不是为了考试的功利利性目标。性目标。高中定位高中定位 是基础教育的最后阶段，是基础教育的特是基础教育的最后阶段，是基础教育的特殊阶段。殊阶段。是是学生学生成长的关键阶段，是少年到成人的成长的关键阶段，是少年到成人的转折期。转折期。人生观、价值观、世界观的形成阶段。人生观、价值观、世界观的形成阶段。是人是人的的彻底分化彻底分化阶段阶段（性向形成）（性向形成），完成完成启蒙启蒙。高中课程高中课程 为适应社会生活、高等教育和职业发展做为适应社会生活、高等教育和职业发展做好准备好准备 与高中普及一致：与高中普及一致：基础性、多样性、选择基础性、多样性、选择性性 与新高考与新高考一致：一致
9、：分类考试、综合评价、多分类考试、综合评价、多元录取元录取，由考学生的短由考学生的短转变为转变为考学生的长考学生的长新一轮教材编写（修订）新一轮教材编写（修订）内容选择，既关注学科知识结构体系，又内容选择，既关注学科知识结构体系，又以培养学科核心素养为纲。以培养学科核心素养为纲。内容呈现方式，体现培养学生核心素养的内容呈现方式，体现培养学生核心素养的学习学习观观，凸显教科书作为学生学习的脚手，凸显教科书作为学生学习的脚手架。架。过于把教科书作为圣经是不必要的，过于把教科书作为圣经是不必要的，但它但它是引导学生学习和教师教学的是引导学生学习和教师教学的关键关键工具。工具。二、二、数学课改的主要任
10、务数学课改的主要任务 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任务在于立德教育的根本任务在于立德树人树人”就是整个教育改革的核心任务。就是整个教育改革的核心任务。数学教育的核心任务是数学教育的核心任务是“数学育人数学育人”。如何把这个要求在如何把这个要求在数学教育数学教育中落实下来，中落实下来，在教学中体现出来在教学中体现出来，在课堂中，在课堂中实施下去实施下去？要把要把“立德树人立德树人”的要求具体化，体现在的要求具体化，体现在教学内容和教学过程中，转化为一种可操教学内容和教学过程中，转化为一种可操作的行动，转化为数学育人的具体作的行动，转化为数学育人的具体措施措施。从教育部的顶层设计看，数学学
11、科的从教育部的顶层设计看，数学学科的“立德树立德树人人”目标，首先体现在数学学科的核心素养目标，首先体现在数学学科的核心素养上上。义教课标中义教课标中提出提出了了八八个个“核心概念核心概念”：数感、：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型念、运算能力、推理能力、模型思想；思想；高中高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析学运算、直观想象、数据分析。数学课改的数学课改的核心核心任务
12、任务是提升学生的数学学科核是提升学生的数学学科核心素养，心素养，要有具体措施要有具体措施，要要把数学学科核心素把数学学科核心素养的培育落实在养的培育落实在数学教育的数学教育的各个环节。各个环节。三、三、提升学生核心素养的思考点提升学生核心素养的思考点“学科育人学科育人”要依靠学科的内在力量要依靠学科的内在力量。“数学育人数学育人”要在数学内部挖掘育人资源，要在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用用。要从数学的要从数学的学科学科本质本质出发出发开展思考和开展思考和研究：研究：数学数学到底是一门怎样的到底是一门怎样的学科学科？其？其独特独
13、特的、的、别的学科不能替代的育人功能到底在别的学科不能替代的育人功能到底在哪里哪里？怎样教才能实现这些育人功能？这样教的怎样教才能实现这些育人功能？这样教的效果如何？效果如何？树立课程意识树立课程意识（1 1）我教的是一门怎样的课？）我教的是一门怎样的课？（2 2）它能发挥怎样的育人功能，在学生发展）它能发挥怎样的育人功能，在学生发展中所起的不可替代的作用是什么？中所起的不可替代的作用是什么？（3 3）如何教这门课？应采取怎样的教学策略？）如何教这门课？应采取怎样的教学策略？（4 4）这样教在多大程度上实现了它的育人功）这样教在多大程度上实现了它的育人功能？能？数学是思维的科学，数学教学是思维
14、的教数学是思维的科学，数学教学是思维的教学学数学对于发展学生的思维是至关重数学对于发展学生的思维是至关重要的。要的。数学是一门语言，与语文有相似的特性，数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式表达方式阅读、表达的工具。阅读、表达的工具。数学学科育人的独特功能，主要在培养学数学学科育人的独特功能，主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会会思考，特别是学会“有逻辑地思考有逻辑地思考”、创造性思考创造性思考，使，使学学生成为善于认识问题、生成为善于认识问题、善于善
15、于解决问题的人才。解决问题的人才。学会使用学会使用数学数学语言，能用数学的方式阅读、语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。表达和交流。例例 如何阅读这段教材如何阅读这段教材怎样才算读懂了这段内容？怎样才算读懂了这段内容？（1 1）这是在象限角概念之后研究它的性质。）这是在象限角概念之后研究它的性质。一般而言，概念明确了研究对象的内涵或组一般而言，概念明确了研究对象的内涵或组成要素，性质研究的主题之一是内涵或要素成要素，性质研究的主题之一是内涵或要素之间的关系。从概念出发研究性质是研究数之间的关系。从概念出发研究性质是研究数学对象的基本之道。学对象的基本之道。（2）提出问题的方法：象限角的始边相
16、同，）提出问题的方法：象限角的始边相同，以射线以射线OB为终边的角有无数个，即这些角有为终边的角有无数个，即这些角有“始边、终边都相同始边、终边都相同”的共同特征。这一定的共同特征。这一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有内在联系，数学要研究这种联的事物一定有内在联系，数学要研究这种联系在数、形上如何表达，特别是要追求精确系在数、形上如何表达，特别是要追求精确的量化表示。从定性到定量是数学的基本策的量化表示。从定性到定量是数学的基本策略。略。（3）发现联系方式的方法：借助图像，观察）发现联系方式的方法：借助图像，观察几个与几个与32终边相同
17、的角之间的数量关系，终边相同的角之间的数量关系，在在“旋转整数周旋转整数周”的帮助下，通过运算发现的帮助下，通过运算发现共同特征，得出表达式；再将共同特征，得出表达式；再将32推广到推广到一般角一般角。这里用到数形结合、从特殊到一般、。这里用到数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等，这是从具体到抽象、通过运算发现规律等，这是数学地探索事物性质的普遍方法。数学地探索事物性质的普遍方法。这样的阅读中，有在研究具体内容中领悟这样的阅读中，有在研究具体内容中领悟数学思想方法，也有一般观念指导下的发数学思想方法，也有一般观念指导下的发现和提出问题、分析和解决问题的过程，现和提出问题、分
18、析和解决问题的过程，学生在对课文的深度解读中实现了高水平学生在对课文的深度解读中实现了高水平数学思维参与，再一次经历和体验了数学数学思维参与，再一次经历和体验了数学性质的发现过程，学习了用简洁的符号语性质的发现过程，学习了用简洁的符号语言表示数学规律的方法。这是言表示数学规律的方法。这是用用“数学的数学的方式方式”阅读阅读，是课程意识的体现，也是落，是课程意识的体现，也是落实核心素养的要诀。实核心素养的要诀。以数学知识为载体发展学生的以数学知识为载体发展学生的核心素养核心素养 数学对象的获得，要注重数学对象的获得，要注重数学数学与现实之间与现实之间的的联联系系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑
19、连贯也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学抽象、直观想象等素养；抽象、直观想象等素养；对对数学数学对象的对象的研究研究，要注重以，要注重以“一般观念一般观念”为为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；推理、运算等素养；应用数学知识解决问题应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念要注重利用数学概念原理分析实际问题原理分析实际问题，体现建模的全过程体现建模的全过程，学会学会分析数据分
20、析数据，从数据中挖掘信息等从数据中挖掘信息等。“两个过程两个过程”的合理性的合理性 从数学知识发生发展过程的合理性、学生从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。数学学科核心素养的关键点。前一个的核心是数学的学科思想问题，后前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。一个是学生的思维规律、认知特点问题。四、教师专业发展的三大基石四、教师专业发展的三大基石理解数学理解数学理解学生理解学生理解教学理解教学 特别是，特别是，“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法”的理解
21、水平决定了理解数学的高度，同时的理解水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水平和效果。也决定了教学所能达到的水平和效果。五、理解数学知识的意蕴五、理解数学知识的意蕴 知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它是知识的精义和主旨所在。是知识的精义和主旨所在。数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值有着天然联系。有着天然联系。只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解数学的基本思想，才能领会
22、数学思维的奥秘，数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和解决问题能力的根基所在。解决问题能力的根基所在。从培养创新人才出发从
23、培养创新人才出发,应紧紧围绕应紧紧围绕“数量关数量关系系”、“空间形式空间形式”、“数形结合数形结合”和和“公理化思想公理化思想”这四条主线这四条主线,让让学生学生有机会有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题发某个数学分支创立的基本问题,创立过程创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想中出现的瓶颈和突破的关键思想,以及从定以及从定性到精确定量的基本过程等。性到精确定量的基本过程等。数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题值得研究，如何构建研究路径，如何形成值得研究，如何构建研究路径，如何形成研究方法
24、；如何用已有知识去解决问题，研究方法；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。发展新知识；等等。例例 几个几个“简单简单”概念的理解概念的理解关于几何度量问题关于几何度量问题“位置位置”是宇宙空间的最基本要素，位置是宇宙空间的最基本要素，位置用用“点点”表示；表示；直线段是连接两点的最短通路，两个点的直线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用有向线段的长度表示；位置差异用有向线段的长度表示；两个两个“方向方向”的差异用角度表示；的差异用角度表示；长度、面积、体积、角度长度、面积、体积、角度几何度量问几何度量问题，研究起点？过程？方法？题，研究起点？过程？方法？认识几何度量的五个阶段认识
25、几何度量的五个阶段（1）量的初步认识（直观感知）量的初步认识（直观感知“量量”，直观，直观或直接比较或直接比较“量量”的大小）；的大小）；（2）量的间接比较（用非标准单位或用另一）量的间接比较（用非标准单位或用另一个量为个量为“中介中介”比较）；比较）；（3）认识国际通用单位并用其描述大小；）认识国际通用单位并用其描述大小；（4）国际通用单位体系的认识与换算；）国际通用单位体系的认识与换算；（5）利用公式求量的大小（只有面积和体积）利用公式求量的大小（只有面积和体积有此阶段）。有此阶段）。之所以有相同的认识过程，是因为这些几之所以有相同的认识过程，是因为这些几何量的数学结构相同，核心要素是：何
26、量的数学结构相同，核心要素是：（1）度量单位（从不标准单位到标准单位，）度量单位（从不标准单位到标准单位，并形成单位体系）；并形成单位体系）；（2）单位的个数就是量的大小。）单位的个数就是量的大小。度量的性质是：度量的性质是：（1）运动不变性；）运动不变性；（2）叠合性；）叠合性；（3）有限可加（减）性；）有限可加（减）性；（4）不可公度性。）不可公度性。在这些在这些“量量”中，中，“长度长度”（一维空间的（一维空间的延展）是最基本也是最简单的，其次就是延展）是最基本也是最简单的，其次就是面积（二维空间的延展）。因此，解决几面积（二维空间的延展）。因此，解决几何度量问题，核心思想是把研究对象看
27、成何度量问题，核心思想是把研究对象看成一个一个“量量”，并用一个数来描述它。而学，并用一个数来描述它。而学习的五个阶段，习的五个阶段，就是从定性到定量，最终就是从定性到定量，最终用一个数来描述几何量，或建立一个公式用一个数来描述几何量，或建立一个公式来求几何量的数值。来求几何量的数值。问题问题 为什么要引入弧度制？为什么要引入弧度制？如何引入弧度制？如何引入弧度制？如何让学生感受引入弧度制的好处？如何让学生感受引入弧度制的好处？理解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发学生，示以思维之道耳！启发学生，示以思维之道耳！
28、六、数学思维再认识六、数学思维再认识 思维是指理性认识，或指理性认识的过程，思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。通常是指逻辑思维。思维的工具是语言；思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。综合等。一个结构一个结构 数学地认识事物数学地认识事物的的基本结构：定义概念基本结构：定义概念推导性质推导性质建立联系建立联系
29、实践应用。实践应用。先从数、形的角度抽象事物的本质属性，先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的定义概念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。两个方向（方面）两个方向（方面）数学思维有两个相辅相成的方向或方面数学思维有两个
30、相辅相成的方向或方面归归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为
31、用、相得益彰，产生意想不合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。到的效果。三种语言三种语言 数学思维的工具数学思维的工具：符号语言、图形语言和符号语言、图形语言和普通文字语言。普通文字语言。数学有自己的符号体系和表达方式，它使数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数学符号是内涵丰富的数学符号是内涵丰富的“信息块信息块”，因而，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。得简约、精练。四种形式四种
32、形式 数学思维的基本形式数学思维的基本形式：逻辑推理逻辑推理代数运算代数运算几何直观几何直观数形结合数形结合逻辑推理逻辑推理 逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程。规则推出结论的思维过程。认识问题的要点在于把认识问题的要点在于把握握好本质，发现问好本质，发现问题；解决问题的任务是运用题；解决问题的任务是运用“已知已知”之性之性质去推论质去推论“待知待知”之性质。概括言之，乃之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理
33、就是这种以简驭繁的实践与步骤。理就是这种以简驭繁的实践与步骤。代数运算代数运算“代数学的根源在于代数运算代数学的根源在于代数运算”，有效有，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与它数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展成代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。高层次函数观点。例例 等差、等比数列的研究等差、等比数列的研究 数列的一般概念数列的一
34、般概念等差数列，等比数列；等差数列，等比数列；研究的对象：一般研究的对象：一般有序、有规律（函数）；有序、有规律（函数）；研究的过程：事实研究的过程：事实概念概念表示表示性性质质联系联系应用；应用；研究的内容与方法：研究的内容与方法：（1 1）事实）事实概念，这类数列的规律（通过运概念，这类数列的规律（通过运算发现规律）；算发现规律）；（2 2）表示，决定规律的要素及其关系（运算，）表示，决定规律的要素及其关系（运算，代数式表示是核心）；代数式表示是核心）；思路二：直接针对一般等差数列，利用通项思路二：直接针对一般等差数列，利用通项公式，从特殊到一般进行归纳；公式，从特殊到一般进行归纳；总结：
35、总结：无论采取哪种方法，运算、性质、归无论采取哪种方法，运算、性质、归纳都是关键词。纳都是关键词。几何直观几何直观 几何直观是利用几何概念抽象空间事物获几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础。础。立体几何立体几何教学教学数形结合数形结合 用几何图形表示数量关系用几何图形表示数量关系；把几何中的定性结果转化为
36、可运算的定量把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果结果；这是数学思维的变通、灵活性的表现，这是数学思维的变通、灵活性的表现，也也是数学发展的有力手段，是数学发展的有力手段，坐标法、函数与坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。几何等都是数形结合的思维产物。因地制宜的具体思维方法因地制宜的具体思维方法 针对具体数学问题的思维方法针对具体数学问题的思维方法：代入法、：代入法、消元法、换元法、配方法、割补法、待定消元法、换元法、配方法、割补法、待定系数法、构造法、面积法、体积法系数法、构造法、面积法、体积法；综合法与分析法
37、、顺证法与反证法，数学综合法与分析法、顺证法与反证法，数学归纳法归纳法是常用的思维方法。是常用的思维方法。数学思维数学思维一个结构一个结构，两个方向两个方向，三种语言三种语言，四种形式四种形式 演化出演化出千变万化千变万化、赏心悦目、赏心悦目的思维方法。的思维方法。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。好比好比一棵参天大树，一棵参天大树，“一个结构，两个方一个结构，两个方向，三种语言，四种形式向，三种语言，四种形式”是根和主干，是根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶。千变万化的具体方法则是其枝和叶。当前当前课堂教学中的普遍问题是，把注意力课堂教学中的普遍问题是，把
38、注意力集中到了集中到了“枝繁叶茂枝繁叶茂”的追求，而忘却了的追求，而忘却了“根和主干根和主干”的重要性。的重要性。关于核心素养立意的教学思考关于核心素养立意的教学思考以三角函数为例以三角函数为例观点：教观点：教好好数学就落实了核心素养数学就落实了核心素养 数学育人的载体是数学知识；数学育人的载体是数学知识；数学育人要用数学的方式数学育人要用数学的方式什么叫什么叫“数数学的方式学的方式”？教好数学就落实了核心素养教好数学就落实了核心素养怎样教才怎样教才算是算是“教好数学教好数学”？三角函数教学中如何落实核心素养三角函数教学中如何落实核心素养一、一、对对内容内容的的认识认识二、课标对三角函数的定位
39、二、课标对三角函数的定位三、学生认知分析三、学生认知分析四、教材结构体系的思考四、教材结构体系的思考五、素材选择的思考五、素材选择的思考六、系列数学活动的安排六、系列数学活动的安排一、对三角函数的认识一、对三角函数的认识（一）三角函数发展史概述（一）三角函数发展史概述三角术在希腊定量几何学中三角术在希腊定量几何学中应运而生应运而生，到托到托勒密出版勒密出版数学汇编，希腊三角术及在天数学汇编，希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量三角恒等变形问题，包括和（差）角公式、三角恒等变形问题，包括和（差）角公式、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法
40、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法。三角学三角学的发展与天文学相互交织，且服务于的发展与天文学相互交织，且服务于天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学里分离出来，并成为数学的一个分支里分离出来，并成为数学的一个分支。为了应付航海、天文、测量等实践之需，为了应付航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学研究的核心工制作三角函数表成为三角学研究的核心工作。因为在制作过程中需要大量的三角恒作。因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形，所以三角恒等变形问题占据了重等变形，所以三角恒等变形问题占据了重要地位要地位。随着随着对数的发明，特别是微积分的创立，
41、对数的发明，特别是微积分的创立，三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角公式也风光不再公式也风光不再。（二）三角函数课程的与时俱进（二）三角函数课程的与时俱进 从应用的角度看，应强调三角函数作为描从应用的角度看，应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位，因为述周期现象的重要数学模型的地位，因为“三角函数与其它学科的联系与结合非常三角函数与其它学科的联系与结合非常重要，最重要的是它与振动和波动的联系，重要，最重要的是它与振动和波动的联系，可以说，它几乎是全部高科技的基础之可以说，它几
42、乎是全部高科技的基础之一一”。在建立三角函数的基本概念、认识。在建立三角函数的基本概念、认识它的基本性质的基础上，对它的基本性质的基础上，对y=Asin(x+)的研究的研究很重要很重要，实用且实用且有利于提升学生的有利于提升学生的数学建模能力。数学建模能力。“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接圆的几何性质（主
43、要是其对称性）的直接反映。反映。”所以，要充分发挥单位圆的作用，所以，要充分发挥单位圆的作用，借助单位圆的性质研究三角函数的所有内借助单位圆的性质研究三角函数的所有内容，这有利于提高学生的数形转化、直观容，这有利于提高学生的数形转化、直观想象能力。想象能力。在思想、方法上，要强调函数的变换（映在思想、方法上，要强调函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等数学的主流思想和不变性等数学的主流思想和方法方法有些有些放正文，有些可以作为拓展放正文，有些可以作为拓展。这样认识和处理内容，体现了三角函数性这样认识和处理内容，体现了三角函数性质的整体性，
44、可以更充分地发挥三角函数质的整体性，可以更充分地发挥三角函数在培养学生在培养学生的的直观想象、直观想象、数学数学抽象、抽象、逻辑逻辑推理推理、数学运算和数学建模、数学运算和数学建模等等核心素养的核心素养的作用作用。要强调三角函数与向量、复数、解析几何要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合，这可以通过加强三角函等的联系与综合，这可以通过加强三角函数在后续相关内容中的应用来体现，也可数在后续相关内容中的应用来体现，也可以通过用向量、复数的方法重新推导三角以通过用向量、复数的方法重新推导三角变换公式等来实现。变换公式等来实现。总之，定义三角函数的最好方式是利用直总之，定义三角函数的最好方
45、式是利用直角坐标系中的单位圆。抓住三角函数作为角坐标系中的单位圆。抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正抓住了要领，就能以简驭繁抓住了要领，就能以简驭繁。二、课标对三角函数的定位二、课标对三角函数的定位 三角函数三角函数是一类最典型的是一类最典型的周期函数周期函数。整体要求：整体要求：借助单位圆建立一般三角函数的概念，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；能够用几何直观和代数体会引入弧度制的必要性；能够用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、对称性、单调运算的方法研究三角函数的周期性、对称性、单调性和最值等性质；能够
46、探索和研究三角函数之间的性和最值等性质；能够探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；能够利用三角函数构建数学模型，一些恒等关系；能够利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。提升数学抽象能力、直观想象和运解决实际问题。提升数学抽象能力、直观想象和运算能力以及数学建模能力。算能力以及数学建模能力。本章本章内容的大结构：概念内容的大结构：概念（基本）（基本）性质性质（周期周期性性、对称性、单调性和最值、对称性、单调性和最值等等）特殊性质特殊性质（三三角函数角函数的恒等的恒等关系）关系）应用。应用。加强单位圆的作用，进一步突出主线和核加强单位圆的作用，进一步突出主线和核心概念；心概念；体现研究一个数学对
47、象的内容、过程和方体现研究一个数学对象的内容、过程和方法：概念法：概念图像、基本性质（直接由定图像、基本性质（直接由定义推出，要素的关系）义推出，要素的关系）其他性质（联其他性质（联系层面）系层面）应用（把应用（把y=A sin(x+)作为作为应用、建模的结果）。应用、建模的结果）。三、学生认知分析三、学生认知分析 认知基础：认知基础：学习了函数的一般概念、表示学习了函数的一般概念、表示与性质等，掌握了研究函数的一般方法，与性质等，掌握了研究函数的一般方法，通过幂、指、对函数的学习，已经掌握了通过幂、指、对函数的学习，已经掌握了研究一类函数的结构、内容、过程与方法。研究一类函数的结构、内容、过
48、程与方法。这些函数的一个共同特点是它们的表达式这些函数的一个共同特点是它们的表达式都是代数式，是代数运算规律的反映。学都是代数式，是代数运算规律的反映。学生在平面几何中学习了圆的知识，对圆的生在平面几何中学习了圆的知识，对圆的几何性质有一定的掌握，但对几何性质有一定的掌握，但对“圆的旋转圆的旋转对称性对称性”强调不够。强调不够。学习困难分析学习困难分析 三角函数三角函数不不以以“代数运算代数运算”为为媒介媒介，是是几几何量（角与有向线段）之间何量（角与有向线段）之间的的直接直接对应对应，不是通过对不是通过对计算得到函数值，这是一个复计算得到函数值，这是一个复杂、不良结构杂、不良结构情境情境，是
49、主要的学习难点。是主要的学习难点。在在“对应关系对应关系”的认识上必须采取措施破的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要三要素素”，特别是要在落实，特别是要在落实“给定一个角，如给定一个角，如何得到对应的函数值何得到对应的函数值”的操作过程的基础的操作过程的基础上再给上再给定义定义。三角函数的性质与以往不同，主要表现在三角函数的性质与以往不同，主要表现在丰富的对称性上；以单位圆为媒介而建立丰富的对称性上；以单位圆为媒介而建立起性质之间的丰富关联，例如，由定义直起性质之间的丰富关联，例如，由定义直接推出同角三角函数之间的关系；结合单接推出同角三角函
50、数之间的关系；结合单位圆上点的运动及其坐标的变化规律（非位圆上点的运动及其坐标的变化规律（非常直观），由定义可直接推出单调性、周常直观），由定义可直接推出单调性、周期性。期性。四、教四、教学设计学设计的思考的思考 根据数学知识发生发展过程的内在逻辑，根据数学知识发生发展过程的内在逻辑，体现研究一个数学对象的体现研究一个数学对象的“基本套路基本套路”，使教使教学学内容具有逻辑严谨性内容具有逻辑严谨性，教学过程具，教学过程具有有连贯性；同时，要发挥核心概念及其蕴连贯性；同时，要发挥核心概念及其蕴含的数学思想方法的纽带作用，使教含的数学思想方法的纽带作用，使教学过学过程程具有思想方法的具有思想方法的
