1、传热学传热学第第 3 章章 非稳态热传导非稳态热传导内容要求：内容要求：v非稳态导热的基本概念；非稳态导热的基本概念；v零维问题的分析法零维问题的分析法集总参数法：集总参数法：v典型一维物体非稳态导热的分析解；典型一维物体非稳态导热的分析解；v半无限大物体的非稳态导热；半无限大物体的非稳态导热；v简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解。简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解。第第 3 3 章章 非稳态热传导非稳态热传导 1.非稳态导热非稳态导热（unsteady heat conduction）：物体的温度随时间而变化的导热过程。物体的温度随时间而变化的导热过程。3.1 非稳态导热的基本概念非
2、稳态导热的基本概念 3.1.1 非稳态导热过程的特点及类型非稳态导热过程的特点及类型0t 2.非稳态导热的类型非稳态导热的类型 周期性导热周期性导热（Periodic unsteady conduction）：）：物体的温度随时间而做周期性的变化。物体的温度随时间而做周期性的变化。瞬态导热瞬态导热（Transient conduction）：）：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。0t 3.瞬态非稳态导热的基本特点瞬态非稳态导热的基本特点 存在着有区别的两个不同的导热阶段；存在着有区别的两个不同的导热阶段；非正规状况阶段非正规状况阶段：物体中的温
3、度：物体中的温度 分布主要受初始温度分布的影响。分布主要受初始温度分布的影响。正规状况阶段正规状况阶段：物体中的温度分：物体中的温度分 布主要受热边界条件的影响。布主要受热边界条件的影响。在热量传递方向上不同位置处的在热量传递方向上不同位置处的 导热量处处不同。导热量处处不同。1：从左侧面导入物体的热流量；：从左侧面导入物体的热流量；2；从右侧面导出的热流量。；从右侧面导出的热流量。3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律导热微分方程解的唯一性定律 非稳态导热问题的数学描述非稳态导热问题的数学描述)()(222222aztytxttcp),()0,(.zyxfzyxtCI)(00.ftthxtx
4、xtxCB 解的唯一性定理：如果某一函数解的唯一性定理：如果某一函数 t(x,y,z,)满足满足 方程方程(a)及一定的初始条件与边界条件，则此函数及一定的初始条件与边界条件，则此函数 就是这一特定导热问题的唯一解。就是这一特定导热问题的唯一解。3.1.3 第三类边界条件下第三类边界条件下Bi 数对平板中温度分布的影响数对平板中温度分布的影响 1.毕渥毕渥（Biot）数数 定义：定义：hBi 物理意义：物理意义：hhBi1 分子：物体内部的导热热阻分子：物体内部的导热热阻 ；分母：物体外部的对流换热热阻分母：物体外部的对流换热热阻 。h1 Bi 数的数值范围：数的数值范围：2.毕渥数毕渥数 B
5、i 对温度分布的影响对温度分布的影响 分析：设有一块金属平板分析：设有一块金属平板 2,，a，V=0，h，初始温度初始温度t0t0,突置于流体突置于流体t中，中，且且t t0。0Bi内部导热热阻内部导热热阻 趋于零；趋于零；集总热容系统。集总热容系统。Bi外部对流换热外部对流换热 热阻趋于零；热阻趋于零；)1(0Bi内部导热热阻和内部导热热阻和 外部对流换热热外部对流换热热 阻相当。阻相当。第一类边界条件第一类边界条件 3.2 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 集中参数法集中参数法(Lumped parameter method)：Bi0.1时，物体内部的导热热阻远小于外部
6、的时，物体内部的导热热阻远小于外部的 对流换热热阻，这种忽略物体内部导热热阻的简对流换热热阻，这种忽略物体内部导热热阻的简 化分析方法。化分析方法。物体内部温度分布：物体内部温度分布：)(ft 分析：分析：Bi0.1 导热系数导热系数相当大；相当大；几何尺寸几何尺寸相当小；相当小；表面传热系数表面传热系数h很小。很小。3.2.1 集中参数法温度场的分析解集中参数法温度场的分析解分析问题分析问题 有一任意形状物体，体积有一任意形状物体，体积V，表面积，表面积A，物性参数，物性参数，c为常数。初始温度为常数。初始温度t0，初始时刻突然置于，初始时刻突然置于温度温度t（恒温）的流体中，（恒温）的流体
7、中，表面传热系数表面传热系数h为常数。为常数。物体冷却过程中温度随时间的变化规律；物体冷却过程中温度随时间的变化规律；物体放出的热量。物体放出的热量。，cV At 0t h求解求解 1.物体在冷却过程中温度随时间的变化规律物体在冷却过程中温度随时间的变化规律 根据能量守恒：根据能量守恒：)(ttAhdtdVc 引入过余温度：引入过余温度：ttAhddVcttCI000.求得温度分布：求得温度分布：VVFoBiVcAhee0说明说明采用集中参数法，采用集中参数法，过余温度分布随时间过余温度分布随时间呈指数规律衰减。呈指数规律衰减。3.2.2 导热量计算式，时间常数与傅里叶数导热量计算式，时间常数
8、与傅里叶数 1.导导热量计算式热量计算式（1）瞬时热流量瞬时热流量QVVFoBiehAhAtthAQ0)(（2）总热流量总热流量QdehAdQQcVhA000)1(0VVFoBiecVQ)1(0cvhAecVQ 2.时间常数时间常数c（time constant）当当 时，时，hAcVc0%8.36说明说明 时间常数反映了导热物体对外界温度瞬间变化时间常数反映了导热物体对外界温度瞬间变化 响应的快慢程度。响应的快慢程度。热电偶的时间常数说明热电偶对流体温度变化热电偶的时间常数说明热电偶对流体温度变化 响应快慢的程度。响应快慢的程度。VVFoBiVcAhee 0 定义时间常数：定义时间常数：hA
9、cVc 热电偶对流体温度变化反应快慢取决于自身热电偶对流体温度变化反应快慢取决于自身 热容量热容量cV及表面换热条件及表面换热条件hA。定义：定义：2laFo 物理意义：物理意义：allaFo22 分子：非稳态导热过程从分子：非稳态导热过程从 0 的时间；的时间；分母：温度变化波及到分母：温度变化波及到 l 2 面积面积的时间。的时间。非稳态导热的无量纲非稳态导热的无量纲时间时间。3.傅里叶数的物理意义傅里叶数的物理意义 非稳态导热过程中，非稳态导热过程中，Fo 越大，热扰动越深入越大，热扰动越深入 地传播到物体内部，因而物体内各点温度越地传播到物体内部，因而物体内各点温度越 接近周围流体的温
10、度。接近周围流体的温度。3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例集中参数法的适用范围及应用举例 判断是否采用集中参数法的依据：判断是否采用集中参数法的依据：MBiV1.0其中；大平板其中；大平板M=1，长圆柱，长圆柱 M=1/2，球，球 M=1/3。集中参数法中特征长度的选取：集中参数法中特征长度的选取：AVl l2Rl 3Rl 6bl 一般形状物体：一般形状物体：厚度为厚度为2的无限大平壁：的无限大平壁：半径为半径为R的圆柱：的圆柱：半径为半径为R的圆球：的圆球：边长为边长为b的立方体：的立方体：例例 题题1.1.有一直径为有一直径为5cm的钢球，初始温度为的钢球，初始温度为450，被突然
11、置，被突然置 于温度为于温度为30的空气中。设钢球表面与周围流体间的的空气中。设钢球表面与周围流体间的 总换热系数为总换热系数为24W/(m2.K)，试确定钢球冷却到试确定钢球冷却到300所需的时间。所需的时间。（已知钢球的（已知钢球的=7753kg/m3,cp=0.48kJ/(kg.K),=33W/(m.K)）例例 题题2.一直径为一直径为0.5mm的热电偶，其材料的密度为的热电偶，其材料的密度为 =8930kg/m3,比热比热c=400J/(kg.K)。初始温度为。初始温度为 25，被突然放于表面传热系数为，被突然放于表面传热系数为95 W/(m2.K)，温度为温度为120的气流中。的气流
12、中。试问：试问：（1）热电偶的过余温度为初始过余温度的）热电偶的过余温度为初始过余温度的1%及及0.1%时时 需要多少时间？需要多少时间？（2）这时热电偶指示的温度是多少？）这时热电偶指示的温度是多少？例例 题题3.3.为了测定铜球与空气之间的对流换热系数，把一个直径为了测定铜球与空气之间的对流换热系数，把一个直径 D=50mm，导热系数，导热系数=85W/(m.K)，导温系数，导温系数 a=2.9510-5m2/s，初始温度，初始温度t0=300 的铜球移置于的铜球移置于 60 的大气中。经过的大气中。经过21后，测得恫球表面温度为后，测得恫球表面温度为90 。试求铜球与空气间的对流换热系数
13、及在此时间内的换热量。试求铜球与空气间的对流换热系数及在此时间内的换热量。3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解三种几何形状物体的温度场分析解),(xft),(rft),(rftcztytxtctV)(222222分析分析 的半个平板的半个平板0 x 导热微分方程：导热微分方程：)0,0(22xxtat)0(0.0 xttCI 1.平板平板 问题：问题：无限大平板厚无限大平板厚 2,，a，V=0,h，初始初始 温度温度t0，突置于流体中突置于流体中t，且，且t t0。确定：温度分布确定：温度分布),(xft)(00.tt
14、hxtxxtxCB 用用过余温度表示的导热微分方程：过余温度表示的导热微分方程：)0,0(22xxa)0(0.0 xCIhxxxxCB00.用分离变量法求解，直接给出分析解：用分离变量法求解，直接给出分析解：)cos(cossinsin2),/(210 xexnFonnnnnn 引入过余温度：引入过余温度：=t-t解是无穷级数的和。解是无穷级数的和。说明说明n 特征值特征值nnBitan是超越方程是超越方程 的根。的根。无量纲温度分布：无量纲温度分布：),(),(00 xFoBifttttx原导热微分方程的温度分布：原导热微分方程的温度分布：),(xhaft简化未知数个数简化未知数个数)cos
15、(cossinsin2),/(210 xexnFonnnnnn 2.圆柱圆柱 问题：实心圆柱半径问题：实心圆柱半径R，a，V=0,h，初始初始 温度温度t0，突置于流体中突置于流体中t，且，且t t0。圆柱中无量纲温度分布圆柱中无量纲温度分布：)()()()(2),/(012120102xJeJJJRrnFonnnnnn n 是超越方程的根（特征值）：是超越方程的根（特征值）：,.3,2,1,)()(01nBiJJnnn 其中：其中：hRBi 3.球球 问题：实心球半径问题：实心球半径R，a，V=0,h，初始初始 温度温度t0，突置于流体中突置于流体中t，且，且t t0。球中无量纲温度分布球中
16、无量纲温度分布：)sin(/1)cos()sin()cos()sin(2),/(210 xxeRrnnFonnnnnnnn n 是超越方程的根（特征值）：是超越方程的根（特征值）：,.3,2,1,)cos(1nBinn总结总结 平板，圆柱与球中无量纲过余温度分布：平板，圆柱与球中无量纲过余温度分布：),(),/(00 xFoBifttttx 平板，圆柱与球的温度分布的平板，圆柱与球的温度分布的解是无穷级数的和。解是无穷级数的和。原导热微分方程的温度分布：原导热微分方程的温度分布：),(xhaft简化了未知数的个数简化了未知数的个数 3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解简化非稳态导热正规状况
17、阶段分析解简化 正规状况阶段：物体中的温度分布主要受热正规状况阶段：物体中的温度分布主要受热 边界条件的影响的阶段。边界条件的影响的阶段。Fo 增加时，增加时，逐渐减小，逐渐减小，t 越接近于越接近于 t。0 Fo0.2 时，取级数的第一项作解，略去无穷时，取级数的第一项作解，略去无穷 级数中第二项以后各项所得的计算结果与按级数中第二项以后各项所得的计算结果与按 完整级数计算结果的偏差小于完整级数计算结果的偏差小于1%。傅里叶数傅里叶数 Fo 对温度分布的影响对温度分布的影响 1.非稳态导热正规状况阶段的物理概念和数学含义非稳态导热正规状况阶段的物理概念和数学含义2laFo 2.正规状况阶段三
18、个分析解的简化表达式正规状况阶段三个分析解的简化表达式)cos(cossinsin2),/(11111021xexFo 平板；平板；圆柱；圆柱；)()()()(2),/(10121120111021RrJeJJJRrFo 球；球；/)/sin(sin)cos(sin2),/(1111111021xRreRrFo举例举例以平板为例，正规状况阶段的任何时刻，有以平板为例，正规状况阶段的任何时刻，有)cos(),0(),/(1xxm说明：平板任意处与平板中心处的过余温度比值与时间说明：平板任意处与平板中心处的过余温度比值与时间 无关，只取决于特征值无关，只取决于特征值1，即取决于，即取决于边界条件边
19、界条件。3.一段时间间隔内所传导的热量计算式一段时间间隔内所传导的热量计算式 从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡过程从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡过程 中所传递的热量：中所传递的热量：)(000ttcVcVQ 从初始时刻到某一时刻从初始时刻到某一时刻这一这一过程中所传递的过程中所传递的 热量：热量：VdVxttcQ),(0 两个热量之比：两个热量之比：00000111)(),(VVdVttttVttcVdVxttcQQ Fo0.2 时，对平板，圆柱和球分别有：时，对平板，圆柱和球分别有：FoeQQ211111110cossinsin2sin1 平板；平板；圆柱；圆柱；FoeJJJJQQ
20、21)()()(2)(211211201111110 球；球；FoeQQ21111111311110cossin)cos(sin2)cos(sin31 温度场和导热量的计算式可以统一：温度场和导热量的计算式可以统一：)(),(1021fAeFoBAeQQFo2110A，B，f(1)的的表达式参见表表达式参见表3-1 3.3.3 非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法 1.图线法图线法 海斯勒图的海斯勒图的使用方法使用方法首先计算首先计算Bi 和和Fo 的数值；的数值；由线算图由线算图 ，确定，确定 ，再计算，再计算 ；),(0BiFofm0mm再由线算图再由线
21、算图 ，确定，确定 ，计算，计算 ；),(xBifmmtt从而确定温度分布和交换的热量。从而确定温度分布和交换的热量。两种简化计算方法：两种简化计算方法：诺谟图诺谟图（nomogram）近似拟合公式方法近似拟合公式方法)cos(cossinsin2),/(210 xexnFonnnnnn例例 题题4.厚度厚度2=10cm的大型板状灰铸件具有均匀一致的初始的大型板状灰铸件具有均匀一致的初始 温度温度 t0=20，突然放置到，突然放置到 t=800 的煤气加热炉中的煤气加热炉中 双面均匀受热。若铸件的表面传热系数双面均匀受热。若铸件的表面传热系数h=180W/m.K。问把表面和中心面加热到问把表面
22、和中心面加热到650分别需要多长时间。分别需要多长时间。3.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 3.4.1 三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解 问题：有一个半无限大物体，热物性为常数，问题：有一个半无限大物体，热物性为常数，无内热源，初始温度无内热源，初始温度t0，=0 时刻时刻 x=0 的的 侧面突然受到热扰动，侧面突然受到热扰动，ttwx0t0 半无限大物体：从半无限大物体：从x=0的界面开始的界面开始 可以向正向，上下方向无限延伸，可以向正向，上下方向无限延伸，而在每一个与而在每一个与x坐标垂直的截面坐标垂直的截面 上物体的
23、温度都相等。上物体的温度都相等。导热微分方程和定解条件：导热微分方程和定解条件：)0(22xxtat0),(0.txtCI0.xCB分别对应三种边界条件之一分别对应三种边界条件之一 侧面受到热扰动的三种边界条件：侧面受到热扰动的三种边界条件：表面温度突变到表面温度突变到 tw，并保持恒定（第一类）；，并保持恒定（第一类）；受到恒定的热流密度加热（第二类）；受到恒定的热流密度加热（第二类）；与温度为与温度为 t 的流体进行热交换（第三类）。的流体进行热交换（第三类）。第三类边界条件：第三类边界条件：)2()exp()2(),(220ahaxerfcahhxaxerftttxtw其中：其中：为误差
24、函数：为误差函数：)2(axerf)2(1)2(axerfaxerfc为余误差函数。为余误差函数。温度场的分析解温度场的分析解：第一类边界条件：第一类边界条件：)2(),(0axerftttxtww 第二类边界条件：第二类边界条件：)2()4exp(2),(0200axerfcxqaxaqtxt 3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解 一维非稳态导热温度分布：一维非稳态导热温度分布：),(),(00 xFoBifttttx 多维非稳态导热温度分布：多维非稳态导热温度分布：数值计算方法；数值计算方法；特殊几何形状物体简易求解。特殊几何形状物体简易求解。几种简单几何形状物体的非稳态导热问题几种简单几何形状物体的非稳态导热问题的分析解，可以用几个相应的一维非稳态导热的分析解，可以用几个相应的一维非稳态导热分析解相乘得出。分析解相乘得出。说明说明 3.5.1 获得无量纲温度场的乘积解法获得无量纲温度场的乘积解法 无限长方柱：无限长方柱：000),(),(),(yxyx 短圆柱：短圆柱：000),(),(),(rxrx 垂直六面体：垂直六面体：0000),(),(),(),(zyxzyx
