1、背背 景景介绍小雷诺数流动的近似解介绍小雷诺数流动的近似解2*2*2*2 ReUuuuuULLUuuLrrrrrr对流惯性力粘性力雷诺数雷诺数*202*2*02NsUuuttLtUutuLrrrr局部惯性力粘性力200Ns=St ReLL LUtUtNs0Re0 表示宏观流动特征时间表示宏观流动特征时间L/U 与非定与非定常特征时间常特征时间(如振动周期）之比如振动周期）之比 SNsSt Re简化后运动方程简化后运动方程连续方程连续方程斯托克斯方程斯托克斯方程0p 2压强是调和函数压强是调和函数 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程速度矢量是双调和函数速度矢量是双调和函数涡量是调和函数涡量是调和函
2、数2 k rr22sinPErr2sinPEr 2222sin1sinErr22222xy 2Re1aU=xUao 选取固连圆球相对坐标系，原点取在球心，选取固连圆球相对坐标系，原点取在球心，x 轴与轴与U方向方向相反，转化为定常流动问题，且流动为轴对称流动相反，转化为定常流动问题，且流动为轴对称流动 球形颗粒、液滴在气体中，颗粒、球形颗粒、液滴在气体中，颗粒、小气泡在液体中相对运动小气泡在液体中相对运动,cos,sinrruUuU ,0 rrauu 0 u=0 221sin 2Ur 221()()sin2fgUr,0 rrauu3221()sin 2aU rr r ()()f r g(,)(
3、,)nfr22222222222222222sin=sind ffddE EEfdrrdrrdrr2222222222222sin122sinsinsinsind ffdEffrrdrrdrr22222221212nnnndrn nrrn nrdrr224222222232120nnddrnnn nrdrrdrr232120nnn n1,1,2,4 n 1241234222122coscossinrfuArA rA rA rrrr34,02UAA1212 02UAaA aa31213,44AUaAUa 212 0 AaAUa22222223sinsin2d ffaEUdrrr232 3coss
4、inpEUarrr223sinsin2pEUarr 23cos2pUarc,rpp cpxUaoxUao3sin2rUa 10sinrrr ar auurrrr 20rrrr ar aur13sin2rrr ar auuuUrrra 3cos2rrUpa 0r212DDCU A2Aa222262424112Re22DDaUCU aUaUa2 ReaU220E E2()sinf r34/2,0 AUA例例1 1 求半径为求半径为 a 的的球形气泡球形气泡在均质不可压缩流体中作缓慢等速在均质不可压缩流体中作缓慢等速直线运动时的阻力。质量力不计，流体的粘性系数直线运动时的阻力。质量力不计，流体的粘性
5、系数 为常数。为常数。12421234sinArA rA rA r1241234 fArA rA rA r12122UfArA rr20faf121202UAaA aa120,2UAAa 221sin22arrU 211cossinrauUrr11sinsin2auUrrr 2122afrrU 212 420 AaAUa ra 0f 2222222222sinsinsind ffUaEUrarUdrrrr222322sincoscossinsinpaUaEUrrrrr2222sinsinsinsinpUaUaErrr 2cosUapcr,rpp cp2 cosUappr rra6Ua222co
6、s2cosrrrr ar ar auaUUrra0rrcosrrr aAFpdA20 cos2coscos 2sinUUpadaa 2203 2cossin4UadUaa 4FUa例例2 2 试确定雾滴在空气中的沉降速度试确定雾滴在空气中的沉降速度 331244633duaa gaudt0,0tu2922/22/19tattgau ueu，11 uUaOrr21 ruUa Or231 uUa Orr22312()Re1 rrrUUaOuuUU arrrO rOOaauUa Or圆球绕流问题圆球绕流问题圆柱绕流问题圆柱绕流问题逐次逼近法求解问题逐次逼近法求解问题ur0ur 此为逐次逼近法此为逐次
7、逼近法怀特赫德（怀特赫德（Whitehead）佯谬）佯谬1ur1uruuuUx rrr()361Re16FUa52460.4,0Re2 10Re1ReDC 222431Re1Re162DFCUa21AB0ABUyx12L21AB0ABUyx12L0uvxy22221uupuuuvxyxxy 22221vvpvvuvxyyxy L21AB0ABUyx12LxL:uUvL:y:vuL:uU:0ABUyx12L0uvxy22221uupuuuvxyxxy 22221vvpvvuvxyyxy 22222/uuULULxuULy惯性力粘性力 yx1ULL2222uuyx2222vvyx2210puxy
8、2210pvyy 22dpudxyu2222uvyyppxy0py0,0,00,00yuvyuUvxpp，0ABUyx12L220vy32001 2122dpUdpUQudyyyydydxdx 0ABUyx12L,00,yuyuU,00,0yvyv0ABUyx12L23612 dpUQdx121 tgLx1 xtg21166 +C()()UQptgxtgtgxtg 00 xpp021166UQCptgtg1212UQ 022111161111()()()ppUQtgxtgxtg0ABUyx12L21AB0ABUyx12L2112022201212211222121266 ln2 LLPpp d
9、xULdUL-2112200121246LyxyUULDdxd 112122122 2ln3UL246UQ 00yxyyuvyx0122ydpUydx在两块透明的大平行平板在两块透明的大平行平板z=-h和和 z=h 之间放置一个二维柱体，之间放置一个二维柱体，边界为边界为F(x,y)=0。特征长度为特征长度为L。沿沿x方向有不可压缩粘性流体来方向有不可压缩粘性流体来流，速度为流，速度为u=U(1-z2/h2)，v=w=0。假定。假定 ，。试证明这时任一。试证明这时任一 平面上的流线形状完全平面上的流线形状完全相同，而且与二维边界相同，而且与二维边界 的理想流体无旋绕流流线完全的理想流体无旋绕流
10、流线完全一致一致 yxz2hhL21U LhL(,)0F x y z 常数yxz2h222222/u uxULUL hOOuzU hL221UL hL2pu 0pz斯托克斯方程斯托克斯方程222222puuuxxyz222222pvvvyxyz0 w 222222,zxy(,)pp x y2121(,)(,)2puzc x y zc x yx,0 zh u 2212pchx10 c 0 w 2 h2201,2puzhx22012pvzhy2202pzh220212zhph 22201/2hpuzhx x 0 zvuxy 0 uvxy2 0yxz2h0F 22hpUx2201/uUzh22201/2hpuzhx x 天然多孔介质天然多孔介质人造多孔介质人造多孔介质最小研究对象最小研究对象uurrvoid void pzg/Kgk kkgkpupgpgzzg rruK r0 ur含水层井滤管Q S R原始水头线含水层水头线 00R RRuRRuwR wwRZBK KQ0()()s RR20 2210RR R,WRR,W0,RR000ln/WRWuKKRRRR0022ln/WRWQRBuBKRR2210 RR R12lnccR,WWRR020ln/WWcRR00()lnln/WWWWRRRRR010lnln/WWWWcRRR00,RR
