1、 分类计数原理分类计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n n类方式，类方式，在第在第1 1类方式中有类方式中有m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类方式类方式中有中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类方式中有类方式中有m mn n种种不同的方法，那么完成这件事共有：不同的方法，那么完成这件事共有：nmmmN21 分步计数原理分步计数原理 完成一件事，完成一件事，需要分成需要分成n n个步个步骤骤，做第，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不种不同的方法，同的方法，做第，做第n n步时有步时有
2、m mn n种不同的方法。那么种不同的方法。那么完成这件事共有完成这件事共有 nmmmN21问题1北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？起点站起点站 终点站终点站北京北京上海上海北京北京北京北京上海上海上海上海广州广州广州广州广州广州 飞机票飞机票北京北京北京北京北京北京北京北京上海上海广州广州上海上海上海上海上海上海广州广州广州广州广州广州问题问题 由数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的两位数？树型图树型图123213313 我们把上面问题中被取的对象我们把上面问题中被取的对象叫做叫做元素元素。于是，所提出的问题就。于是，所提出的问题就是从是从3个不同的
3、元素个不同的元素a、b、c中任取中任取2个，然后按一定的个，然后按一定的顺序顺序排成一列，排成一列，求一共有多少种不同的排列方法求一共有多少种不同的排列方法。上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？一般地说，从一般地说，从 n 个不同元素个不同元素中，任取中，任取 m(mn)个元素个元素（本章本章只研究被取出的元素各只研究被取出的元素各不相同不相同的的情况情况），按照一定的，按照一定的顺序顺序排成一排成一列，叫做从列，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。个元素的一个排列。排列的概念：排列的概念：全排列：全排列：n个不同元素全部取出的一个排列个不同
4、元素全部取出的一个排列mnP用符号表示排列的定义中包含两个基本内容：排列的定义中包含两个基本内容：一个是一个是“取出元素取出元素”；二是二是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列”，根据排列的定义，两个排列相同，根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的且仅当两个排列的元素完全相同元素完全相同，而且而且元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同。说明：说明：例例 (2)写出从写出从 a,b,c,d 四个元素中四个元素中 任取两个元素任取两个元素的所有排列。的所有排列。(1)写出从写出从 a,b,c,d 四个元素中四个元素中 任取三个元素任取三个元素的所有排列。的所有排列。abcdcdbdcbbc
5、adadcdcacabdbdadabdabcbcacab(3)写出从写出从 a,b,c,d 四个元素都取出的所有排列。四个元素都取出的所有排列。从从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的个元素的排列数排列数，用符号用符号 表示。表示。排列数公式排列数公式mnP 1mnP、表示方法：nmnm均为正整数，且，、2nnP、全排列用表示全排列用表示第第1 1位位第第2 2位位nn-12(1)nn nP 第第1 1位位第第2 2位位第第3 3位位第第m m位位nn-1n-2n-m+
6、1(1)(2)(1)mnn nnnmP排列数公式排列数公式(1)(2)(1)(,)mnPn nnnmm nNmn结构特点：结构特点：(1)m个连续正整数的积个连续正整数的积(2)第一个因数最大，它是第一个因数最大，它是P的下标的下标n(3)第第m个因数（即最后一个因数）最小，个因数（即最后一个因数）最小，它是它是P的下标减去上标再加上的下标减去上标再加上全排列数公式全排列数公式(1)(2)nnn nnP 3 2 1nnnP！n的阶乘！的阶乘！例计算：例计算：（1 1）（2 2）44P35P812712(3);(4)0!.PP规定：规定：0!=1355 4 360P 444 3 2 124P 8
7、1271212 11 105512 110661PP练习：练习：5642998861023(3)2(4)9!PPPPP(1)1 71 654,_ _ _,_ _ _mnPnm 则)69)(68()57)(56)(55,)2(nnnnnNn则（若_用排列数符号表示17141569 nP428828 7 6 52 8 71568PP 56996109 8 7 6 59 8 7 6 52323423 419!4 3 2 1 104 3 2 1 19 8 7 6 59 8 7 6 50PPP 练习练习 应用公式解以下各题：应用公式解以下各题：2224(1)56(2)7nnnPnPPn，求。已知，求。2
8、2247(1)7(4)(5)6621400nnPPn nnnnn2(1)5687nPn nnn 或10(7)(620)073nnnn（舍）或者例解下列方程：例解下列方程：3221326xxxPPP3221326xxxPPP3(2)2(1)614xxx3(2)2(1)(1)(11)6)xxx xx xx x例例 求证下列各式：求证下列各式：11!(1)()!(2)mnmmnnnPnmPn P)(nmk（排列数公式）（排列数公式）(1)(2)(1)mnPnnnnm()(1)1(1)(2)(1)()(1)1nmnmnnnnmnmnm!()!nnm!()!mnnPnm11(1)!(1)(1)!mnnn
9、n Pnm(1)!(1)(1)!nmn n 练习练习 求证下列各等式求证下列各等式11(1)mmmnnnPmPP.(2)nn!=(n+1)!-n!练习练习 求证下列各等式求证下列各等式189(3)34,nnPPn已知求 的值1898989 83434348)!10)!8)!10)(9)(8)!nnPPnnnnnn！（29334141978010)(9)10)(9)nnnnnn（(6)(13)0613nnnn或知识回顾：知识回顾：1、排列：、排列：从从n个不同元素中个不同元素中取出取出m 个元素，个元素，按照一定按照一定的顺序排成一列的顺序排成一列，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个排列素的一个排列.)(nm 2、排列数公式：、排列数公式：(1)(2)(1)mnPn nnnm)!(!mnn3、阶乘的性质：、阶乘的性质：（1）n!=n(n-1)!(2)nn!=(n+1)!-n!规定：规定：0!=122谢谢！谢谢！
