1、二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节微积分的基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(的原函数是这里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattf
2、ttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1.若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex例例1.求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2.确定常数 a,b,c 的值
3、,使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c.0 b00原式=)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0,故.1a又由221cos1xx,得.21c ttf txfxd)()(0例例3.,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)(xF 20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x三、牛顿
4、三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)证证:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数,则例例4.计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例例5.计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积.解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysi
5、n例例6.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车,2sm5a解解:设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002)(36hmk刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?内容小结内容小结,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼兹公式2.变限积分求导公式 3234)(2xxxfEx:解解：1.设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2,则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数.
