1、三、其他未定式三、其他未定式 二、二、型未定式型未定式一、一、型未定式型未定式00第二节洛必达法则 第三三章)()(limxgxf函数之商的极限导数之商的极限 转化00(或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则一、一、0)(lim)(lim)1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在(或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf0)(xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则)(在 x,a 之间)证证:无妨假设,0)()(aFaf在指出的邻域内任取,ax 则)(,)(xFxf在以 x,a 为端点的
2、区间上满足柯0)(lim)(lim)1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件:西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在(或为 ),)()()()2内可导在与axFxf0)(xF且推论推论1.定理 1 中ax 换为,ax,ax,xx之一,推论推论 2.若)()(limxFxf满足定且型仍属)(,)(,00 xFxf理1条件,则)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立.,x)()(lim)(
3、)(limxFxfxFxfaxax洛必达法则例例1.求.123lim2331xxxxxx解解:原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232 xx例例2.求.arctanlim12xxx解解:原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx型二、二、型未定式型未定式)(lim)(lim)1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在(或为)()(limxFxfax定理定理 2.)()(limxFxfax(洛必达法则),)()()()2内可导在与axFxf0)(xF且说明说明:
4、定理中ax 换为之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,ax,ax,xx,x例例3.求.)0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4.求求 n 为正整数的情形.解解:原式0 xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.)0,0(limnexxnx型.)0(0lnlimnxxnx例3.例4.)0,0(0limnexxnx说明说明:1)例3,例4 表明x时,lnx后者比前者趋于更快.例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1)0(xe,)0(nxn用洛必达法则2)在满足定理条件的某
5、些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.3)若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1(limxxx1三、其他未定式三、其他未定式:,0,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例5.求).0(lnlim0nxxnx型0解解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx型.)tan(seclim2xxx解解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6.求
6、通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例7.求.lim0 xxx型00解解:xxx0limxxxeln0lim0e1利用利用 例例5通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例8.求.sintanlim20 xxxxx解解:注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00nnnneln11例例9.求.)1(limnnnn型021 limnn解：解：)1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型
7、00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数思考与练习思考与练习1.设)()(limxgxf是未定式极限,如果)()(xgxf不存在,是否)()(xgxf的极限也不存在?举例说明.极限)1ln()cos1(cossin3lim.2120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家,他著有无穷小分析(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降 线”问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出
