1、2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性回顾：向量组的线性组合回顾：向量组的线性组合定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1,a2,am，对于任何一组实数对于任何一组实数 k1,k2,km，表达式，表达式k1a1+k2a2+kmam称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合k1,k2,km 称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1,a2,am 和向量和向量 b，如果存在一组，如果存在一组实数实数 l l1,l l2,l lm，使得，使得b=l l1a1+l l2a2+l lmam则称则称向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 的线性表
2、示的线性表示引言引言问题问题1：给定向量组给定向量组 A，零向量是否可以由向量组，零向量是否可以由向量组 A 线性表线性表 示？示？问题问题2：如果零向量可以由向量组如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？系数是否不全为零？()(,)R AR A b 向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：问题问题1：给定向量组给定向量组 A，零向量是否可以由向量组，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？线性表示？问题问题1：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 是否存在
3、解？是否存在解？回答：回答：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 一定存在解一定存在解事实上，可令事实上，可令k1=k2=km=0，则，则k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量）问题问题2：如果零向量可以由向量组如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？是否不全为零？问题问题2：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 是否存在是否存在非零解非零解？回答：回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零不一定全等于零例：例：设设 123100,010001Ee e
4、 e11 1223312323100001000010kk ek ek ekkkkk 若若则则 k1=k2=k3=0 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1,a2,am，如果存在，如果存在不全为零不全为零的实的实数数 k1,k2,km，使得，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量）则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的，否则称它是的，否则称它是线性无关线性无关的的向量组向量组A：a1,a2,am线性相关线性相关m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有非零解有非零解R(A)m备注：备注：p 给定向量组给定向量组 A，不是线性
5、相关，就是线性无关，两者必居，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一其一p 向量组向量组 A：a1,a2,am 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 m 2 的情形的情形.p 若向量组只包含一个向量：当若向量组只包含一个向量：当 a 是是零向量零向量时，线性相关；时，线性相关；当当 a 不是不是零向量零向量时，线性无关时，线性无关p 向量组向量组 A：a1,a2,am (m 2)线性相关，也就是向量组线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示个向量线性表示特别地，特别地，a1,a2 线性相关当且仅当线性相关当且仅当 a1,a2 的分
6、量对应成比例，其几的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线何意义是两向量共线a1,a2,a3 线性相关的几何意义是三个向量共面线性相关的几何意义是三个向量共面向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1,a2,am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1,k2,km，使得，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量）m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解有非零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由
7、其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定向量组线性无关性的判定（重点、难点）（重点、难点）向量组向量组 A：a1,a2,am 线性无关线性无关如果如果 k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量），则必有，则必有k1=k2=km=0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只只有零解有零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a
8、1,a2,am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1,k2,km，使得，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量）m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解有非零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1,a2,am 线性无关线性无关如果如果 k1a1+k2a2+kmam=0（零向量），则必有（零向量），则必有k1=k
9、2=km=0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只只有零解有零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示例：例：试讨论试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性维单位坐标向量组的线性相关性例：例：已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组及向量组a1,a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1,a2,a3)=2，故向量组，故向量组 a1,a2,a3 线性相关；线性相关；同时，同时，R(a1,a2)=2，故向量组，
10、故向量组 a1,a2 线性无关线性无关1231021,2,4,157aaa 102102124 022157000r例：例：已知向量组已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，且线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关线性无关解题思路：解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题例：例：已知向量组已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，且线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关线性
11、无关解法解法1：转化为齐次线性方程组的问题转化为齐次线性方程组的问题已知已知 ，记作，记作 B=AK 设设 Bx=0，则，则(AK)x=A(Kx)=0 因为向量组因为向量组 a1,a2,a3 线性无关，所以线性无关，所以Kx=0 又又|K|=2 0，那么，那么Kx=0 只有零解只有零解 x=0，从而向量组从而向量组 b1,b2,b3 线性无关线性无关123123101(,)(,)110011b b ba a a 例：例：已知向量组已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，且线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关线性无
12、关解法解法2：转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题已知已知 ，记作，记作 B=AK 因为因为|K|=2 0，所以，所以K 可逆，可逆，R(A)=R(B)，又向量组又向量组 a1,a2,a3 线性无关，线性无关，R(A)=3，从而从而R(B)=3，向量组，向量组 b1,b2,b3 线性无关线性无关123123101(,)(,)110011b b ba a a 定理（定理（P.89定理定理5）l若向量组若向量组 A：a1,a2,am 线性相关，线性相关，则向量组则向量组 B：a1,a2,am,am+1 也线性相关也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组 A 也线性无关也线性无关lm 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时，一定线性相关时，一定线性相关特别地，特别地，n+1个个 n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关l设向量组设向量组 A：a1,a2,am 线性无关，线性无关，而向量组而向量组 B：a1,a2,am,b 线性相关，则向量线性相关，则向量 b 必能由向量组必能由向量组 A 线性表线性表示，且表示式是唯一的示，且表示式是唯一的
