1、项目3.1复数的概念案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!1.j的引入方程x2=-1在实数集R内无解,为了解决这样的方程,人们引进一个新数j.j叫做虚数单位,它具有如下性质(1)j2=-1;(2)j和实数一起,可以按照通常的四则运算法则进行运算.例如:4j,-0.5j,4+3j,-j,(1+2j)(-3-2j),等.2.j和实数b的乘积bj(1)当b0时,bj叫做纯虚数;(2)当b=0时,bj=0j=0,此时bj就是实数0.3.复数形如a+bj的数叫做复数,其中a、b都是实数.a叫做复数的实部,记作a=Rez;b叫做复数的虚部,记作b=Imz.例如:复数-j的实部是,虚部是-;复数4j的实部是0
2、,虚部是4;实数5的实部是5,虚部是0.4.复数集合全体复数所构成的集合,叫做复数集.复数集通常用C表示,即C=.复数z=a+bj中 5.复数相等(1)a+bj=c+dja=c且b=d;(2)a+bj=0a=0且b=0.6.共轭复数若z=a+bj,=a-bj,则称z和互为共轭复数.它们的实部相等,虚部互为相反数.例1解方程x2+4=0.【解】移项得x2=-4,因为(2j)2=-4,所以x1=2j,x2=-2j.例2解方程x2+6x+10=0.【解】方程可变形为x2+6x+9=-1,即(x+3)2=-1,因为(j)2=-1,则x+3=j或x+3=-j,所以x1=-3+j,x2=-3-j.例3求适
3、合下列方程的x和y(x,yR)的值:(1)(x+2y)-j=6x+(x-y)j;(2)(x+y-1)-(x-y+3)j=0.【解】(1)根据复数相等的定义,得方程组,解这个方程组,得x=,y=.(2)由复数等于零的充要条件,得,解这个方程组,得x=-1,y=2.1.将下列各数分类:2-,0.168,2j,0j,j,j2,j3,4+5j,-j,(1-)j.实数:;虚数:;纯虚数:;复数:.2.写出下列各复数的实部和虚部:-4+2j,3+7j,(3+)j,-8,j3.3.解方程(1)x2+4x+5=0;(2)x2-5x+10=0.项目3.2复数的几何意义案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!1.复平
4、面建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,也叫高斯(Gauss)平面.图3-1在复平面内,x轴通常叫做实轴,y轴叫做虚轴.复数z=a+bj被有序实数对(a,b)所唯一确定,而每一个有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z(a,b)或一个向量.因此,复数z=a+bj,点Z(a,b)和向量之间可以建立起一一对应的关系.Z(a,b)或向量叫做复数的集合表示.2.复数的模复数z=a+bj所对应向量的长度叫做复数的模或绝对值.记作=.复数的几何表示的发现,使虚幻的复数与实际紧密地联系了起来.现在,复数不仅在数学理论中不可缺少,也成了研究物理学及其他科学的重要工具.例1 (1)写出图3-2
5、a中各点表示的复数;(2)在复平面(图3-2b)内作出表示下列复数的点和向量:3+j,2+3j,-1+4j,-2+j,-1-2j,2-2j.图3-2【解】(1)O:0,A:3+2j,B:2+4j,C:-1+3j,D:-2+2j,E:-2-j,F:2-3j;(2)如图3-2b所示,A:3+j,B:2+3j,C:-1+4j,D:-2+j,E:-1-2j,F:2-2j.所对应向量分别是:,.不等式4的解集是以原点O为圆心,4为半径的圆及其内部所有的点构成的集合.图3-3图3-4不等式2的解集是以原点O为圆心,2为半径的圆及其外部所有的点构成的集合.所以,24的解集就是这两个集合的共同部分,即以原点O
6、为圆心,2及4为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界.1.在复平面内描出表示下列复数的点和向量:(1)3+5j;(2)-2+3j;(3)4-j;(4)-2j-1;(5)2;(6)-4j;(7)(-2j)2;(8)2j.2.求下列复数的模:(1)-4+3j;(2)5-12j;(3)-5j;(4)1+j.3.设zC,请问满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)=1;(2)34.项目3.3复数的代数形式运算1.复数代数形式的加减运算复数的代数形式加减时,只需将实部和虚部分别加减,即(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j;(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.2.复数
7、代数形式的乘除运算复数的代数形式相乘时,类似多项式相乘,只是jn要用具体数值代替,即(a+bj)(c+dj)=ac+adj+bcj+bdj2=(ac-bd)+(bc+ad)j.由上述乘法公式不难求得(a+bj)(a-bj)=a2+b2,说明互为共轭的两个复数相乘,积为实数.因此,复数的代数形式相除时,为便于计算,常常用分子、分母同时乘以分母的共轭复数,将分母化为实数,再根据乘法公式计算.方法如下(a+bj)(c+dj)=+j.=+j即为复数的除法公式.例1已知z1=2+3j,z2=5-2j,计算z1+z2,z1-z2.【解】z1+z2=(2+3j)+(5-2j)=(2+5)+(3-2)j=7+
8、j.z1-z2=(2+3j)-(5-2j)=(2-5)+j=-3+5j.例2已知z1=2+j,z2=3-4j,计算z1z2.【解】z1z2=(2+j)(3-4j)=23+2(-4j)+j3+j(-4j)=6-8j+3j+4=10-5j.例3已知z1=2+3j,z2=3+4j,计算z1z2.【解】z1z2=+j.想一想 (a+bj)(a-bj)=?1.计算:(1)(3+2j)+(7+j);(2)(5+j)+(5-j);(3)(4-2j)-(-3+6j);(4)(3j-4)-(-4-3j).2.计算:(1)(-3+4j)(5+j);(2)(5+3j)(5-3j);(3)(3-2j)(-3+4j);
9、(4)(3j-5)(2j)(2+2j).图3-6项目3.4复数的指数形式运算案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!1.复数的辐角设z=a+bj,=r=,以x轴的正半轴为始边,向量所在的射线OZ为终边的角,叫做复数z=a+bj的辐角,记作=Argz,如图3-7所示.(r=)图3-7不等于零的复数z=a+bj的辐角值有无数多个,这些值相差2的整数倍.如复数j的辐角可以是集合中的任意角.如果复数等于零,那么和它对应的向量是零向量.由于零向量没有确定的方向,因而复数0+0j没有确定的辐角.适合于02的辐角的值,叫做辐角的主值,通常记作Argz.例如:Arg3=;Arg(-5)=;Arg(-j)=.要确定
10、任意复数z=a+bj的辐角,可以利用公式 2.复数的表达形式复数的常用表达形式,如(1)z=a+bj称为代数形式或直交形式;(2)z=r(cos+jsin)称为三角形式;(3)z=rej称为指数形式.数学家欧拉证明:cos+jsin=ej,公式把复数的三角形式和指数形式联系起来,这就是著名的欧拉公式.本课题主要学习指数形式在 乘除运算中的运用.设z1=r1(cos1+jsin1)=r1,z2=r2(cos2+jsin2)=r2,则z1z2=r1r2=r1r2;例1化2j为指数形式.【解】因为r=2,主值是,所以2j=2=2.例2化1-j为指数形式.【解】因为r=,cos=,sin=-,则是第四象限的角,的主值是.所以1-j=.项目3.5复数的应用随着科学技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性.在系统分析、信号分析、反常积分、量子力学、相对论、流体力学和电学等方面,复数理论都有重要的贡献.这里重点介绍复数在电学上的某些应用.图3-8图3-9
