1、第第6章章 测量误差基本知识测量误差基本知识 6.1 测量误差概述测量误差概述 6.2 评定精度的标准评定精度的标准 6.3 误差传播定律误差传播定律6.4 等精度独立观测量的最可靠值与精度评定等精度独立观测量的最可靠值与精度评定6.5 不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述对未知量进行测量的过程称为对未知量进行测量的过程称为观测观测。测量所测。测量所测得的数值称为得的数值称为观测值观测值。观测过程中由于不可避免观测过程中由于不可避免的存在一些因素会对观测结果产生影响，从而使的存在一些因素会对观测结果产生影响，从而使
2、得观测值与真值之间存在一定的差异，这种差异得观测值与真值之间存在一定的差异，这种差异称为称为测量误差或观测误差测量误差或观测误差。即：。即：第第1 1节节 概述概述1、仪器工具的影响。、仪器工具的影响。2、人的因素。、人的因素。3、外界条件的影响、外界条件的影响。观测观测条件：条件：仪器设备、仪器设备、观测者、外界环境统称为观测条件。观测者、外界环境统称为观测条件。6.1.1测量误差的来源测量误差的来源6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述6.1.2测量误差的种类测量误差的种类1.系统误差系统误差2.偶然误差。偶然误差。1.系统误差：系统误差：在在一定的观测条件下进行一系列观测，如果误差的符
3、一定的观测条件下进行一系列观测，如果误差的符号与大小保持不变或按一定的规律变化，这类误差称为号与大小保持不变或按一定的规律变化，这类误差称为系系统误差。统误差。如：如：i角误差、角误差、2C误差、指标差、度盘偏心差、误差、指标差、度盘偏心差、标尺零点差、钢尺尺长误差、标尺零点差、钢尺尺长误差、特性：特性：对测量成果的影响对测量成果的影响有累积性有累积性6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述系统误差的处理方法：系统误差的处理方法：（1）用）用计算的方法加以改正计算的方法加以改正。（2）用）用合适的观测方法加以削弱。合适的观测方法加以削弱。（3）将）将系统
4、误差限制在一定的允许范围之内。系统误差限制在一定的允许范围之内。6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述2、偶然误差偶然误差 在在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号呈现出偶然性，即没有一定的规律，这类误差称大小和符号呈现出偶然性，即没有一定的规律，这类误差称偶然误差。偶然误差。如：气泡居中误差，估读误差，如：气泡居中误差，估读误差，瞄准误差，环境影响。瞄准误差，环境影响。6.1.3偶然误差的特性偶然误差的特性 在在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是
5、有界的；限度，即偶然误差是有界的；绝对值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；绝对值绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；相等的正、负误差出现的机会相等；在在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即 6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述 0limlim321nnnnn6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述偶然误差分布曲线为正态分布偶然误差分布曲线为正态分布。6.2 评定精度的标准评定精度的标准精度精度:是指对某
6、个量进行多次同精度观测中，其偶然是指对某个量进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的离散程度。误差分布的离散程度。分布密集说明小误差多分布密集说明小误差多,观测质量较好，分散说观测质量较好，分散说明大误差多明大误差多,观测质量低。观测质量低。6.2 评定精度的标准评定精度的标准评定观测值精度的指标评定观测值精度的指标中误差中误差相对中误差相对中误差极限误差或容许误差极限误差或容许误差6.2 评定精度的标准评定精度的标准1、中误差、中误差 从图中看出，从图中看出，愈小，愈小，曲线愈陡峭，表示误差分布愈密曲线愈陡峭，表示误差分布愈密集，精度越高，集，精度越高，愈大，愈大，曲线愈平缓，表示误差分布愈离
7、散。曲线愈平缓，表示误差分布愈离散。可见，可见，的大小可反映误差分布的的大小可反映误差分布的密集或离散的程度。密集或离散的程度。nn22lim真误差真误差n观测次数观测次数6.2 评定精度的标准评定精度的标准nm 一般情况下，中误差越大，表示误差的离散性大，观测一般情况下，中误差越大，表示误差的离散性大，观测值精度越低，反之，精度越高。值精度越低，反之，精度越高。自乘求和自乘求和平均开方平均开方 nn22lim1、中误差、中误差6.2 评定精度的标准评定精度的标准例6-1：设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求每次观测所得的三角形内角和的真误差第一组：3，2，4，2，0，4
8、，3，2，3，1；第二组：0，1，7，2，1，l，8，0，3，1；1、中误差、中误差6.2 评定精度的标准评定精度的标准解：解：22222222221222222222223(2)(4)20(4)32(3)(1)2.7100(1)(7)211(8)03(1)3.610mm 比较m1和m2的值可知，第一组的观测精度较第二组观测精度高。22222222221222222222223(2)(4)20(4)32(3)(1)2.7100(1)(7)211(8)03(1)3.610mm 6.2 评定精度的标准评定精度的标准 有些观测量的精度可以用中误差来评定，但有些观测量有些观测量的精度可以用中误差来评定
9、，但有些观测量仅用中误差评定是不能反映出精度的高低的。如距离测量仅用中误差评定是不能反映出精度的高低的。如距离测量的精度，若的精度，若测量测量5000米和米和1000米米中误差中误差都是都是0.5m，但这但这两段距离的精度并不一样，显然两段距离的精度并不一样，显然，1000米米的的精度精度优于优于5000米米精度。此时应用相对误差评定更为准确。精度。此时应用相对误差评定更为准确。5000m 0.5m1000m 0.5ABCD2.相对误差相对误差6.2 评定精度的标准评定精度的标准 绝对误差绝对误差（中误差，真误差）的绝对值与相应观测量的（中误差，真误差）的绝对值与相应观测量的比值，化成分子为一
10、的形式，叫作相对误差（相对中误差，比值，化成分子为一的形式，叫作相对误差（相对中误差，相对真误差）。用相对真误差）。用K K 表示表示 。相对误差分母越大，相对误差分母越大，k值越小，精度越高反之，精度越低。值越小，精度越高反之，精度越低。mDDmk1?1平均返往DDDk2.相对误差相对误差6.2 评定精度的标准评定精度的标准2.相对误差相对误差5000m 0.5m1000m 0.5ABCD解：10000150005.0111DmK2000110005.0222DmK可见：可见：21KK 即前者的精度比后者高。即前者的精度比后者高。6.2 评定精度的标准评定精度的标准3.极限误差和容许误差极限
11、误差和容许误差因此因此，测量上一般，测量上一般取取 683.021)(222deP955.021)22(22222deP997.021)33(33222deP3极限m3容2m容或或6.3 误差传播定律误差传播定律误差传播误差传播:直接直接观测量的误差以一定的方式传递给间接观测量。观测量的误差以一定的方式传递给间接观测量。误差传播定律：误差传播定律：是指各观测值中误差与函数中误差之间的关系。是指各观测值中误差与函数中误差之间的关系。Z=f(xZ=f(x1 1,x,x2 2,x xn n)广泛广泛用来计算和评定函数值（间接观测量）的精度。用来计算和评定函数值（间接观测量）的精度。6.3 误差传播定
12、律误差传播定律6.3.1 倍数函数的中误差倍数函数的中误差设Z=Kx式中K为常数，x为未知量的直接观测值，Z为x的函数当观测值x有误差x时，函数为Z的误差为z，即 Z+z=K(x+x)z=Kxz1=Kx1z2=Kx2zn=Kx n公式两边平方相加再除以n，则nKnxxzz2根据中误差定义可得222xzmKm mz=Kmx 6.3 误差传播定律误差传播定律6.3.2 和或差函数的中误差和或差函数的中误差 设某一量Z是两个独立观测值x和y的和或差，则有关系式Z=xy 当x与y分别含有真误差x与y时，则函数Z也会产生真误差z，即Z+z=(x+x)(y+y)z=xy6.3 误差传播定律误差传播定律因为
13、x与y是偶然误差，根据偶然误差的第四个特性，当n相当大时，xy=0，故上式为设x与y都观测了n次，则有:222yxZmmm即 z1=x1y1z2=x2y2zn=xnyn公式两边平方相加再除以n得6.3 误差传播定律误差传播定律6.3.2 和或差函数的中误差和或差函数的中误差 推而广之，设函数Z=x1+x2+xn，x1、x2xn为独立观测值，它们的中误差为m1、m2mn，则函数Z的中误差m2为mz=22221nmmm 假设上式中 m1=m2=mn=m则 mz=mn 6.3 误差传播定律误差传播定律6.3.3 线性函数的中误差线性函数的中误差设独立观测值为L1，L2Ln，常数K1，K2，Kn，线性
14、函数Z的关系为mz=22221nmmm 再设 x1=K1L1，x2=K2L2，xn=KnLn，则上式为：Z=K1L1+K2L2+KnLn Z=x1+x2+xn设Li观测值的中误差为mi，则xi的中误差222iLiximkm函数Z的中误差为：22222221221LnnLLxmkmkmkm6.3 误差传播定律误差传播定律设函数设函数Z=f(x1,x2,xn),x1,x2,xn为为独立观测值，独立观测值，x1,x2,xn的中误差为的中误差为m1,m2,mn,6.3.3 一般函数的中误差一般函数的中误差nnzdxxfdxxfdxxfd221122222221212)()()(nnzmxfmxfmxf
15、m2222222121)()()(nnzmxfmxfmxfm6.3 误差传播定律误差传播定律应用应用3）将系数代入误差传播定律即可求得函数值中误差：式中，就是误差传播定律中的系数。ixfnxxxfz 21,xnnxxzdxfdxfdxfd 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步三步：1）按问题的要求写出函数式：2）对函数式全微分，得出关系式：2222222121)()()(nnzmxfmxfmxfm6.3 误差传播定律误差传播定律例1：在地面有矩形ABCD，AB=40.38m0.03m，BC=33.42m0.02m，求面积及其中误差。b
16、aAadbdd1、列出函数关系式，并求函数值：2、对函数表达式取全微分：3、求函数值中误差：设AB=a=40.38米，ma=0.03米，BC=b=33.42米，mb=0.03米,面积s=ab求，msmbaf42.33mabf38.40S=ab=40.3833.42=1349.50(m2)22222abSmbmam2222absmbmam1.29(m2)2222222121)()()(nnzmxfmxfmxfm6.3 误差传播定律误差传播定律例例2 2：由已知点求未知点坐标时，须测得已知点到未知点的由已知点求未知点坐标时，须测得已知点到未知点的方位角方位角及边长及边长D，再求得坐标增量，再求得坐
17、标增量x、y，最后求得未知，最后求得未知点的坐标点的坐标x和和y。现在测得某一边长。现在测得某一边长D=167.245m0.016m，方位角，方位角=67483020，求未知点的点位精度，求未知点的点位精度。解：由边长及方位角求坐标增量的公式为sincosDyDx222222)()(sincosmDdmamz同理可得：同理可得：6.3 误差传播定律误差传播定律6.3.4 应用实例应用实例1、水准测量的精度、水准测量的精度1）每测站高差限差）每测站高差限差 每测站高差h=ab，DS3水准仪读数时估读毫米的误差不超过3毫米，即ma=mb=3毫米。由误差传播定律可知：由误差传播定律可知：即即故规定故
18、规定DS3水准仪每测站两次高差之差范围不大于水准仪每测站两次高差之差范围不大于5mm222bahmmmmmmmah532226.3 误差传播定律误差传播定律6.3.4 应用实例应用实例1、水准测量的精度、水准测量的精度2）水准路线精度分析）水准路线精度分析 设在A、B两点用水准仪测了n个测站，其中第i个测站测得的高差为hi，则A、B两点之间的高差h为h=h1+h2+hn 设各测站观测的高差是等精度的独立测值，其中误差均为m站，即m1=m2=m站站由误差传播定律可得：由误差传播定律可得：站mnmh 6.3 误差传播定律误差传播定律6.3.4 应用实例应用实例 若水准路线是在地形平坦的地区进行的，
19、前后两立尺间的距离l大致相等。设A、B的距离为L，即两点测站数n=代入上式得 则1公里路线长的高差中误差当A、B的距离为L公里时，A、B两点间的高差中误差mh为：若水准测量进行了往返观测，最后观测结果为往返测高差值取中数，则设 ，称为1公里往返高差中数的中误差，则 lL站mlLmh站公里mlm1公里mLmh22公里mLmmhh公里mmh2公里mLmh6.3 误差传播定律误差传播定律6.3.4 应用实例应用实例2、水平角测量的精度、水平角测量的精度1）DJ6型光学经纬仪测角中误差型光学经纬仪测角中误差 DJ6型光学经纬仪一测回方向中误差为6，而一测回角值为两个方向值之差，故一测回角值的中误差为：
20、2）测回之间较差的限差）测回之间较差的限差 测回法测角时，各测回之间的较差的中误差应为其差值的中误差，即其差值中误差：若以3倍中误差为限差，则有5.8=6 2=m m2=m4035.7=8.5 3 =23=m限m6.4等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定6.4.1 等精度独立观测量的最或是值等精度独立观测量的最或是值 设对某量进行了n次等精度观测，其真值为X，观测值为 ，相应的真误差为1，2，n，则 xLxnn xxnnL真值算术平均值观测值xL;)(nXlXlXlnn2211xii即：即：将上式相加再除以观测次数将上式相加再除以观测次数n，得：，得：6.4
21、等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定1.观测值中误差6.4.2 评定精度评定精度真误差Xlii最或是误差Llvii两式相减得令则XLvii XLiiv对上式两边取平方和得：vnvv22因故 0v 2nvv6.4等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定又有XL22XL 2Xnl 22121XlXlXlnn22121nn3121222212221nn 23121222nn根据偶然误差特性，当n时，上式等号右边的第二项趋向于零，故22n6.4等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定于是 2nnvvn
22、2nvv nmnvvm22即 1nvvm6.4等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定2.最或是值的中误差最或是值的中误差设对某量进行n次等精度观测，其观测值 ，观测值中误差为m，最或是值为L。则有：),2,1(nili nlnlnlnnlL11121根据误差传播定律，有：222222111mnmnmnM故：nmM6.4等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定归纳观测精度评定归纳观测精度评定:1、观测值中误差公式观测值中误差公式：m=2、平均值中误差公式平均值中误差公式：M=m/=计算计算举例举例 1nvv)1(nnVVn观测值或
23、是误差VVV中误差35 18 2835 18 2535 18 2635 18 2235 18 24 3013190191观测值中误差m=m=2.23或是值中误差M=m/M=2.23/=1 X=35 18 25=0 =20VV V1nVV420n5 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定 在对某量进行不等精度观测时，各观测结果的在对某量进行不等精度观测时，各观测结果的中误差不同。显然，不能将具有不同可靠程度的各观中误差不同。显然，不能将具有不同可靠程度的各观测结果简单地取算术平均值作为最或是值并评定精度。测结果简单地取算术平均值作为最或是值并评定精度。
24、此时，需要选定某一个比值来比较各观测值的可靠程此时，需要选定某一个比值来比较各观测值的可靠程度，此比值称为权。度，此比值称为权。6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定6.5.1 权的概念权的概念 设一组不等精度观测值为设一组不等精度观测值为li，相应的中误差为，相应的中误差为mi（i1，2，n），选定任一大于零的常数），选定任一大于零的常数，定义权，定义权Pi为为2iimP称称Pi为观测值为观测值li的权。对一组已知中误差的观测值而言，选的权。对一组已知中误差的观测值而言，选定一个定一个值，就有一组对应的权值，就有一组对应的权。各观测值的权之间的比例
25、关各观测值的权之间的比例关系为：系为：2222122221211:1:1:nnnmmmmmmPPP1.权的定义权的定义 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定2.权的性质权的性质 权和中误差都是用来衡量观测值精度的指标，但中误差是权和中误差都是用来衡量观测值精度的指标，但中误差是 绝对性数值，表示观测值的绝对精度；权是相对性数值，绝对性数值，表示观测值的绝对精度；权是相对性数值，表示观测值的相对精度。表示观测值的相对精度。权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值越可靠，精度越高。值越可靠，
26、精度越高。权始终取正号。权始终取正号。由于权是一个相对性数值，对于单一观测值而言，权无意由于权是一个相对性数值，对于单一观测值而言，权无意义。义。权的大小随权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关系不变。的不同而不同，但权之间的比例关系不变。在同一个问题中只能选定一个在同一个问题中只能选定一个值，不能同时选用几个不值，不能同时选用几个不同的同的值，否则就破坏了权之间的比例关系。值，否则就破坏了权之间的比例关系。6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定6.5.2测量中常用的确权方法测量中常用的确权方法1.等精度观测值的算术平均值的权等精度观测值的算术平均
27、值的权 设一次观测的中误差为m，则n次等精度观测值的算术平均值的中误差 为：nmM 由权的定义取m2，则一次观测值的权为：1222mmmPi 算术平均值的权为nnmmMPL222由此可知，取一次观测值之权为由此可知，取一次观测值之权为1，则，则n次观测的算术平均次观测的算术平均值的权为值的权为n。故权与观测次数成正比。故权与观测次数成正比。6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定设一次观测值的中误差为m，其权为P0，并设m2，则1220mmP 等于1的权称为单位权，而权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用表示。对于中误差为mi的观测值（或观测值的函数
28、），其权Pi为22iimP 则相应的中误差的另一表达式可写成为iiPm1 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定2.权在水准测量中的应用权在水准测量中的应用设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为m站，则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为iiNmm站ni,2,1取c个测站的高差中误差为单位权中误差，即 则各水准路线的权为iiiNcmP22由此可见，各测站观测高差为等精度时，各水准路线的由此可见，各测站观测高差为等精度时，各水准路线的权与测站数或路线长度成反比。权与测站数或路线长度成反比。cm站或iiLcP Li各水准路线的长度 6.5不等精度独立
29、观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定3.在距离丈量工作中的应用在距离丈量工作中的应用设单位长度（一公里）的丈量中误差为m，则长度为s公里的丈量中误差为smmi取长度为c公里的丈量中误差为单位权中误差，即，则得距离丈量的权为scmPi22由此可见由此可见,距离丈量的权与长度成反比距离丈量的权与长度成反比 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定6.5.3 求不等精度观测值的最或是值求不等精度观测值的最或是值加权算术平均加权算术平均值值设对某量进行n次不等精度观测，观测值为l1，l2，ln，其相应的权为P1，P2，Pn，测量上取
30、加权平均值为该量的最或是值，即 PPlPPPlPlPlPLnnn212211最或是误差为LlviiLPlPvPiiiii将等式两边乘以相应的权即 PLPlPv0Pv可以用作计算中的检核可以用作计算中的检核 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定6.5.4 不等精度观测的精度评定不等精度观测的精度评定1.最或是值的中误差最或是值的中误差不等精度观测值的最或是值为 PPlPPPlPlPlPLnnn212211即 nnlPPlPPlPPPPlL2211按中误差传播公式，最或是值L的中误差)(1222222212122nnmPmPmPPM 6.5不等精度独立
31、观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定6.5.4 不等精度观测的精度评定不等精度观测的精度评定若令单位权中误差等于第一个观测值l1的中误差，即m1，则各观测值的权为则22iimP PPPPPPPMn2222222212 PM 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定2.单位权观测值中误差单位权观测值中误差由22iimP知nnPmPmPm2222221212相加得PmmPmPmPmnnn22221212则nPmm 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定2.单位权观测值中误差单位权观测值
32、中误差当n时，用真误差代替中误差m，衡量精度的意义不变，则可将单位权观测值中误差公式改写为：此式为用真误差计算单位权观测值中误差的公式类似上节推倒可得用观测值改正数来计算单位权中误差的公式为用观测值改正数计算不等精度观测值最或是值中误差的公式nP1nPvv PnPvvM1 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定例：在水准测量中，从三个已知高程点A、B、C出发测得E点的三个高程观测值Hi及各水准路线的长度Li。求E点高程的最或是值HE及其中误差MH。解：解：取路线长度Li的倒数乘以常数C为观测值的权，并令C=1，计算如下表所示测段高程观测值Hi(m)路
33、线长度Li(km)权Pi=1/Li最或是误差vpvpv2AEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.61.150123.0 6.5不等精度独立观测量的最可靠值不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定与精度评定则E点高程的最或是值为单位权中误差为：mHE330.4240.050.025.0332.4240.0320.4250.0347.4225.0mmnPvv8.7130.1231最或是值的中误差为：mmMH3.715.118.7本章小结本章小结1.测量误差是观测量的观测值与真值之间的差值
34、，误差存在于所以观测值中；误差主要来源于观测者、仪器及外界条件，这三者称为观测条件。2.误差按照性质可以分为系统误差和偶然误差，系统误差具有一定的规律，可以通过一定的观测方法、加改正数或定期检校仪器的方法消除或减弱；消除或减弱系统误差后的观测值误差主要以偶然误差为主，少量的偶然误差看不出什么规律，但是大量的偶然误差却呈现出正态分布的特征，因此可以通过多次测量求平均值的方法减弱偶然误差的影响，从而得到观测值得最或然值。本章小结本章小结4.平差工作除了获得观测值得最或然值外还需要对测量误差进行评价，常用的误差评价方法有中误差、相对误差和允许误差。5.通过直接观测值计算出来的观测值称为间接观测值，间接观测值的中误差可以通过误差传播定律进行计算。6.根据观测条件是否变化可以将观测值分为等精度观测和不等精度观测，等精度观测值的最或然值是算数平均值，不等精度观测值得最或然值是加权平均值。
