1、41 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例42 受弯杆件的简化受弯杆件的简化43 剪力和弯矩剪力和弯矩44 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系46 平面曲杆的内力图平面曲杆的内力图第四章第四章 弯曲内力弯曲内力一、弯曲的概念一、弯曲的概念受力特点受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。梁：以梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。41 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例变形特点变形特点：轴线变成了曲线。：轴线变成
2、了曲线。F纵向对称面纵向对称面轴线轴线C二、平面二、平面弯曲的概念弯曲的概念梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线曲线。F1F2非对称弯曲非对称弯曲若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨
3、论梁的应力和变形计算。C 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化构件本身的简化42 受弯杆件的简化受弯杆件的简化取梁的轴线来代替梁取梁的轴线来代替梁FalABFalAB(1)固定铰支座固定铰支座 2个约束，个约束，1个自由度。个自由度。(2)可动铰支座可动铰支座 1个约束，个约束，2个自由度。个自由度。2.支座简化支座简化(3)固定端固定端FxFyM3个约束，个约束，0个自由度。个自由度。固定铰固定铰可动铰可动铰固定铰固定铰可动铰可动铰
4、固定端固定端3.梁的三种基本形式梁的三种基本形式(1)简支梁简支梁(2)外伸梁外伸梁(3)悬臂梁悬臂梁FABqFFABF4.载荷的简化载荷的简化MqFAB作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。5.静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。的静定梁。超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全 部支反力。部支反力。FABqFA
5、BFFABqABF已知：已知：F，a，l。解解：(1)求支座反力求支座反力43 剪力和弯矩剪力和弯矩0 ,0 AxxFFlFaFMBA ,0lFbFMAyB ,0求：距求：距A 端端x处截面上内力。处截面上内力。FABFAyFAxFBFalABbxFBFAFAyC（2）求内力）求内力截面法截面法剪力剪力FS弯矩弯矩MFSMMFSAyFF S 取左段：取左段：ABFFBxmmFAy ,0yFxFMAy ,0CMlFb 0 MxFAyxlFb 0 S FFAy内力的正负规定内力的正负规定（1）剪力剪力FS:左上右下为正左上右下为正;反之为负。反之为负。+左上右下为正左上右下为正FSFS+FSFSF
6、SFS（2）弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正左顺右逆为正可以装水为正可以装水为正MMMM(+)MM()（2）弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正左顺右逆为正可以装水为正可以装水为正MMMM(+)MM()MM求求D截面上的内力。截面上的内力。,0 yF解：解：,0 BMFA截面法求截面法求D截面内力：截面内力：,0232 qaaFAqaFA32 ,02 qaFFBA,34 qaFB MD 例例2 取左段：取左段：FSFAaaq
7、AqBDaCaaFB,0 OM Fy,0 ,0SFqaFA,0OM Fy,02212qaaFMAqaFFASqaqa 32,02122MqaaFA221232qaaqa剪力剪力=截面左侧所有外力在截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。轴上投影代数之和，向上为正。弯矩弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。qa31265qaMDFSFAaaq(P117)例例3 求求1-1、2-2截面上的内力。截面上的内力。Ae221MqaaFM qaFF Sqaqa 22221qaqaaqa FSMqF=qaMe=2qa2解：解：1-1
8、截面截面qa2 221qa Baqa221C1F=qaMe=2qa2e232MaqaaFMqaFFSqaqaqa2222232qaqaaqa 223 qa 2-2截面截面FSMqF=qaMe=2qa2ABaqa221C1F=qaMe=2qa244 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图求求x截面上的内力。截面上的内力。解：解：qxF S22xqM FS=FS(x)剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程FSxql22qlM 0 M0 x，lx，lxMx22ql,0S F,SqlF qABFaClb 例例4-2(P119)4-2(P119)求梁的内力方程并画出内力
9、图。求梁的内力方程并画出内力图。FAFBx1x2解解:(1):(1)求支座反力求支座反力FlbFAFlaFB(2)(2)写出内力方程写出内力方程AFxF)(1S11)(xFxMAFFxFA)(2S)()(22xlFxMB AC段：段：CB段：段：1FxlbFFlbFllb)(2xlFla Fla Flb FlbxF)(1SFSxMx+FlbFla(3)(3)根据方程画内力图根据方程画内力图FlaxF )(2SABFaClbFAFBx1x2MxFSx+FlbFla)(1xM1Fxlb)(2xM)(2xlFlalFab+0MlFabM,01x,1ax 0MlFabM,2ax,2lx ABFaClb
10、FAFBx1x2FlbxF)(1S(3)(3)根据方程画内力图根据方程画内力图FlaxF )(2S(4)(4)内力图特征内力图特征在集中力作用的地方，在集中力作用的地方，剪力图有突变，外力剪力图有突变，外力F向向下，下，剪力剪力图向下变，变化图向下变，变化值值=F 值；弯矩图有折角。值；弯矩图有折角。+FlbFlaM图图+lFabFS图图ABFaClbFAFBx1x2 例例66 求梁的内力方程并画出内力图。求梁的内力方程并画出内力图。x1x2解：解：(1)(1)求支座反力求支座反力lMFAelMFBe(2)(2)写出内力方程写出内力方程ASFxF)(111)(xFxMABSFxF)(2)()(
11、22xlFxMBAC段：段：CB段：段：1exlMlMe)(2exllMABMeaClblMeFAFBlMxFe1S)()(2SxFlMexMxlMe+FS(3)(3)根据方程画内力图根据方程画内力图x1x2ABMeaClbFAFB)(1xM1exlM)(2xM)(2exllMeMla+eMlbMxxlMe+FS0MeMlaM,01x,1ax 0Me MlbM,2ax,2lx x1x2ABMeaClbFAFBlMxFe1S)()(2SxFlMe(3)(3)根据方程画内力图根据方程画内力图(4)(4)内力图特征内力图特征在集中力偶作用的地方，在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突剪力图无
12、突变；弯矩图有突变，变，Me逆时针转，逆时针转，弯矩图向弯矩图向下变，变化值下变，变化值=Me值。值。eMla+eMlbMxxlMe+FSx1x2ABMeaClbFAFBABqa 例例77求梁的内力方程并画出内力图。求梁的内力方程并画出内力图。FAFB解：解：(1)(1)求支座反力求支座反力AFBF(2)(2)写出内力方程写出内力方程qxFxFA)(SxFxMA)(qxqa222121qxqax221qx2qaxxMx2qaFS)(SxFqxqa2+2qa（3 3）根据方程画内力图）根据方程画内力图2SqaF,0 x2 SqaF,axFAFBABaxqMxx2qaFS+2qa82qa)(xM2
13、2121qxqax+2a0M0M,0 x,ax8 2qaM,2ax)(SxFqxqa2（3 3）根据方程画内力图）根据方程画内力图2SqaF,0 x2 SqaF,axFAFBABaxq(4)(4)内力图特征内力图特征在均布力作用的梁在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物均布力向下作用，抛物线开口向下。线开口向下。抛物线的极值在剪抛物线的极值在剪力为零的截面上。力为零的截面上。Mxx2qaFS+2qa82qa+2aABaxqB2aaAqC2qaF 例例88求梁的内力方程并画出内力图。求梁的内力方程并画出内力图。x1
14、x2解：解：(1)(1)写出内力方程写出内力方程FxF)(1S11)(FxxM222)(2121axqqax)()(22SaxqFxF2222)(21)(axqFxxM)(22axqqa121qax2qax23qaFS2qa(2)(2)根据方程画内力图根据方程画内力图2)(1SqaxF)(2)(22SaxqqaxF+,2ax,32ax MxB2aaAqC2qaF x1x22SqaF 23 SqaFMxx23qaFS2qa+1121)(qaxxM222)(2121axqqax)(2xM22qa22qa0,01Mx2 ,21qaMax2 ,22qaMax2 ,322qaMax二次抛物线的升降，二次
15、抛物线的升降，开口方向，极值点开口方向，极值点B2aaAqC2qaF x1x2Mxx23qaFS2qa+22qa22qa222)(2121axqqax)(2xM22d)(dxxM)(22axqqa)(2SxF极值点：极值点：0)(2SxF令0)(22axqqa即即：得：得：ax23023a2085qaM 852qa+B2aaAqC2qaF x1x2一、一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系取一微段取一微段dx，进行平衡分析。进行平衡分析。,0yF)(dd)(SxFxxqq(x)q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA)(d)(dSxq
16、xxF 剪力的导数等于该点处荷载剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。集度的大小。45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系dxx)(SxFxxqd)()(d)(SSxFxF0,0AM)(d)(dSxFxxM 弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM 弯矩与荷载集度的关系。弯矩与荷载集度的关系。忽略高阶微量忽略高阶微量22d)(dxxM)(xqq(x)M(x)+d M(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAxxFd)(dSxxF)d(S2)(d(21xxq)(xM)(d)(xMxM0 xxF)d(S0)(dx
17、M)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM xqxxFddS1、若、若q=0，则，则FS=常数，常数，M是斜直线；是斜直线；2、若、若q=常数，则常数，则FS是斜直线是斜直线，M为二次抛物线；为二次抛物线；3、M的极值发生在的极值发生在FS=0的截面上。的截面上。二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段无外力段均布载荷段均布载荷段集中力集中力集中力偶集中力偶q=0q0q0FSFS0 x斜直线斜直线增函数增函数xFSxFS降函数降函数xFSCFS1FS2FS1FS2=F向下突变向下突变xFSC无变化无变化斜直线斜直线xM增函数增函数xM降函数降函数曲线曲
18、线xMxM有折角有折角向上突变向上突变 MxM1M2e12MMMCF)(d)(dSxFxxM4、将微分关系转为积分关系、将微分关系转为积分关系baabxxqFF)d(SSxxFxMd)()(dSbaxxFxMbMaM)d()(dSbaabxxFMM)d(S的面积的面积区间上区间上SFab)(d)(dSxqxxFxxqxFd)()(dSbaxxqxFFF)d()(dSbSaS的的面面积积区区间间上上qab的面积的面积区间上区间上SFabMMab 的的面面积积区区间间上上qabFFab SS简易作图法简易作图法:利用内力和外力的关系及利用内力和外力的关系及特殊点特殊点的内力值来作的内力值来作 图的
19、方法。图的方法。例例44 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解解:特殊点特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqACBFSx223qaqa2qaxM根据根据及及FS图和图和M图的特征作图。图的特征作图。)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM xqxxFddS0,SCF2 qaMB2 2qaMMBC23 2qaaaqaqACB用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力解：求支反力22qaFqaFDA ;qMe=qa2F=qaFSx+ABCDxM+FAFDa
20、aa 例例99 qaqaFC 2S2 qa 2 2qaMB 22212 20aqaqaM 83 2qa 2 2qaMC 832qa22qa22qa22qa2qa2qa2qa例例10 F=3kNq=10kN/mB1.2m0.6mMe=3.6kNmCFAFBDA0.6mkN5kN10BAFFFS(kN)x3M(kNm)x2.45+M0=1.251.21.8x0=0.7m7+070 xq27.072.10M77a2aaFAFBABqCDMexxq=3kN/m8.566.0462.83mkN5.3kN;5.14BAFF例例4-4（P122)Me=3kNm+FS(kN)M(kNm)3.5a=2m4+FS
21、(kN)x325例例4-6(P126)画梁的剪力图画梁的剪力图和弯矩图和弯矩图+1.5mkN7kN3BAFFM(kNm)x+462.25F2=2kNq=2kN/mB2m2mMe=10kNmCDA4mFAFB+4FS(kN)x723例例11 画梁的剪力图画梁的剪力图和弯矩图和弯矩图31+1mkN5kN7BAFFF1=2kNF2=2kNq=1kN/mB3m4m4mMe=10kNmCFAFBDAE4mM(kNm)x20.5+661620例例12 画梁的剪力图画梁的剪力图和弯矩图和弯矩图6mAq=1kN/mB1kNB3m3m6mCDAF=2kNq=1kN/mB3m3mCDF=2kN1kN+例例12 画
22、梁的剪力图画梁的剪力图和弯矩图和弯矩图B3m3m6mCDAF=2kNq=1kN/m+改内力图之错。改内力图之错。a2aaqqa2ABFSxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/447;4qaFqaFBAFAFBq例例13 已知FS图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。FS(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+M(kNm)x+111.25例例14 一、平面刚架一、平面刚架1.平面刚架平面刚架46 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图F1F2alABC特点：刚架各杆的内力有：特点：刚架各杆的内力有：FN、FS、M。同一平面
23、内，不同取向的杆件，通过杆端相互同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连刚性连接接而组成的结构。而组成的结构。2.内力图规定内力图规定剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。画在刚架的外侧），但须注明正、负号。弯矩图：通常正值画在刚架的外侧，负值画在刚架的内弯矩图：通常正值画在刚架的外侧，负值画在刚架的内侧，不注明正、负号。侧，不注明正、负号。试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。F1F2alABC例例15FSFNMx0NF1SFF xFM1xCF1F1aFN 图图FS 图图F1+F1F2a
24、lABCM 图图x0NF1SFF xFM1FSFNMxCF1F1F2alABCxF1F2aBCxFSFNM1FFN2SFF xFaFM21F1F2aBCxFSFNMFN 图图F2+FS 图图F1+F1F1aF1a+F2 lM 图图F1a1FFN2SFF xFaFM21F1F2alABCxF1aM 图图F1aF1a+F2 lBF1F2alABCx试作图示刚架的弯矩图。试作图示刚架的弯矩图。例例16CBqaaAqa2D1、先求支反力。、先求支反力。解：解：qaFAx2qaFAy2qaFBFAyFAxFBqa2qa2qaqaqa2/2CBqaaAqa2DCBqaaAqa2Dqa2qa2qaACACq
25、a2/2qa2qa2/2M 图图qa2qa2qaCBqaaAqa2Dqaqa2/2ACACAC二、曲杆二、曲杆已知：如图所示，已知：如图所示，F及及R。试绘制。试绘制FS、M、FN 图。图。OFRAB例例16轴线为曲线的杆件。轴线为曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。ORq qxAFB解：建立极坐标，解：建立极坐标，q q表示截面表示截面mm的位置。的位置。)(q qM cos)(Nq qq qFF sin)(Sq qq qFF OFRq qmmxABMFNFS)cos(q qRRF OFRq qmmxABABOM图图OO+FS图图FN图图2FRFF+FxM)(q cos)(NqqFF sin)(SqqFF)cos(qRRF应用计算机分析软件绘内力图应用计算机分析软件绘内力图题题4-10(d)(P133)3m3m2m40kNAD50kN/mCB50kN/m题题4-7(c)(P131)3m4m2m1kNAD1kN/mCB8kN1m公路桥梁结构设计系统（公路桥梁结构设计系统（GQJS）
