1、第13章 压杆稳定13.1压杆稳定性的概念在第6章中讨论压杆的强度计算时,认为杆总是在直线形状下保持平衡,杆的失效都是由于强度不足而引起的。事实上,这种考虑仅对于粗短的压杆才有意义。对于细长的压杆,在其破坏以前,就已不能保持其原有的直线形状的平衡,即本篇引言中所述的失稳。构件一旦失稳,可能导致整个承载系统或结构不能安全可靠的工作,甚至会造成严重的后果。为了进一步介绍有关压杆稳定性的概念,现研究一根理想状态下的等直细长压杆,此压杆由均质材料制成,在两端受轴向压力F作用(图13-1a)。设此杆在F力作用下处于直线形状的平衡状态。如果对杆施加一微小横向力,则压杆将发生弯曲变形。若压杆在弹性阶段内工作
2、,则当横向力撤除后,压杆将随轴向压力F的大小不同而会出现两种不同的情况:当压力F未达到某一界限值时,已变弯的压杆会在横向力撤除后自行恢复到原来的直线形状(图13-1b);但当压力F超过某一界限值后,则已变弯的压杆将在横向力撤除后,不能再恢复到原来的直线形状(图13-1c)。前一情况表明,压杆的原有直线形状的平衡是稳定的,而后一情况则表明压杆的原有直线形状的平衡是不稳定的。由上述可见,此细长压杆在直线形状下的平衡是否稳定,与压力F的大小有关。当轴向压力由小逐渐增大到某一界限值时,压杆在直线形状下的平衡将由稳定的过渡到不稳定的。上述过渡,使压杆的直线平衡形式发生质的变化,它具有临界状态的性质,故轴
3、向压力F的这一界限值,称为压杆的临界力,用Fcr表示。当轴向压力达到此值时,压杆即向失稳过渡。所以,对于压杆稳定性的研究,其关键在于确定压杆的临界力。为了确定临界力的大小,现在研究如图13-2所示的长为l0、两端为球形铰支座的细长压杆AB。设此压杆受轴向压力Fcr作用而在微弯的变形形状下保持平衡。如前所述,压杆在临界力作用下,原有直线形状的平衡将从稳定过渡到不稳定,也就是说,在临界力作用下,压杆就开始有可能在微弯的形状下保持平衡。因此,可以认为使压杆在微弯的形状下保持平衡的最小F值,就是此细长压杆的临界力Fcr。要确定此临界力的值,应从研究压杆在微弯形状下的挠曲线着手。如果杆内的应力不超过材料
4、的比例极限,就可以利用梁弯曲变形的公式来写出此压杆挠曲线的近似微分方程式,即13.2细长压杆的临界力13.2.1两端铰支约束细长压杆的临界力两端铰支约束细长压杆的临界力式中,Fcr是不考虑正负号的数值,而在图13-2所选择的坐标系内,当压杆的挠曲线向下凸出时,w为负值;而为正值,如果挠曲线向上凸出,则w为正值,而 为负值。为了使等式两边的符号一致,所以在式(a)的右边加上了负号。若令 ,则经过移项后,式(a)可改写为式中,积分常数A、B以及 是未知量。这里的k之所以是个未知量,是因为现在还不知道Fcr的大小。根据杆端的边界条件:当x=0时,w=0,代入式(c)可以解得B=0。于是式(c)可改写
5、为w=Asinkx(d)杆的另一端的边界条件:当x=l0时,w=0,代入式(d)后得Asinkl0=0(e)由式(e)可知,A或sinkl0应等于零。但若A=0,则压杆轴线上各点的挠度都等于零,这与压杆在微弯的变形形状下保持平衡的前提相矛盾;因而只能是sinkl0等于零。满足这一条件的kl0值应为kl0=n式中,n=0、1、2。由此得或使压杆失稳的最小轴向压力应该在式(f)中取n=1。这就是所求的压杆的临界力Fcr,其计算公式为式(13-1)通常又称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。在工程实际中,将遇到不同形式的杆端约束约束。要计算这些压杆的临界力Fcr,须依具体情况作具体分析。以图13-4所示长
6、为l、下端固定、上端自由的圆截面直杆为例,当作用力F小于临界力Fcr时,受横向干扰后,杆在微弯位置AC保持平衡。将曲线AC对称于m-m向下延长得CB,则ACB曲线就和图13-2所示的AB曲线完全相似,都是正弦曲线的半波。于是长为l、一端固定、一端自由的压杆的临界力,就可以按两端铰支细长压杆的临界力公式(13-1)来计算,但是,须将公式中的杆长l0用AB的长度2l来代替,即令l0=2l,代入公式(13-1)得依上讨论推知:长为l,杆端具有各种约束的细长杆的临界力,可统一表达为式中,称为长度因数,它反映了各种不同支承情况对临界力的影响;l称为计算长度。13.2.2其他约束情况下细长压杆的临界力其他
7、约束情况下细长压杆的临界力从公式(13-2)可知,临界力Fcr的大小,与压杆材料的弹性模量E、杆的计算长度l、截面对中性轴的惯性矩I值有关。几种常见的理想杆端约束情况的值列于表13-1中。从表中可以看到,两端都有支座的压杆,其长度因数在0.5到1.0的范围内。在实际情况中,压杆的杆端很难做到完全固定,只要杆端截面稍有发生转动的可能,这种杆端就不能看成是理想的固定端,而是接近于铰支端的情况,因此在设计中,常将压杆的长度因数取为接近于1.0的值,而使临界载荷偏于安全方面。在各种实际的杆端约束情况下,压杆的长度因数在一般的设计规范中都有具体的规定。由于习惯上常用应力来计算,我们也可以用临界力除以截面
8、面积得出cr称为临界应力,单位为Pa。若将惯性矩I=i2A代入式(13-3),便得到临界应力的公式式中,称为惯性半径,它是表示截面尺寸和形状的另一个几何量;,称为压杆的柔度,它是压杆的计算长度l与惯性半径i之比,故又称长细比,它是一个量纲为一的量,可以综合地反映杆长、支承情况及杆的截面尺寸和形状等结构因素对临界力的影响。对于一定材料制成的压杆,2E是常数,因此压杆的临界应力与柔度的平方成反比,而压杆也总是在柔度大的弯曲平面内失稳。13.3欧拉公式的应用范围临界应力总图13.3.1临界应力与柔度临界应力与柔度在临界力公式的推导中,我们曾用到公式=。但此式只在弹性范围内才能成立,所以当临界应力不超
9、过比例极限p时,公式(13-4)才是正确的,即必须所以令式中,p是与比例极限相应的柔度。例如,Q235钢E=206GPa,p=200MPa,所以也就是说,对于Q235钢制成的压杆,只有当100时,才能用公式(13-4)计算临界应力。表13-2中列出了一些材料的p值。p的压杆称为细长杆(又称大柔度杆)。它的破坏是由于弹性范围内的失稳所致。13.3.2欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围压杆的柔度越小,则它抵抗失稳的能力越大。实验指出,当压杆的柔度小于某一数值s(即相应于屈服极限值的柔度。例如,对于Q235钢,s=61.6),其破坏与否主要决定于强度,它的承载能力取决于强度指标(如第6章所述)。柔
10、度s的压杆称为粗短杆(又称小柔度杆)。工程中常用杆件的柔度是界于p与s之间的中长杆(又称中柔度杆),它的破坏主要是由于超过弹性范围的失稳所致。对于这类中长杆,人们也曾进行过不少研究,提出了各种不同的计算公式:如直线公式、抛物线公式等。计算临界应力的直线公式的形式如下cr=a-b(ps)(13-5)式中,a、b和s的数值因材料不同而异,表13-2中列举了某些材料的数据。综上所述,可将各类柔度压杆的临界应力计算公式归纳如下1)对于细长杆(p),用欧拉公式2)对于中长杆(ps),用直线公式cr=a-b13.3.3中小柔度杆的临界应力中小柔度杆的临界应力3)对于粗短杆(s),用压缩强度公式cr=s(屈
11、服极限)若将以上三种柔度范围内的临界应力与柔度间的关系在cr-坐标系内绘成图线,所得到的图线就称为压杆的临界应力总图。对于塑性材料制成的压杆,其临界应力总图如图13-5所示。从图中可以看出,对于由稳定性控制的细长杆和中长杆,它们的临界应力都随压杆柔度的增加而减小;对于由压缩强度控制的粗短杆,一般不考虑柔度对临界应力的影响。前节讨论了压杆在各种柔度下的临界应力。现在来研究怎样进行压杆稳定性的校核。在机械工程中,压杆的稳定校核,通常采用安全因数进行校核,即式中,、F分别为压杆的工作应力和工作压力;nst为压杆工作时的实际稳定安全因数;nst为规定的稳定安全因数。由于杆的初曲率、载荷的偏心、材料的不
12、均匀等因素对压杆的临界力影响较大,所以规定的稳定安全因数nst应取得大些。必须指出,截面有局部削弱(如油孔、螺钉等)的压杆,除校核稳定外,还必须作强度校核,在校核强度时,A为考虑了削弱的横截面的净面积。而压杆保持稳定性的能力,是对压杆的整体而言的,截面的局部削弱,对临界力数值的影响很小,可以不必考虑,所以,在稳定计算中,A为不考虑削弱的横截面面积。综上所述,稳定校核的步骤如下:13.4压杆稳定性的校核1)根据压杆的实际尺寸及其支承情况,分别计算其在各个弯曲平面内弯曲时的柔度,从而得出max。2)根据最大柔度max,确定计算该压杆的临界应力公式,然后算出其cr值,或Fcr值。3)利用式(13-6
13、)对压杆进行稳定校核。从式(13-4)、式(13-5)可知,提高压杆承载能力可以从下列两方面入手。1.材料对于p的细长压杆,临界应力 制成压杆的材料的弹性模量E大,则压杆的临界应力cr大,故选用E值较大的材料能提高细长压杆的稳定性。但由于压杆的临界应力cr值与材料的强度指标无关,故在E值相同的材料中,就没有必要选用高强度材料,例如,合金钢与普通碳钢的E都在200GPa左右,若选用合金钢作细长压杆,除造成浪费外,是没有意义的。对于中长杆,从图13-5可以看到,屈服极限及比例极限的增长引起了临界应力cr的增长,故选用高强度钢能提高中长压杆的稳定性。2.柔度对于一定材料制成的压杆,其临界应力与柔度
14、的平方成反比,柔度越小,稳定性越好。为了减小柔度,在可能的条件下可以从下列几方面采取措施:1)改善支承情况因压杆两端固定得越牢固,值越小,计算长度l就越小,它的临界应力就越大,故采用值小的支座形式,可以提高压杆的稳定性。但实际上很难达到理想固定端情况。13.5提高压杆稳定性的措施2)在其他条件相同的情况下,杆长l越小,则越小,临界应力就越高如图13-8a所示两端铰支的杆,若在杆中点增加另一铰链支座(图13-8b),则其长度为原来的一半,柔度即为原来的一半,而其临界应力成为原来的四倍。3)选择合理的截面形状当压杆两端在各个弯曲平面的约束条件相同时(即值相同),则它的失稳总是发生在最小刚度平面内。因此当截面面积一定时,使Iz=Iy,并且尽可能地使I值大些,可以提高其抗失稳的能力。例如图13-9所示截面面积相同的各图中,图13-9b的截面形状比图13-9a好,图13-9c的截面形状比图13-9b好。若压杆两端在xy平面的约束条件与在xz平面内的不同的情况下,如图13-6所示的连杆,则可采用Iz不等于Iy的截面(例如矩形截面或工字形截面),以与相应的支座条件配合,使得在两个相互垂直的平面内,柔度能尽可能相等或接近,从而达到在两个方向上抵抗失稳能力相近的目的。以上讨论,实际上都是使两个弯曲平面内的柔度相等,即y=z,这种情况称为等稳定性,故理想的压杆应该设计成等稳定性的。
