1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 平面曲线的曲率 第三三章 一、一、弧微分弧微分)(xfy 设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx则弧长微分公式为tyxsdd22)(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义几何意义:s
2、dTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!转角为例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,RssKs0limR1可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMM有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd
3、23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由说明说明:(1)若曲线由参数方程)()(tyytxx给出,则23)1(2yyK(2)若曲线方程为,)(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 例例2.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(,)0,0(2RllBO说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例例2.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R.处的曲率.)
4、6,(,)0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线KRDM1把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使内容小结内容小结1.弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2.曲率公式sKdd23)1(2yy 3.曲率圆曲率半径KR1yy 23)1(2
