1、第三章第三章 波导理论波导理论第一节第一节 引引 言言 微波传输线微波传输线(又称导波系统又称导波系统)种类繁多，根据不同的目的和种类繁多，根据不同的目的和工作频段选用不同类型的传输线。工作频段选用不同类型的传输线。f1电流趋肤深度电流趋肤深度f ,电流通过导体的有效面积减小，导体中的电流通过导体的有效面积减小，导体中的热损耗增大。热损耗增大。1.平行双线平行双线 平行双线是最简单的传输线平行双线是最简单的传输线,可传输可传输TEM波。但随着频率的波。但随着频率的升高，将导致升高，将导致:(1)趋肤效应显著，热损耗增大趋肤效应显著，热损耗增大因此，因此，只能工作在波长为只能工作在波长为。为避免
2、辐射损耗，用同轴线取代平行双线。为避免辐射损耗，用同轴线取代平行双线。平行双导线平行双导线同轴线同轴线(2)辐射损耗增加辐射损耗增加 平行双线裸露在外，随着频率升高，电平行双线裸露在外，随着频率升高，电磁波向四周辐射。当波长与线的横向尺寸差不多时，双线基本上磁波向四周辐射。当波长与线的横向尺寸差不多时，双线基本上变成辐射器。变成辐射器。2.同轴线同轴线 同轴线可视为将平行双线的一根砸扁围成圆筒同轴线可视为将平行双线的一根砸扁围成圆筒(外导体外导体)，将另一根导线包围在内将另一根导线包围在内(内导体内导体)。由于金属圆筒对电磁能的屏。由于金属圆筒对电磁能的屏蔽、约束作用，解决了辐射损耗的问题。但
3、随着频率的继续升蔽、约束作用，解决了辐射损耗的问题。但随着频率的继续升高，又产生新的问题。高，又产生新的问题。(1)“趋肤效应趋肤效应”引起电阻损耗已无法忽视；引起电阻损耗已无法忽视；(2)支撑内导体的绝缘介质产生损耗；支撑内导体的绝缘介质产生损耗；(3)为保证只传输为保证只传输TEM波，同轴线横截面尺寸必须相应减波，同轴线横截面尺寸必须相应减小，这又加剧导体损耗小，这又加剧导体损耗(尤其较细的内导体尤其较细的内导体)的增加而降低功的增加而降低功率容量。率容量。因此，因此，。3.波导波导 同轴线损耗的主要矛盾在内导体上，如果拔掉同轴线的内导同轴线损耗的主要矛盾在内导体上，如果拔掉同轴线的内导体
4、，既可减少电流的热损耗，又可避免使用介质支撑固定，将会体，既可减少电流的热损耗，又可避免使用介质支撑固定，将会大大降低传输损耗，提高功率容量。大大降低传输损耗，提高功率容量。平行双线平行双线l/4l/4并联并联 l/4 短路线短路线al/2b矩形波导矩形波导 然而，这种空心的金属管能传送微波吗？然而，这种空心的金属管能传送微波吗？理论和实践证明，只要金属管的截面尺寸与波长比足够大理论和实践证明，只要金属管的截面尺寸与波长比足够大,可以传输电磁波，这种金属管称为可以传输电磁波，这种金属管称为“波导波导”。用长线理论作定性分析：以矩形波导为例用长线理论作定性分析：以矩形波导为例,可将其视为由可将其
5、视为由平行双线演变来的：平行双线演变来的：al/2，这点不如同轴线。这点不如同轴线。麦克斯韦方程和边界条件决定了导行波的电磁场分布规律麦克斯韦方程和边界条件决定了导行波的电磁场分布规律和传播特性。和传播特性。波导可有各种截面形状，常用的是矩形波导和圆形波导，波导可有各种截面形状，常用的是矩形波导和圆形波导，此外，还有椭圆波导、脊形波导。此外，还有椭圆波导、脊形波导。4.空间技术的发展需要微波集成电路，就出现了空间技术的发展需要微波集成电路，就出现了带状线和带状线和微带线微带线；其体积小、重量轻、频带宽；但损耗大、功率容量小，；其体积小、重量轻、频带宽；但损耗大、功率容量小，主要用于小功率系统中
6、。主要用于小功率系统中。5.对毫米波、亚毫米波以及光波的开发研究及低损耗介质对毫米波、亚毫米波以及光波的开发研究及低损耗介质的出现又研制出的出现又研制出介质波导和光波导介质波导和光波导。本章将根据电磁场理论对传输系统进行分析，给出任意本章将根据电磁场理论对传输系统进行分析，给出任意截面传输系统中导行波的一般理论，并对导行波进行分类；截面传输系统中导行波的一般理论，并对导行波进行分类；再分别讨论矩形波导、圆波导、同轴线、微带线和带状线等再分别讨论矩形波导、圆波导、同轴线、微带线和带状线等传输线的传输特性。以传输线的传输特性。以为主。为主。复习麦克斯韦方程与边界条件复习麦克斯韦方程与边界条件(P5
7、0P53)1.时变场媒质特性方程时变场媒质特性方程2.时变电磁场方程时变电磁场方程3.时谐电磁场方程时谐电磁场方程(简谐场的复数表示简谐场的复数表示)4.边值关系边值关系第二节第二节 导行波及其传输特性导行波及其传输特性一、一、导行波的场方程及其解导行波的场方程及其解 在给定的边界条件的约束下，定向传输的电磁波称为导行在给定的边界条件的约束下，定向传输的电磁波称为导行电磁波，简称电磁波，简称导行波导行波。研究导行波的问题，即求出传输系统内。研究导行波的问题，即求出传输系统内任一点的电场、磁场表达式，任一点的电场、磁场表达式，实质上是在传输线系统的具体边实质上是在传输线系统的具体边界条件下求解麦
8、克斯韦方程组问题，用界条件下求解麦克斯韦方程组问题，用“场解法场解法”。本节将导出本节将导出均匀无限长传输系统均匀无限长传输系统中导行波的中导行波的场方程场方程，“均匀均匀”指传输系统的横截面的形状处处相同，沿轴线没有变化。指传输系统的横截面的形状处处相同，沿轴线没有变化。1.波动方程波动方程,0(假定波导内壁为理想导体假定波导内壁为理想导体(),系统是无源的系统是无源的。),(00波导内为真空波导内为真空),0J对余弦电磁波，有对余弦电磁波，有真空中复数形式的麦克斯韦方程真空中复数形式的麦克斯韦方程),(Re);,(),(Re);,(21212121tjtjezuuHtzuuHezuuEtz
9、uuE。，、表示表示纵坐标用纵坐标用为横截面坐标为横截面坐标zuu21,0HjEEjH0,0 E0 H(3-4)EEEE22)()(又又(3-9)得到得到00022EE(3-10a)同理，取同理，取 的旋度消去的旋度消去 ，可得，可得EjH0E00022HH(3-10b)EHjE0020)(取取 的旋度的旋度:HjE0记记 l2200cfk(3-11)代入式代入式(3-10)得真空中电磁场的波动方程得真空中电磁场的波动方程)123(002222HkHEkEl2200cfk式中式中 称为自由空间相位常数称为自由空间相位常数(波数波数),l 为自由空间波长，为自由空间波长，c 为真空中的光速。为真
10、空中的光速。2.导行波的一般形式导行波的一般形式(通解通解)133()(),(),(2121zZuuEzuuE令令)153(22222azT 分为分为将三维拉普拉斯算符将三维拉普拉斯算符z 是传输线的轴向，即导行波的传播方向，对是传输线的轴向，即导行波的传播方向，对z 先分离变量。先分离变量。则则对直角坐标对直角坐标为横向拉普拉斯算符,为横向拉普拉斯算符,212yuxuT,2222222222zzyxT22222yxT(3-15b)式式(3-13)、式、式(3-15a)代入式代入式(3-12a)得得)(),()(),()(21221222zZuuEkzZuuEzT2221212212)(),(
11、)(),(),(zdzZduuEzZuuEkuuET222121221221)()(1),(),(),()(),(zdzZdzZuuEuuEkuuEzZuuET0=0)123(022aEkE2221212212)()(1),(),(),(zdzZdzZuuEuuEkuuET(1)式式(1)左边与变量左边与变量 z 无关无关,右边仅与右边仅与 z 有关有关,而而u1、u2均为独立均为独立变量，要保证两边恒等，则右边应为常数，令变量，要保证两边恒等，则右边应为常数，令)2()()(1222zdzZdzZ)163(0)()(222azZzdzZd即即)173()(zzzeAeAeAzZ得纵向通解得纵
12、向通解其纵向解与长线理论中的传输线方程的解相似。其纵向解与长线理论中的传输线方程的解相似。)(二阶常微分方程二阶常微分方程得得中中已含于已含于其中常数其中常数,代入式代入式式式,),(13)(317)(321uuEA-zeuuEzuuE),(),(2121)133()(),(),(2121zZuuEzuuE同理可得同理可得zeuuHzuuH),(),(2121以上二式乘以时间因子以上二式乘以时间因子eit，得导行波的通解为得导行波的通解为)183(),();,(),();,(21212121ztjztjeuuHtzuuHeuuEtzuuE),(),(,2121uuHuuEj、”“传播常数传播常
13、数称为称为式中式中 分别分别称为电、磁场在横截面上的称为电、磁场在横截面上的“”。式式(2)代入式代入式(1)得得)1()()(1),(),(),(2221212212zdzZdzZuuEuuEkuuET)2()()(1222zdzZdzZ0),()(),(2122212uuEkuuET)163(b222ckk令令)203(得得0),(),(212212uuEkuuEcT同理同理0),(),(212212uuHkuuHcT)193(式式(3-19)是与横截面的坐标系无关的。是与横截面的坐标系无关的。对于横截面的任何坐对于横截面的任何坐标系，只要将标系，只要将 以相应的坐标系表示，式以相应的坐标
14、系表示，式(3-19)都适用都适用,kc 是是它的本征值它的本征值。2T0),(),(212212uuEkuuEcT0),(),(212212uuHkuuHcT)193(仿仿 k c 是一个重要的参数，以后是一个重要的参数，以后将会看到它的明确的物理意义。将会看到它的明确的物理意义。，l2k。cckl2令令：为为得传播常数得传播常数由由222ckkjkkkkkcc1222。为自由空间相位常数为自由空间相位常数2 22 2式中式中cfkl00,。为光速为光速波长波长为电磁波在自由空间的为电磁波在自由空间的c,l,22cfkcccl;2同量纲同量纲与波长与波长llcck,2ckfcc。与频率同量纲
15、与频率同量纲cf于是有于是有3.导波系统中波的传播状态和截止状态导波系统中波的传播状态和截止状态在在 kc 为正实数的条件下，有如下两种情况：为正实数的条件下，有如下两种情况：12kkkjc122clll)223(122ffcfc)233(121222ffcfcclll。称为波的称为波的“相位常数相位常数”。(1)当当 l fc)时，时，j 为纯虚数。为纯虚数。zjeAzZ)(在传播状态下在传播状态下,波动方程纵向解的形式波动方程纵向解的形式 与无耗与无耗长线的一致。长线的一致。)183(),();,(),();,(21212121ztjztjeuuHtzuuHeuuEtzuuE)243(),
16、();,(),();,()(2121)(2121ztjztjeuuHtzuuHeuuEtzuuE存在着相位传播因子存在着相位传播因子 ，表示沿表示沿 z 方向传播的波。方向传播的波。zje j 代入式代入式(3-18)，得导行波的解为，得导行波的解为(2)当当 l lc (即即 f fc)时时，为实数，为实数，)253(121222ffcfcclll。称为称为“衰减常数衰减常数”按式按式(3-18)，此时波动方程的解为，此时波动方程的解为)263(),();,(),();,(21212121tjztjzeeuuHtzuuHeeuuEtzuuE 场量场量沿沿 z 方向并无相位的变化，而是振幅方向
17、并无相位的变化，而是振幅沿沿 z 方向以指数方向以指数律衰减的简谐振动。这就是传输线的截止状态，律衰减的简谐振动。这就是传输线的截止状态，lc 、fc 分别称为分别称为截止波长和截止频率截止波长和截止频率,kc 称为称为截止波数截止波数。场，而没有波的传播。场，而没有波的传播。有有表明此时传输系统中只表明此时传输系统中只纵向解纵向解zeAzZ)(轴向衰减轴向衰减 此处的此处的 完全不同于有耗线的完全不同于有耗线的 由导体损耗和介质损耗引由导体损耗和介质损耗引起的起的，而是一种，而是一种无功衰减无功衰减。回回 顾顾HjE0EjH00 E0 H(3-4)183(),();,(),();,(2121
18、2121ztjztjeuuHtzuuHeuuEtzuuE导行波的通解导行波的通解)173()(zeAzZ纵向通解纵向通解)123(002222HkHEkE波波 动动 方方 程程)193(0),(),(212212uuEkuuEcT0),(),(212212uuHkuuHcT分布函数方程式分布函数方程式对对 z 分离变量分离变量。为自由空间相位常数为自由空间相位常数2 22 2cfkl00传输条件传输条件:l fc)12kkkjc122clll)223(122ffcfc传播常数：传播常数：221212ffcfcclll(3-23)j ，)()(),(),(),(),(ztjztjeyxHzyxH
19、eyxEzyxE(3-24)导行波的解导行波的解(直角坐标系直角坐标系)zjeAzZ)(纵向解：纵向解：沿沿z 方向传播的波。方向传播的波。cckl2cfc2,222 kkckc 为截止波数。为截止波数。截止条件截止条件：l lc (f fc)zeAzZ)(纵向解：纵向解：)253(121222ffcfcclll ，kc 截止波数截止波数lc 截止波长截止波长fc 截止频率截止频率tjztjzeeyxHzyxHeeyxEzyxE),(),(),(),(3-26)波动方程的解波动方程的解 (直角坐标系直角坐标系)只有轴向衰减场，而无波的传播。只有轴向衰减场，而无波的传播。请注意：请注意：为书写方
20、便为书写方便,今后场强复变量符号上的今后场强复变量符号上的“”将被略将被略去。去。4.导行波的场方程求解导行波的场方程求解 纵向场法：由场的纵向分量求相应的横向分量。纵向场法：由场的纵向分量求相应的横向分量。采用直角坐标系时，在传播状态下采用直角坐标系时，在传播状态下(l c 与相对论并不矛盾，它是与相对论并不矛盾，它是等相位面沿传播方向等相位面沿传播方向移动的速度，是一种波的干涉现象，而不是物质的真实运动速度。移动的速度，是一种波的干涉现象，而不是物质的真实运动速度。传播状态下，传播状态下，色散波色散波(TE、TM波波)的特性参量的特性参量(假定传输系统假定传输系统内充空气内充空气)相位常数
21、相位常数1)导波系统内，电磁波的等相位面在一个周期导波系统内，电磁波的等相位面在一个周期 T 内行进的距离内行进的距离称为相波长称为相波长(又称波导波长又称波导波长)，用用lg 表示。表示。)503()(1)(122ccpgfcfvllllll,fcl式中式中。称为波型因子称为波型因子2)(1cll)63(p的区别与注意gllgcllll2)(122，显然显然3)相波长相波长(波导波长波导波长)lg2)(1cgllll2)(1cggllll lg 可测：只要在纵向形成驻波，相邻两个波节点之距等于可测：只要在纵向形成驻波，相邻两个波节点之距等于lg/2。4)群速群速 vg 相速相速 vp 是波的
22、等相位面沿传输方向运动的速度是波的等相位面沿传输方向运动的速度,只能对单一只能对单一频率的电磁波定义相速频率的电磁波定义相速,而单一频率的电磁波是不能传送任何信而单一频率的电磁波是不能传送任何信号的。号的。欲使电磁波传送信号，必须进行调制。信号传输的速度应欲使电磁波传送信号，必须进行调制。信号传输的速度应是调制波中能反映信号情况的成分的传输速度。是调制波中能反映信号情况的成分的传输速度。一个载有信号的一个载有信号的已调波是由许多频率组成的已调波是由许多频率组成的“波群波群”，又称为波的包络，其传播，又称为波的包络，其传播速度称为群速速度称为群速 vg 。下面，以简单的两个振幅相等而频率相差极微
23、的正弦波叠加下面，以简单的两个振幅相等而频率相差极微的正弦波叠加后的波为例，推导群速后的波为例，推导群速 vg 的表达式的表达式:设其瞬时表达式分别为设其瞬时表达式分别为)cos();(1ztEtzE)()cos();(2ztEtzE,式中式中其叠加场为其叠加场为);();();(21tzEtzEtzEztztE22cos22cos2)22小量、（略去zt)cos(22cos2ztztE)cos();(zttzEm)(快变化化规律，向的变载波沿z)(慢变化向的变化规律，幅度沿合成波的z 叠加场的时空变化规律如叠加场的时空变化规律如图图3-6所示所示，这是一种调幅波这是一种调幅波,ztEtzEm
24、22cos2);(为为“包络包络”。其振幅其振幅z图图3-6 调幅波的示意图调幅波的示意图);(tzEm“包络线包络线”如图中的虚线所示，也具有波动的性如图中的虚线所示，也具有波动的性质。质。信号包含在信号包含在包络包络中，信号的传递靠调中，信号的传递靠调幅波的振幅的运动来幅波的振幅的运动来实现，其实现，其等相位面运等相位面运动的速度即为群速动的速度即为群速。常数常数zt22dtdzvtg求导得信号传递速度为求导得信号传递速度为对对 zztEtzEm22cos2);(图图3-6 调幅波的示意图调幅波的示意图令令对连续谱对连续谱ddvglim0(3-51)(a)对对TEM波波(空气介质空气介质)
25、00 k)523(100acddvTEMg(b)对对TE、TM波波(空气介质空气介质)20022222cckkk0000kddvTMTEg、)523()(1)(122bcffccccll0021)/(1llckc 显然，对色散波显然，对色散波,群速只有对窄频带的信号才有意义。当信群速只有对窄频带的信号才有意义。当信号频谱很宽时号频谱很宽时,由于各频率的传输速度不同由于各频率的传输速度不同,信号将产生严重畸变，信号将产生严重畸变，群速就失去意义。群速就失去意义。利用坡印廷利用坡印廷(Poynting)定理可以证明，导行波的能量传输速度定理可以证明，导行波的能量传输速度是群速，与信号传递速度相等。
26、是群速，与信号传递速度相等。这种现象称为这种现象称为“色散色散”。:随频率而变随频率而变波的波的gpvv、TMTE)483()(1)(122bffccvccpll)523()(1)(122bffccddvccgll当传输线内为真空当传输线内为真空(或空气或空气)时，有时，有2cvvgp(3-53)由于假定传输线内为真空由于假定传输线内为真空(或空气或空气)，是线，是线性的，因而产生色散的原因仅仅在于传输系统本身性的，因而产生色散的原因仅仅在于传输系统本身(尺寸、形状、尺寸、形状、边界条件等边界条件等)而与介质无关。这种色散现象称为而与介质无关。这种色散现象称为“正常色散正常色散”。图图3-5为
27、为vp、vg与与f 的关系曲线。的关系曲线。0vffccvpvgvp=vg色散波无色散波图图3-5 均匀传输系统中导行波的相速和群速均匀传输系统中导行波的相速和群速真空中真空中5)波阻抗波阻抗对沿对沿 z 方向传播的单一行波方向传播的单一行波xyyxHEHE20)(1120cTEll(3-46a)20)(1120cTMll(3-46b)波阻抗波阻抗与长线的特性阻抗与长线的特性阻抗 Z0 的区别的区别:长线的特性阻抗长线的特性阻抗 Z0,0rriiIUIUZ00000CjGLjRZ00)(CL无耗 均匀无耗长线的特性阻抗均匀无耗长线的特性阻抗Z0 决定于长线的截面形状、尺寸和决定于长线的截面形状
28、、尺寸和周围介质，是表征长线固有特征的一个重要参量。周围介质，是表征长线固有特征的一个重要参量。xyyxHEHEkkTEM2TE1cll2TM1cll 波阻抗波阻抗是横向电场与横向磁场的比值是横向电场与横向磁场的比值,TEM只与填充介质有只与填充介质有关；而关；而TE 和和TM与传输线的填充介质及截面尺寸有关。与传输线的填充介质及截面尺寸有关。波阻抗波阻抗 非铁磁介质非铁磁介质(,)(P64 表3-1)色散波与无色散波的特性比较色散波与无色散波的特性比较无色散波无色散波(TEM)色散波色散波(TE或TM)Ez=0,Hz=0kc 00),(0),(22yxHyxETT0),(),(0),(),(
29、2222yxHkyxHyxEkyxEcTcTkc=0fc=0Ez=0,Hz 0 或或 Hz=0,Ez 0fc 0222 kkcl2cccckcfl2kc2)(122cgpvllll(假定传输系统中是真空假定传输系统中是真空)llglllll2)(1cg无色散波无色散波(TEM)色散波色散波(TE或TM)ckvpccvcp2)(1llcddvgccddvcg2)(1ll12000TEM20)(1120cTEll20)(1120cTMll 注意表注意表3-1中各式假定传输系统中是真空的。若其中填以非铁中各式假定传输系统中是真空的。若其中填以非铁磁介质磁介质(,)则则,代代以以rcvc,代代以以工作
30、波长工作波长rll,00代代以以、。代代以以120分离变量并由分离变量并由边界条件求解边界条件求解Ez(x,y)、Hz(x,y)代代入入麦氏方程麦氏方程式式(34)波动方程波动方程式式(3-12)分布函数分布函数方程式方程式式式(3-19)旋度方程旋度方程式式(329)传播状态下传播状态下导行波的解导行波的解式式(331)分布函数纵向分布函数纵向分量方程式分量方程式式式(3-28)式式(3-30)分布函数各分布函数各分量间关系分量间关系式式(3-32)用纵向分量用纵向分量表示横向分量表示横向分量式式(3-33)对对 z分离变量分离变量分解为分解为六个分量六个分量两边展开两边展开取横向分量取横向分量对各变量求对各变量求偏导代入偏导代入完整的分布函数代入完整的分布函数代入式式(3-31)得时谐场的具体表达式得时谐场的具体表达式导行波的场方程求解导行波的场方程求解(纵向场法纵向场法)小小 结结待待讲讲
