1、第四章第四章 统计物理学基础统计物理学基础4-1 统计物理的基本概念统计物理的基本概念一、物质的微观模型一、物质的微观模型热力学系统热力学系统（热力学研究的对象）（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。外界外界：热力学系统以外的物体。：热力学系统以外的物体。微观粒子体系的基本特征微观粒子体系的基本特征(1)分子分子(或原子或原子)非常小。非常小。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子之间存在相互作用力分子之间存在相互作用力-分子力分子力.(4(4）分子或原子都以不同的速率不
2、停地运动。）分子或原子都以不同的速率不停地运动。(3(3）分子之间存在相互作用力）分子之间存在相互作用力-分子力。分子力。0rr 为斥力且为斥力且 增加时增加时f f急剧增加急剧增加r0rr 为平衡态，为平衡态，f f=0=00rr r为吸引力且为吸引力且增加时增加时f f先增再减少先增再减少注意注意 d d 可视为分子力程；可视为分子力程；数量级在数量级在1010-10-10-10-10-8-8m m数数量级，可看为分子直径量级，可看为分子直径（有效直径）。（有效直径）。d分子力是电性力，远大于万有引力。分子力是电性力，远大于万有引力。f frmr0rd d宏观量宏观量状态参量状态参量 描写
3、热力学系统宏观状态的参量。描写热力学系统宏观状态的参量。如如 压强压强 p、体积、体积 V、温度、温度 T 等。等。微观量微观量 描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理量。量。如分子的质量、如分子的质量、直径、速度、动量、能量直径、速度、动量、能量 等。等。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。二、系统二、系统状态的描写状态的描写在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强。但随着时间的推移，各处的密度、压强等都达到了均匀，无外
4、界影响，状态保持不变，就等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是是平衡态平衡态。设一容器，用隔板将其隔开当设一容器，用隔板将其隔开当隔板右移时，分子向右边扩散隔板右移时，分子向右边扩散平衡态平衡态:在无外界的影响下，系统的宏观性质不随在无外界的影响下，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。时间改变的稳定状态。假想把箱子分成两相同体积的部假想把箱子分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：例如：粒子数粒子数说明说明：平衡态是一种理想状态平衡态是一种理想状态 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因
5、处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间观量不随时间 改变。改变。平衡态是一种热动平衡平衡态是一种热动平衡状态方程状态方程RTMMpVmol 理想气体理想气体气气体体的的摩摩尔尔质质量量气气体体质质量量 molMMmol/J.R318 普普适适气气体体常常量量 po),(111TVpI),(222TVpII V0),(TVpf物态方程物态方程(状态方程状态方程)当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：函数关系：三、分子热运动的无序性和统计规律
6、性三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性什么是统计规律性(statistical regularity)大量偶然性大量偶然性从从整体上整体上所体现出来的所体现出来的必然性必然性。例例.扔硬币扔硬币从入口投入小球从入口投入小球与钉碰撞与钉碰撞落入狭槽落入狭槽为清楚起见为清楚起见,从正面来观察。从正面来观察。(偶然偶然)隔板隔板铁钉铁钉统计规律和方法统计规律和方法 伽尔顿板伽尔顿板 大量偶然事件整体所遵大量偶然事件整体所遵循的规律循的规律 统计规律。统计规律。再投入小球：再投入小球：经一定段时间后经一定段时间后,大量小大量小球落入狭槽。球落入狭槽。分布情况：分布情况：中间多，两边少。中
7、间多，两边少。重复几次重复几次，结果相似。，结果相似。单个小球运动是随机的单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。大量小球运动分布是确定的。统计规律和方法统计规律和方法 伽尔顿板伽尔顿板小球数按空间小球数按空间位置位置 分布曲线分布曲线四、四、统计的基本概念统计的基本概念1.概率概率 如果如果N次试验中出现次试验中出现A事件的次数为事件的次数为NA,当当N时，比值时，比值NA/N称为出现称为出现A事件的事件的概率概率。NNAPANlim)(概率的性质概率的性质:(1)概率取值域为概率取值域为1)(0 AP 统计规律特点统计规律特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才
8、有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变).(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.1)(NNAPiAiiii几率归一化条件几率归一化条件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和二互斥事件的概率等于分事件概率之和)()()(BPAPBAP (4)二相容事件的概率等于分事件概率之积二相容事件的概率等于分事件概率之积)()(),(BPAPBAP 2.概率分布函数概率分布函数随机变量随机变量在一定条件下在一定条件下,变量以确定的概率变量
9、以确定的概率取各种不相同的值。取各种不相同的值。1.离散型随机变量离散型随机变量取值有限、分立取值有限、分立表示方式表示方式 SSPPP2121 1),2,1(01 SiiiPSiP有有2.连续型随机变量连续型随机变量取值无限、连续取值无限、连续随机变量随机变量X的的概率密度概率密度dxxdPx)()(变量取值在变量取值在xx+dx间间隔内的概率隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。1)(dxx 又称为又称为概率分布函数概率分布函数（简称（简称分布函数分布函数）。）。)(X 3.统计平均值统计平均值 算术平均值为算术平均值为 NNNN
10、iiiii 统计平均值为统计平均值为 iiiNiiiNPNNNN )(limlim对于离散型对于离散型随机变量随机变量 随机变量的统计平均值等于一切可能状态随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值的概率与其相应的取值 乘积的总和。乘积的总和。i 对于连续型随机变量对于连续型随机变量统计平均值为统计平均值为 dxxxx)(“涨落涨落”现现象象-测量值与统计值之间总有偏离测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随，不随时间改变，时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，壁的情
11、况完全一样，分子数越多，涨落就越小。分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。布朗运动是可观测的涨落现象之一。例：例：氧气瓶的压强降到氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压，压强为强为1.3 107Pa，若每天用，若每天用105Pa的氧气的氧气400L，问此瓶，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态
12、参量分别为体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为333222111MVpMVpMVp使用时的温度为使用时的温度为T设可供设可供 x 天使用天使用原有原有每天用量每天用量剩余剩余 x TMVp111TMVp222TMVp333分别对它们列出状态方程，有分别对它们列出状态方程，有RTMMVpRTMMVpRTMMVpmolmolmol333222111 23131xMMMVV 22131231VpV)pp(MMMx 天天6940013210130.)(4-2 理想气体的压强理想气体的压强 温度和内能温度和内能一、一、理想气体的微观模型和理想气体的微观模型和统计假设统计假设1.理想气体微观模型理
13、想气体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。分子间的碰撞是完全弹性的。分子所受重力忽略不计分子所受重力忽略不计理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。2.统计假设统计假设 分子数密度处处相等；分子数密度处处相等；cbannn 分子沿各个方向运动的几率均等。分子沿各个方向运动的几率均等。亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。222
14、231vvvvzyx NvNvvvvin/)(2222212abc二理想气体的压强公式二理想气体的压强公式 一定质量的处于平衡态的某种理想气体。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m)xyz1l2l3lO2A1Aivizviyvixvkvjvivviziyixi 平衡态下器壁平衡态下器壁各处压强相同，各处压强相同，选选A1面求其所面求其所受压强。受压强。xy1lO2A1Aixmvixmv i分子动量增量分子动量增量ixixmvp2 i分子对器壁的冲量分子对器壁的冲量ixmv2i分子相继与分子相继与A1面碰撞的时间间隔面碰撞的时间间隔ixv/lt2 单位时间内单位时间内i分子对分子对A
15、1面的碰撞次数面的碰撞次数121l/vt/Zix 单位时间内单位时间内i分子对分子对A1面的冲量面的冲量122l/vmvixix i分子对分子对A1面的平均冲力面的平均冲力122l/vmvFixixix 所有分子对所有分子对A1面的平均作用力面的平均作用力 NiixNiixxvlmFF1211压强压强NlllvmNvlllmllFpNiixNiixx321121232132 212ixNiixvNv nlllN 3212ixvnmp 222231vvvvzyx 2231vnmvnmpx 分子的平均平动动能分子的平均平动动能221vmw 平衡态下平衡态下wnp32 TNRnRTmNNmVpAA
16、1三、三、分子的平均平动动能与温度的关系分子的平均平动动能与温度的关系RTMMpVmol 玻玻尔尔兹兹曼曼常常量量12310381 KJ.NRkAnkTp wnp32 kTvmw23212 温度是气体分子平均平动动温度是气体分子平均平动动能大小的量度能大小的量度例例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？）这时气体分子的平均平动动能变化多少
17、？解：解：222111)1(TVpTVp KTKTVV450177273,30027273,2:2121 由由已已知知12211221233004502pVVpTVTVp kTw)(232 J.)(.)TT(kwww2123121210113300450103812323 气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根molMRTmkTv332 kTvmw23212 气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反
18、比。Tv 2molM/v12 1.自由度自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例四、四、能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 xzy),(zyxC单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=33 rtixzy),(zyxC 双原子分子双原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=25 rtixzy),(zyxC 三原子或三原子或三三原子以上原子以上的分子的分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=36 rti实际气体不能看成刚
19、性分子，因原子之间还有振动实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动二、能量均分定理二、能量均分定理kTvmw23212 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 气体分子沿气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的三个方向运动的平均平动平均平动动能动能完全相等，可以认为分子的平均平动动完全相等，可以认为分子的平均平动动能能 均匀分配在每个平动自由度上。均匀分配在每个平动自由度上。kT23平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能自由度的平均动能都是kT21能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理如果某种气
20、体的分子有个如果某种气体的分子有个 t 个平动自由度个平动自由度,r 个转个转动自由度动自由度,s 个振动自由度个振动自由度.则分子具有：则分子具有：平均平均平动平动动能动能kTt2平均平均转动转动动能动能kTr2平均平均振动振动动能动能kTs2注意注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份：对应分子的一个振动自由度，除有一份 振动的动能外，还有一份平均势能。振动的动能外，还有一份平均势能。结论：分子的平均总能量结论：分子的平均总能量 skTkTsrt21)(21 kTsrt)2(21 对刚性分子：对刚性分子：气体分子气体分子无振动无振动，则分子的平均，则分子的平均动能为动能为kTikTrt2)
21、(21 五、理想气体的内能五、理想气体的内能分子间相互作用分子间相互作用可以忽略不计可以忽略不计分子间相互作用的势能分子间相互作用的势能=0理想气体的内能理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为理想气体的内能为RTikTiNEAmol2)2(一定质量理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为RTiMMEmol2 温度改变，内能改变量为温度改变，内能改变量为TRiMMEmol 2 例例 就质量而言，空气是由就质量而言，空气是由76%的的N2，23%的的O2和和1%的的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、
22、40。空气的摩尔质量为。空气的摩尔质量为28.9 10-3kg，试计算，试计算1mol空气空气在标准状态下的内能。在标准状态下的内能。解：解：在在1摩尔空气中摩尔空气中N2质量质量kg.%.M331101227610928 摩尔数摩尔数789028122111.MMnmol O2质量质量kg.%.M332106562310928 摩尔数摩尔数208032656222.MMnmol Ar质量质量kg.%.M333102890110928 摩尔数摩尔数0070402890333.MMnmol 1mol空气在标准状态下的内能空气在标准状态下的内能RT)ninini(RTniRTniRTniE3322
23、1133221121222 J31068527331800703208057890521 .).(平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出耒，尔后被实验证实。耒
24、，尔后被实验证实。4-3 麦克斯韦分子速率分布率麦克斯韦分子速率分布率一、分子速率分布的实验测定一、分子速率分布的实验测定测定分子速率分布的实验装置测定分子速率分布的实验装置 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狭缝狭缝圆圆筒筒子子射到上面的各种速率分射到上面的各种速率分可沉积可沉积弯曲玻璃板弯曲玻璃板,G 圆筒不转，分子束的圆筒不转，分子束的分子都射在分子都射在P处处圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置兰媚尔实兰媚尔实验验（装置置于真空之中）（装置置于真空之中）实验装置实验装置淀积屏淀积屏P速率筛速率筛SWW狭缝屏狭缝屏分子源分子
25、源 下面列出了下面列出了HgHg分子在某温度时不同速率的分子分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。数占总分子的百分比。)/(smvNN/90以下以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上以上10.3218.9322.718.312.86.24.0实验数据的图示化实验数据的图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%00vNN 0 90 140 190 240 290 340 390 vvOvNN vOvNN NdvdN)v(f vOvpv面积大小代表速率面积大小代表速率v附附近近dv区
26、间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比率占总分子数的比率NdNdvNdvdN 速率速率分布函数分布函数速率分布曲线速率分布曲线f(v)f(vp)vvpv v+dvv1v2dNN面积面积=出现在出现在vv+dv区间内的概率区间内的概率dvvfNNvv 21)(分子出现在分子出现在v1v2区间内区间内的概率的概率1)(0 dvvf曲线下的总面积曲线下的总面积恒等于恒等于1总分子数总分子数-N体积元内分子数体积元内分子数-dN分子出现在此体积元里的概率为分子出现在此体积元里的概率为-NdN归一化条件归一化条件麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布律分布律xvzvyvxvzvyvxdvzdvydvov分子的速
27、度分量限制在分子的速度分量限制在 ,xxxdvvv zzzdvvv,yyydvvv 内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比 二、麦克斯韦分布律及三种统计速率二、麦克斯韦分布律及三种统计速率zyxvvvkTmdvdvdvekTmdwvFNdNzyx)(223222)2()(麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布律分布律)(223222)2()(zyxvvvkTmekTmvF 麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布函数分布函数dvvdw24 dvvekTmNdNkTmv22232)2(4 麦克斯韦麦克斯韦速率分布律速率分布律22232)2(4)(vekTmvfkTmv 麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布函
28、数分布函数xvzvyvovdvdvvdw24 zyxvvvkTmdvdvdvekTmdwvFNdNzyx)(223222)2()(麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布律分布律2223224ve)kTm()v(fkTmv dvve)kTm(dv)v(fNdNkTmv2223224 一个分子处于一个分子处于vv+dv区间内的概率区间内的概率NdvdNvf)(单位速率间隔内的概率单位速率间隔内的概率几几率率密密度度)(vf麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布函数分布函数1、最可几速率、最可几速率pv与分布函数与分布函数f(v)的极大值相对应的速率的极大值相对应的速率极值条件极值条件0)(pvvdvvdfmolmol
29、pMRT.MRTmkTv41122 2、平均速率、平均速率v大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值NNvvii 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值对于连续分布对于连续分布 0)(dvvvfNdNvNvdNvmolmolMRT.MRTmkTv60188 3、方均根速率、方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvvmkTv32 molmolMRT.MRTmkTv731332 pvv2v都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比TmolMmf(v)vpvv2v1、温度与分子速率、温度与分子速率温度越
30、高，分布曲线中的最可几温度越高，分布曲线中的最可几速率速率vp增大，但归一化条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。宽度增大，高度降低。麦克斯韦分布曲线的性质麦克斯韦分布曲线的性质f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2321TTT 1273K273K73Kf(v)50010001500vO2氧气分子分布函数和温度的关系氧气分子分布函数和温度的关系2、质量与分子速率、质量与分子速率分子质量越大，分布曲线中的最分子质量越大，分布曲线中的最可几速率可几速率vp越小，但归一化条件要越小，但归一化条件要求曲线下
31、总面积不变，因此分布求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)Mmol1321molmolmolMMM Mmol2Mmol3相相同同TO(n为分子数密度为分子数密度)说明下列各量的物理意义：说明下列各量的物理意义：dvvf)(.1dvvNf)(.2dvvnf)(.3 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv思考题解：解：分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。分布在速率分布在
32、速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。NdNdvvf)(.1dNdvvNf)(.2VdNNdNVNdvvnf )(.3NdvdNvf)()()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率。子数的比率。)()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。1)(.60 dvv
33、f 分布在分布在 0 速率区间速率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）归一化条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。例：例：设想有设想有N个气体分子，其速率分布函数为个气体分子，其速率分布函数为 00000vvvvvvAvvf)()(试求试求:(1)常数常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率；最可几速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于速率介于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)速率介于速率介于0v0/3之间之间的气体分子的平均速率。的气体分子的平均速率。)(vfov0v解：解：(1)气体分子的分布曲线如图气体分子的
34、分布曲线如图由归一化条件由归一化条件10 dvvf)(1630000 vAdvvvAvv)(306vA(2)最可几速率由最可几速率由0 pvdvvdf)(决定，即决定，即020 ppvvvvAdvvdf)()(20vvp 平均速率平均速率2600023000vdvvvvvdvvvfvv )()(方均速率方均速率200033002210360vdvvvvvdvvfvvv )()(方均根速率为方均根速率为02103vv (3)速率速率介于介于0v0/3之间的分子数之间的分子数2776300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv )()(4)速率速率介于介于0v0/3之间的气体分子平均速率
35、为之间的气体分子平均速率为143277603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv )(讨讨论论速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算之间的气体分子的平均速率的计算 212121vvvvvvdvvfdvvvfv)()(2121vvvvdvvvfv)(对于对于v的某个函数的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为，一般地，其平均值可以表示为 00dvvfdvvfvgvg)()()()(例例2:导体中自由电子的运动可看作类似于气体分导体中自由电子的运动可看作类似于气体分 子的运动子的运动(故称电子气故称电子气).设导体中共有设导体中共有 N 个自个
36、自 由电子由电子,其中电子的最大速率为其中电子的最大速率为 (称为称为费米费米 速率速率),电子在速率电子在速率 之间的概率之间的概率Fvdvvv),(常常数数AovvF dvvNA24 NdNo)(Fvv (1)画出分布函数的示意图画出分布函数的示意图.(2)用用N,定常数定常数A(3)求求 ,(4)求求 速速 率率 区区 间间 的电子数的电子数FvPvv2vFFvv2131 NdvdNvf)(),(常常数数AovvF dvvNA24 NdNo)(Fvv ),(常常数数AovvF 24vNA o)(Fvv (1)画出分布函数的示意图画出分布函数的示意图.(2)用用N,定常数定常数AFv由分布
37、函数的归一化条件可定出由分布函数的归一化条件可定出A0Fv)(vfv FFvvdvvNAdvvf02014)(343FvNA (3)求求 ,Pvv2v NdvdNvf)()(ovvF 32234FvvvNA o)(Fvv 343FvNA Fv)(vf与与 最大值对应的最可几速率就是最大值对应的最可几速率就是0Fv)(vfv433)(0220FvFvvdvvvvdvvvfvFF 20222022533)(FvFvvdvvvvdvvfvvFF Fvv532 FFvv2131(4)求求 速速 率率 区区 间间 的电子数的电子数 NdvdNvf)()(ovvF 32234FvvvNA o)(Fvv F
38、FFFvvFvvdvvvNdvvfNN21312221313)(N21619 玻尔兹曼分布玻耳兹曼分布奥地利物理学家奥地利物理学家 玻耳兹曼玻耳兹曼（1844-1906）4-4 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何一一、玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律如气体分子处于外力场中，分子能量如气体分子处于外力场中，分子能量 E=Ep+Ek分子势能分子势能在麦克斯韦速度分布律中，在麦克斯韦速度分布律中，kTmve22 因子因子kTE
39、ke 分子动能分子动能理想气体分子理想气体分子仅有动能仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布按能量的分布zyxvvvkTmdvdvdvekTmNdNzyx)(223222)2(玻耳兹曼将麦氏分布推广为：玻耳兹曼将麦氏分布推广为：在温度为在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与（经典粒子）按能量分布都与 成正比。成正比。kTEe kTEe 玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子经典粒子按能量的分布函数为：经典粒子按能量的分布函数为：kTECeEf )(麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布（
40、MB分布）分布）外力场中，粒子分布不仅按速率区间外力场中，粒子分布不仅按速率区间vv+dv分布，分布，还应按位置区间还应按位置区间xx+dx、yy+dy、zz+dz分布分布该区间内的粒子数为：该区间内的粒子数为：dxdydzdvdvdvCedNzyxkTE 玻耳兹曼玻耳兹曼分布律分布律能量越低的粒子出现的概率越大，能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：zyxkTvvvmkTEdvdvdvedxdydzCeNdzyxp 2)(222+
41、dxdydzeCNdkTEp 则分子数密度则分子数密度kTEpeCdxdydzNdn kTEpenn 0粒子数按势能分布粒子数按势能分布0,0nCEp 时时为势能等于零处的分子数密度为势能等于零处的分子数密度zyxkTvvvmkTEdvdvdvedxdydzCeNdzyxp 2)(222+按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值能取一系列分立值E1,E2,Ei,EN 能级能级kTEiieAN 处于处于Ei状态状态的粒子数的粒子数常数常数对于两个任意能级对于两个任意能级kTEEeNN)(2121 2121,NNEE 则则如果如果在正常状
42、态下，粒子总是优先占据低能级状态。在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布粒子数分布服从玻尔兹曼分布二、重力场中粒子按高度的分布二、重力场中粒子按高度的分布kTEpenn 0mghEp kTmghenn 0由气体状态方程由气体状态方程nkTP ,00kTnP kTmghePP 0kTmghenn 0重力场中粒子按高度的分布规律重力场中粒子按高度的分布规律式中式中P0为为h=0处的大气压强，处的大气压强，P为为h处的大气压强，处的大气压强，m是大气分子质量。是大气分子质量。大气密度和压强随高度增加按指数规律减小大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压
43、低）（高空空气稀薄，气压低）kTmghePP 0kTmghenn 0RMkNmNmolAA hRTgMmolePP 0两边取对数两边取对数PPgMRThmol0ln 测知地面和高空处的压强与温度，测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。可估算所在高空离地面的高度。kTmghePP 0恒温气压公式恒温气压公式例例 氢原子基态能级氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温，求出在室温T=270C时原子处于第一激时原子处于第一激发态与基态的数目比。发态与基态的数目比。解：解：102.3943001038.1106.12.10)(
44、121058.1231612 eeeNNkTEE在室温下，氢原子几乎都处于基态。在室温下，氢原子几乎都处于基态。4-7 范徳瓦尔斯方程范徳瓦尔斯方程范徳瓦尔斯方程是对理想气体的模型的修正范徳瓦尔斯方程是对理想气体的模型的修正1 1摩尔理想气体的状态方程摩尔理想气体的状态方程RTPV 0V V0分子自由活动空间分子自由活动空间.理想气体分子是没有体积的理想气体分子是没有体积的质点，故质点，故v v0等于容器的体积。等于容器的体积。(1)(1)考虑分子体积引起的修正考虑分子体积引起的修正,理想气体状态方程的理想气体状态方程的修正为修正为RTbVP )(0可估算可估算363Am102d34N4b V
45、0为气体所占容积为气体所占容积,V,V0 0-b-b为分子自由活动空间为分子自由活动空间(2)(2)进一步考虑分子间引力引起的修正进一步考虑分子间引力引起的修正r r r r0 0 斥力斥力r r r r0 0 引力引力r r R R 几乎无相互作用几乎无相互作用 R R称为分子力的有效作用距离称为分子力的有效作用距离R=R=r r0 0 无相互作用无相互作用.r r0 0称为平衡距离称为平衡距离 当两个分子彼此接近到当两个分子彼此接近到r r r r0 0时斥力迅速增大，时斥力迅速增大，阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有一定大小的球体。一
46、定大小的球体。d0fRrr r0 0设想设想：气体中任一分子都：气体中任一分子都有一个以其为中心，以有一个以其为中心，以R R为为半径的力作用球，其它分半径的力作用球，其它分子只有处于此球内才对此子只有处于此球内才对此分子有吸引作用。分子有吸引作用。处于容器当中的分子处于容器当中的分子 ,平衡态下，周围的分子相平衡态下，周围的分子相对于对于 球对称分布，它们对球对称分布，它们对 的引力平均说来相互抵消。的引力平均说来相互抵消。R d 处于器壁附近厚度为处于器壁附近厚度为R的表层内的分子的表层内的分子,的力作用球被的力作用球被器壁切割为球缺，器壁切割为球缺，周围分子的分布周围分子的分布不均匀，使
47、不均匀，使 平均起来受到一个指向气体内部的合力，平均起来受到一个指向气体内部的合力，这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强，叫总效果相当于一个指向内部的压强，叫内压强内压强 P。所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实验可测得的压强为并由实验可测得的压强为PbVRTP 0 R d所有运动到器壁附近要与器所有运动到器壁附近要与器壁相碰的分子必然通过此区壁相碰的分子必然通过此区域，则指向气体内部的力，域，则指向气体内部的力，将会减小分子撞击器壁的动将会减小分子撞击器
48、壁的动量，从而减小对器壁的冲力。量，从而减小对器壁的冲力。P P的相关因素的相关因素 P表面层分子受到内表面层分子受到内部分子的通过单位部分子的通过单位面积的作用力面积的作用力与表面层分子（类似与表面层分子（类似 ）的数密度的数密度 n 成正比成正比与施加引力的内部分子与施加引力的内部分子的数密度的数密度 n 成正比成正比2021VnP 20VaP 或将气体分子视为有吸引力刚球时将气体分子视为有吸引力刚球时1 1摩尔气体摩尔气体范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程 RTbVVaP 020a a、b b由实验确定。由实验确定。实际气体在很大范围内近似遵守实际气体在很大范围内近似遵守范德瓦尔斯方程范德瓦尔
49、斯方程。RTbVVaP 020如果气体质量为如果气体质量为M,则其体积为则其体积为0VMMVmol VMMVmol 0质量为质量为M气体的气体的范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程为为:RTMMbMMVVMaMPmolmolmol 222 当系统各部分的宏观物理性质如密度当系统各部分的宏观物理性质如密度、温度或温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界在不受外界干扰时干扰时,系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡态态.这种过渡称为这种过渡称为输运过程输运过程.4-7 气体气体的输运过程的输运过程输运过程有三种输运过程有三种热传导
50、、扩散、内摩擦热传导、扩散、内摩擦.molMRT.v601 氮气分子在氮气分子在270C时的时的平均速率为平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子的速度：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。路程非常曲折。气体分子气体分子平均速率平均速率一、平均碰撞频率和平均自由程一、平均碰撞频率和平均自由程AB 在相
