1、湛江市中小学名师工作室 陈智浩四导学教课堂：导问，导学，导练，导智。最难以实施并真正促进学生“学进去、弄明白、教别人”的是哪个环节？教学的关键是引导学生想明白，而不是老师讲明白。建构主义理论认为，学习是引导学生自己主动建构知识的过程。学生教学生，如果思维层次达不到，则课堂没有高度和深度。教师的思想有多远，他的课就能上到多远；教师的思想有多高的境界，他的课就有多高的境界。教师如何“导问”，才能达到“导智”的目的？爱因斯坦曾经说过：“若无某种大胆放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。”数学教学中，若教师平铺直叙地直接给出结论，既会扼杀学生的创造性，又会使他们丧失学习数学的兴趣。因此，教师在课堂教
2、学中，不是简单地灌输知识，而是创设情境，设置问题串，因势利导地让学生去思考、猜想、发现，有意识地培养学生找问题、提问题、解决问题的能力，并且让学生善于提出新奇的问题，使学生不仅从中获得新知识，而且学会做“学问”。可见，注重引导学生进行合情推理，在数学教学中具有十分重要的意义。许多老师尝试的探究式课堂教学，其实就是引导学生进行合情推理的教学。合情推理是人们通过“观察猜想验证”，得出一般结论的过程。合情推理的核心是猜想。猜想是人们根据事实，凭直觉所作出的一种大胆假设，是一种积极的创造性活动。数学猜想是数学的潜形态，是数学理论的先导。数学猜想具有科学性、假定性和创造性三个基本特征，此即合情推理的基本
3、特征。如何在高中数学课堂教学中培养学生合情推理能力，是高中数学教学的重要内容。新课标明确将学生的合情推理能力的培养作为高中数学教学的重要目标之一，合情推理知识也成为选修1-1，2-1的教学内容。而在实际教学中存在为教“合情推理”而教，将合情推理局限在本章节中，忽视了在整个高中数学教学中渗透合情推理的思想。这必影响学生推理意识和推理能力的形成，这也是造成前述问题存在的原因之一。波利亚将数学推理分为对立统一的两类：合情推理与论证推理（即演绎推理）。他建立的合情推理模式以及观察、猜想、实验、类比、归纳、化归等方法在数学发现和创新中占有极为重要的作用。波利亚认为,数学有两个侧面,它好似欧几里德式的严谨
4、科学、系统演绎科学;但在创造过程中的数学,却是一门实验性的归纳数学,其创造过程和其他知识一样,在证明一个定理之前,你得先猜想其内容,再证明其猜想.得先把观测结果加以综合、类比，你得一次次地尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但这证明是通过合情推理、通过猜想发现的。合情推理主要包括归纳推理和类比推理。归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理。我们在日常教学中，经常会碰到具有探究价值的问题，不仅仅是数列中存在大量从特殊到一般结论的归纳，其实数学的概念、性质，解题的方法、技巧和思想，也可以进行从特殊到一般的归纳推理。类比推理在学习新知中的应用也十分广泛，如立几中由平面几
5、何类比到空间几何；解析几何中椭圆性质类比到双曲线性质；数列中等差数列性质类比到等比数列性质；函数中指数性质类比到对数性质等；平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理；等等。四导课堂既要引导学生学会细心观察、大胆猜测，做出合情推理，又要引导学生能够逐步学会严格证明，强化演绎推理能力。让学生的思维能够向深度、广度拓展，掌握猜测数学规律的方法，养成“观察归纳（类比）猜想论证”的思维习惯，提高数学素养。课例1：高中数学人教A 版课标教材选修2-3二项式定理起始课（节选）。课例1：高中数学人教A 版课标教材选修2-3二项式定理起始课（节选）。课例3：高中数学人教A 版课标教材选修2-3二项式定理起始
6、课（节选）。课例1：高中数学人教A 版课标教材选修2-3二项式定理起始课（节选）。课例分析：通过课例1，看真正的四导学堂中教师应如何提出问题，启动对话；如何在必要的讲授基础上，通过海问、圈问、点问启发学生，调控学生的思维，激发学生的元认知活动；引导学生借助文本与自我对话，转换思维角度、重新审视问题，把观察结论的规律转变为探寻问题的形成过程规律；如何通过导问渗透数学思想和方法：由特殊到一般、由具体到抽象、以退求进、类比联想等，将合情推理运用得炉火纯青。案例案例2：数学知识的猜想与归纳（归纳推理）数学知识的猜想与归纳（归纳推理）零点存在性定理教学设计（节选）案例案例3：数学概念性质的深入理解（类比
7、推理数学概念性质的深入理解（类比推理1）知识背景：必修四第2.4节，平面向量的数量积案例案例4：数学方法的猜想与归纳（类比推理数学方法的猜想与归纳（类比推理2）：）：背景：（必修二）学习完直线与圆的位置关系后。用几何方法解决代数问题。（点此进入）案例案例5：一道书本例题的提升（课堂实录节选）一道书本例题的提升（课堂实录节选）案例案例6：常见结论的猜想与证明（合情推理与演绎推理常见结论的猜想与证明（合情推理与演绎推理的结合）的结合）（点此进入）（点此进入）案例案例7：利用合情推理拓展课本知识利用合情推理拓展课本知识（点此进入）（点此进入）案例案例8：高考考点引起的类比猜想高考考点引起的类比猜想（
8、点此进入）（点此进入）零点存在性定理教学设计（节选）：（该案例获2012中国教育系统年度教学设计评选二等奖）背景：（必修一）学完函数零点的定义以及下列等价关系后方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点例题：求证：二次函数f(x)=x2-2x-1 有两个不同的零点学生分组合作讨论。三种方法。求根法，判别式法，图像法。零点存在性定理教学设计（节选）：思考一：判断二次函数 f(x)=x2-2x-1 在区间（2,3）上是否存在零点能用两或三种方法吗？思考二：判断函数f(x)=lgx-3+x在区间(2,3)上是否存在零点思考三：由思考一和思考二，你可以归纳出判
9、断函数y=f(x)在区间(a,b)上是否存在零点的一种方法是什么？（试值法。）学生分组讨论，合作探究。师生共同归纳得出：零点存在性定理。如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。案例分析：案例分析：归纳推理是从特殊到一般的推理，归纳思维的认识依据在于，同类事物的各种特殊情形中蕴含的同一性和相似性。归纳法的目的在于找出所观察事物背后的规律性与统一性。归纳出的可以是概念、定理，数学结论，也可以是解题方法。案例分析：案例分析：本案例通过
10、例题和三道思考题的设置，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，让学生体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想，同时归纳猜想学基本初等函数以外的一般函数的零点存在性定理。体现了数学合情推理从特殊到一般的归纳思想，让学生自己发现出重要的数学规律方法。是非常成功的引导学生合情推理的教学设计。案例分析：案例分析：概念的教学一般有下面几个环节：概念定义，解剖定义，应用定义，预防错误。以上是解剖定义，预防错误的重要环节。通过实数数乘与向量数量积的性质类比，引导学生区别数量积与数乘，感知和洞察概念的本质属性，对未知因素作出似真推理和判断，让学生理解数量积概念定义，预防概念应
11、用的错误。可见，类比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理，也是发现数学规律、猜测数学性质和寻求问题答案的常用方法。以上问题的设置，通过从已学知识向未知知识的联想比较，引发学生深刻的思考与激烈的讨论，培养其创造性思维和求索精神，提升学生对新知识理解的高度。背景：（必修二）学习完直线与圆的位置关系后。用几何方法解决代数问题。案例分析：案例分析：例题第一问是有难度的。学生知道是代数问题用几何方法去解决，也能够发现，是圆上的点，但是因为没有学习线性规划，所以什么几何意义，一时之间想不到。于是教师可以教学生：令，则，点拨他们寻找的几何意义。不难发现，求的最小值即求直线与圆有交点时在轴上截距的最小值。通过数形
12、结合，相切时可求得最值。（2）（3）（4）问就不必教了，给学生进行类比推理的时间，他们必能够回答得很好。表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，连线与圆相切时取最值；则表示圆上的点与（0，0）连线的距离的平方，当距离取最值时，也取最值。当然具体的计算过程及结果，最好能有明确的板书演示，可由师生共同来完成。这样设计的好处，让学生自己通过类比猜想找到后三问的解决办法，提升他们的解题成就感和满足感。举一反三是教师课堂中的常见技巧，只要题目设计合理，常常事半功倍。配套的这道练习题，是不好用一元二次方程的根的范围来解的。当用几何意义来解时，则出现了半圆，强化了用几何方法解决代数问题的优势，直观形象，让学生以
13、后见到类似题型，都形成用解析法解决问题的推理模式。背景：必修二，线面垂直判定定理学习之后。例题：（1）在三棱锥S-ABC中，O是S在平面ABC内的射影，若，则点O是的 心。（2）在三棱锥S-ABC中，O是S在平面ABC内的射影，若SA、SB、SC两两垂直，。则点O是的 心。（3）在三棱锥S-ABC中，O是S在平面ABC内的射影，若点S到三边的距离相等，则点O是的 心。师：都有哪些心？内心，外心，重心，垂心。分别有哪些性质？我们先来根据心的性质和题目的不同去猜想，这几个心该会分别填在哪个空里?点S到A,B,C距离相等，那么它的射影O会有什么类似性质？O到A,B,C距离会不会也相等呢？你觉得O会是
14、的什么心？SA、SB、SC两两垂直，它们在平面ABC内的射影OA,OB,OC会有什么性质?你觉得O会是的什么心？S到三边的距离相等，则点O到三边的距离会不会也相等呢？你觉得O会是的什么心？以上猜想，你能证明吗？案例分析案例分析：同一道题目,不同的教师有不同的教法。如果只是刻板地由已知推证结论，所有老师都会教。至于教学效果，就很难说。而该设计中，教师先唤起学生对三角形的心的回忆，再引发他们根据题意中给出关于S点的条件不同，对其射影O的位置进行类比猜想，学生兴趣大增，纷纷抢答。活跃了课堂气氛，充分调动了学生的数学思维。之后，教师再要求学生对自己的猜想给出严格证明，学生全情投入，全力以赴。在三道题师
15、生共同证明完毕后，教师可以引导学生归纳出解决这类问题的常用方法，得出常规结论（如共点的斜线段长与射影长的关系）。案例分析案例分析：教师不仅要教会学生每一道题目具体怎样做，而要教给学生为什么这样做，教会他们无论做题之前还是做题之后，都要先学会怎样从宏观整体的角度看待这一类题型，它们的内在联系是什么。这些都要求教师自己有善于发现的眼睛和善于归纳的数学推理思维能力。这种让学生先猜想，后证明，再归纳的教学模式，有助于培养学生勇于开拓的精神，培养他们探索求真的能力。知识背景：必修二第四章圆与方程复习与拓展。案例分析案例分析：很多聪明的学生已经从参考书上看到例题1的解法，方程的思想在解析几何中的应用，这是
16、一道典型例题。学生可以很明确地得出：两相交圆的方程相减，能得到相交弦所在直线方程(前题是平方项系数相同)。例题2中两圆相离，解法貌似与例题1无甚关联，但通过问题一和问题二，让学生进行合理的猜想，发现，当两圆相离时，两圆方程相减，还是可以得到一条直线方程。当两圆半径相同时，这条直线正好是这两圆的对称轴所在直线。这也为求两半径形同的圆的对称轴直线方程提供了另一种非常简便的方法。于是有学生在问题二尚未思考时，嚷出后面那道练习题的解法：既然相减得到的直线是对称轴，那么知道了圆和直线，求对称圆，直接把圆与直线方程相加行不行？这真是一种新奇的想法，一种可贵的逆向思维，连教师自己也觉得是个好点子，提议同学们
17、不妨尝试。但片刻后有同学否认了这种方法，因为他们发现，直线方程有时候会约分了一个系数，再和圆相加，得不到已知圆关于已知直线的对称圆方程。所以上面的练习题只能是用常规方法，先求出圆心关于直线的对称点，再求圆方程。那么这个直线方程中约分了的系数和已知圆的方程有没有必然联系呢？有待读者深入探究。问题二该如何解决呢？这个问题的设置极大地引起了学生们的探究和猜想热情。他们很快猜出，当两圆相切时，方程相减，消去二次项，能得到过切点的公切线所在直线方程；那么相离时，得到的是什么呢？教师可提示他们课后用圆的切割线定理，对相交的情况进行探究，再推广到相切和相离。果然有几位学生在课后几天的时间不断得出新的相关结论
18、，最终推证出正确结论：两圆方程相减，消去二次项，得到的直线方程是到两圆切线长相等的点的轨迹。（结论参见罗碎海老师所著数学探究与欣赏，P122页。）教会学生解答可能仅仅是数学或实验技能问题，而让他们提出新问题、新的可能性，从新的角度去思考和解决问题，则能够拓展学生的思维空间，真正提高学生的数学思维能力。上述案例中合情推理问题的设置，引导学生在课堂上进行猜想，有对有错，在课后对自己的猜想进行交流和论证，正是鼓励学生积极思考，培养他们从小就勇于探索，敢于深入进行数学研究的钻研精神和严谨的治学精神。当然，以上的案例中，这样的问题设置还不一定是最佳方案，不同的教师可能会有更好的推理设置方案。怎样使引导学
19、生进行合情推理的问题设置得层次更分明，逻辑更严密，是我们在教学中不断探求不断反思的问题。知识背景：高三第一轮复习,数列求和：裂项相消法。知识背景：高三第一轮复习,数列求和：裂项相消法。案例分析：案例分析：用裂项相消法进行数列求和一直是高考重点。上述案例中例题1和练习1是高考常考题型，师生们想必都知道其要点何在。练习2将分母拓展成三项相乘，猜想要点是，将三项之积裂成连续两项之积相减，聪明的学生也应该很快可以猜到。例题2摇身一变，原来的分母变成了分子，该如何裂成连续两项之差呢？教师可以适当给出提示，将两项之积裂成两个连续三项之积相减。如此，学生对拓展1也应该很快可以猜出裂项的方案。拓展2的结论，是
20、文理科常用公式，部分教师只知道可以用数学归纳法证明它，却不知道可以用裂项相消法推出它.有经验的教师还可以将以上案例继续拓展得更广。课堂教学中，如何将高考考点拓展开来，化解题方法为解题能力，是每位教师应该注重的问题。将学生的举一反三的能力提高了，则任他高考题千变万化，学生都可以做到“以不变应万变”。因此，在课堂中有梯度地设置问题，让学生拾级而上地猜想，将技巧和方法转化为归纳和类比推理的能力，拓展学生解题思维的深度和广度，值得我们教师深入探究和精心思考。著名匈牙利数学教育家波利亚说过：学习任何知识的最佳途径都是由自己发现。因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系。他的数学思
21、想启示我们：数学教育应着眼于探究创造，强调获取知识的过程和方法，寻求学习过程、科学探索和问题解决间的一致性。在教学实践中，教师通过创设问题情境，引导学生细心观察，合情推理来学习新知。教师从关注“教”到重视“学”，是树立新观念、实施新课标的一场运动。这一运动也是一个由赋予知识到赋予人性、情感的过程，也就是“以人为本”在教学过程中的根本体现。“教”的任务已由单纯的知识传播转向能力开发，教师已不再是一个“卖弄”学问的人。教师的作用在于启发诱导学生的求知欲，变基于教的学为基于学的教。从“教”到“学”，要关注学生的思维，通过合理导问，让学生思之有向，思之有序，思之有理，思之有创；让学生经历思想爬坡、理智
22、探险、经验体味；让学生不断的感悟、顿悟、醒悟，如此，我们的教育教学才有深度、广度、温度。1.应用合情推理教学有利于激发学生的学习兴趣和增强学习动力。2.应用合情推理教学有助于提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，使学生更为透彻地理解和掌握数学知识。3.应用合情推理教学有助于培养和拓宽学生的思维，有利于更快捷地寻找解题思路。4.合情推理能力是高考考察的基本数学能力之一。5.应用合情推理教学让学生感觉到数学是自然的，一切数学概念的引入都有其必然性，一切定理的生成都是合理的，都和我们已学知识之间有内在的联系。只要我们用善于发现的眼睛看世界，猜想和创新就无处不在。这也是辩证唯物主义思想。有利于提
23、高学生的创造性思维和创新意识，符合当前数学素质教育的要求。第一，合情推理是解决数学问题中一种广泛使用的方法，它不仅适用于艰深的问题，同样适用于普通的数学求解问题，不仅在代数中有广泛用途，在解析几何、立体几何中同样适用，。教学中，不论是概念的产生，定理、公式的发现，规律的探求，还是解决问题的方法途径，都可以通过合情推理引导学生去猜想。不论学生是否猜对，都能有助于培养学生的数学思维能力，使他们学会发现的技巧。第二，合情推理的运用是灵活与合理的。只要有正确的思想方法，对已有知识或经验进行重新整合和推广，就能够得到各种新结论，为探索新规律提供方向。第三，合情推理是有规律可寻的，它们是合情推理的基础。数
24、学研究的目的就是揭示这些规律。四、数学教师要做到尊重学生的合理猜想，通过高质量的“导问”把学习的主动权还给学生，在数学教学中注重知识的发生过程，营造宽松良好的猜想氛围，教学中渗透“合情推理+证明”的发现问题和解决问题的科学思维。五、教师自己要懂猜想，会猜想。教师要积极进行教学研究，探索合情推理各方法的规律性和内在联系，正确应用数学方法论的思想，加强对学生创造性思维能力的训练，将学生带入研究和探索数学的领域中去。这不仅能较大地提高学生的数学成绩，还能培养出高素质的数学人才，这才是数学教师的社会使命所在。1 G波利亚数学与猜想合情推理模式M北京:科学出版社，20012 陈为强.从“教”到“学”的运动N中国教师报N.2012.2.153 骆魁敏“新课标下高中数学课堂教学策略研究”阶段研究工作报告R，20084 宋建辉，黄锦绣在高中新课标数学教学中培养学生合情推理能力的探索J，数学通讯，2010.15丘端立，邹泽民，黄艳玲等.中学数学方法论M，广西教育出版社，19986罗碎海数学探究与欣赏M，暨南大学出版社，2010.
