1、拉普拉斯变换的应用及综合举例一、求解常微分方程一、求解常微分方程(组组)步骤步骤 得到象函数得到象函数求求解解微分方程微分方程(组组)象函数的象函数的代数方程代数方程(组组)Laplace正变换正变换微分方程微分方程(组组)的解的解Laplace逆变换逆变换(1)将将微分方程微分方程(组组)化为象函数的代数方程化为象函数的代数方程(组组)；(2)求解代数方程得到象函数；求解代数方程得到象函数；(3)求求 Laplace 逆变换得到逆变换得到微分方程微分方程(组组)的的解。解。.)0()0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstf工具工具 ,0)()0()0()(22 sYys
2、ysYs.)(22 ssY对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，有变换，有 (2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 ,)()(tysY 解解 (1)令令 )()(1sYty .sint 代入初值即得代入初值即得 ,0)()(22 sYsYs 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 (2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 ,)()(txsX 解解 (1)令令 ,16)()(3)(3)(23 ssXssXsXssXs.)1(!3)(4 ssX求解此方程得求解此方程得 )()(1sXtx .e3tt 对方程组两边取对方程组两边取
3、Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 ,)()(txsX 解解 (1)令令 ,)()(tysY,11)()(1)(ssYsXssX.12)(2)(31)(ssYsXssY ,11)(ssX.11)(ssY求解得求解得 整理得整理得 ,1)()()1(sssYsXs.11)()2()(3 sssYssX ,)()(txsX 解解 (1)令令 ,)()(tysY,11)(ssX.11)(ssY求解得求解得 .)()(ettytx (2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 ,)()(txsX
4、解解 (1)令令 ,)()(tysY ,)()(e2ssYsssX .2)()(2e3sssYssX 求解得求解得 .0)(sY,1)(esssX ()(1),x tH t.0)(ty(2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 (1),(0)(0)0,2 2(1),(0)(0)0.xytxyx yH tyy例例 利用利用Laplace变换求解微分方程组变换求解微分方程组 ()(1)()(1)(1)f tt H ttH t()()(1)(1),H ttH ttH t 如图，如图，解解 1(),H ts由于由于 21(),tH ts利用利用线性性质线性性质及及延迟性质延迟性质有有 .111)
5、(e22sssstf 1 1 )(tft(1)()t H t(1)(1)tHt)(tf函数函数 可写为可写为 二、综合举例二、综合举例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有变换，并代入初值有 ,)()(txsX 解解 (1)令令 ,11)(31)(41)(2 ssXssXssXs)3()1(66)(22 sssssX.)3(43)1(21)1(472 sss(2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 .432147)(3eeetttttx 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换有变换有 (2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 ,)()(txsX
6、解解 (1)令令 ,1)1()1(22)(2)(22 sssXssXsXs.1)1()1(2)(22 sssX.sinettt )()(1sXtx e221)1(2 sst)(e1121 ste1121 stt,211)()()()(22sssYssXsXssYs .1)()(2)()(2222ssXssYsXssYs ,)1(2)()()1(2 sssssXsYs.)1(1)()1()(22 sssXsssY整理得整理得 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 ,)()(txsX 解解 (1)令令 ,)()(tysY 求解得求解得 .)1(1)(2
7、 sssY,)1(12)(22 ssssX,)()(txsX 解解 (1)令令 ,)()(tysY.)1(1)(2 sssY求解得求解得 ,)1(12)(22 ssssX.1)(eetttty ,)(ettttx (2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 ,)1(1122 ss.)1(11112 sss对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 ,)()(txsX 解解 (1)令令 ,)()(tysY ,112)(2)(2123)(2 sssYsXssXs.2)(221)(23)(32ssYssYsssX ,2)1(23)(2sssX ,231)
8、1(21)(3ssssY ,)()(txsX 解解 (1)令令 ,)()(tysY,2)1(23)(2sssX ,231)1(21)(3ssssY (2)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 .232121)(2e ttyt,223)(ettxt (2)令令 ,)()(tfsF.6)(3tatatf (3)求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 解解 (1)由于由于 ,d)sin()(sin)(0 txxtxfttf因此原方程为因此原方程为 .sin)()(ttftatf 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 sin)()(tsFtasF ,11)(22 ssFsa
9、.)(42sasasF (跳过跳过?)?),)()(0tFtxm .0)0()0(xx,)(02FsXms.1)(20smFsX .)(0tmFtx 求求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为逆变换，得物体的运动方程为 根据根据 Newton 定律有定律有 解解 设物体的运动方程为设物体的运动方程为 ,)(txx 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 ,)()(txsX,)()(sEssILsIR )()(sLRsEsI .11 LRssRE求解此方程得求解此方程得 .1)()e(tLRREti 求求Laplace逆变换，得逆变换，得 设有如图所示的设有如图所示的
10、 R 和和 L 串联电路，在串联电路，在 时刻接到直流时刻接到直流 0 t.)(ti例例 K E L R 电势电势 E 上，求电流上，求电流 由由 Kirchhoff 定律知，定律知，)(ti解解 满足方程满足方程 .0)0(i,)()(EtiLtiR 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 ,)()(tisI 解解 (1)由由 Newton 定律及定律及 Hooke 定律有定律有 .)()()(txktftxm 即物体运动的微分方程为即物体运动的微分方程为 ,)()()(tftxktxm .0)0()0(xx位置位置 处开始运动，处开始运动，的外力为的外力为 。例例 质
11、量为质量为 m 的物体挂在弹簧系数为的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端的弹簧一端(如图如图)(tf0 x.)(tx若物体自静止平衡若物体自静止平衡 求该物体求该物体 的运动规律的运动规律 ，作用在物体上，作用在物体上 (跳过跳过?)?)解解 (1),)()()(tftxktxm .0)0()0(xx对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 ,)()(txsX(2)令令 ,)()(tfsF,)()()(2sFsXksXsm 记记 ,20mk ,)(1)(20200sFsmsX 有有 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 )
12、(tf.)(tx并利用卷积定理有并利用卷积定理有 ,sin020201ts (3)由由 .)(sin1)()(001tftmsXtx f=sin(t)/t;F=laplace(f)；当 具体给出时，即可以求的运动方程clear;在方程两边取 Laplace 变换得角频率为质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 k(1)令(2)求 Laplace 逆变换，得函数 可写为对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得其中，atan 为反正切函数。(1)令(1)由 Newton 定律及 Hooke 定律有(2)求 Laplace 逆变换，得syms t;解解 ,sin020201ts 利用卷积定理有利
13、用卷积定理有 .)(sin1)()(001tftmsXtx 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 )(tf.)(tx(3)由由 此时此时 .sin)(00tmAtx 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为振幅为 ,0 mA角频率为角频率为 ,0 称称 为该系统的为该系统的自然频率自然频率或或固有频率固有频率。0 设物体在设物体在 时受到冲击力时受到冲击力 ,)()(tAtf 0 t例如例如 A 为常数。为常数。在数学软件在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来
14、进行来进行 Laplace 变换与变换与 Laplace 逆变换。逆变换。(1)F=laplace(f)对函数对函数 f(t)进行进行 Laplace 变换，变换，三、利用三、利用 Matlab 实现实现 Laplace 变换变换 *对并返回结果对并返回结果 F(s)。(2)f=ilaplace(F)对函数对函数 F(s)进行进行 Laplace 逆变换，逆变换，对并返回结果对并返回结果 f(t)。补补 (跳过跳过?)?)当 具体给出时，即可以求的运动方程在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数F=atan(1/s)对方程两边取 Laplace 变换有当 具体给出时，即可以
15、求的运动方程其中，atan 为反正切函数。在方程两边取 Laplace 变换得在方程两边取 Laplace 变换得解解 Matlab 程序程序 clear;syms t;f=t*exp(3*t)*sin(2*t);F=laplace(f)；F=4/(s+3)2+4)2*(s+3)输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 变换。变换。例例 tttft2sin)(3e 即即 .4)3()3(4)(22 sssF解解 Matlab 程序程序 clear;syms t;f=sin(t)/t;F=laplace(f);其中，其中，atan 为反正切函数。为反正切函数。F=atan(1/s)输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 变换。变换。例例 tttfsin)(即即 .arccot1arctan)(sssF 解解 Matlab 程序程序 clear;syms s;F=(s2+2*s+1)/(s2-2*s+5)/(s-3);f=ilaplace(F);其中，其中，exp为指数函数。为指数函数。f=2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t)输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 逆变换。逆变换。例例 )3()52(12)(22 ssssssF即即 .2sin2cos2)(eee3tttfttt
