1、1第二节第二节 离散信号的频域分析离散信号的频域分析v离散周期信号的频谱分析（离散周期信号的频谱分析（DFSDFS）v离散非周期信号的频谱分析（离散非周期信号的频谱分析（DTFTDTFT）v离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFTDFT）v快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（FFTFFT）2v离散傅里叶级数离散傅里叶级数 v离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质31、离散傅里叶级数变换离散傅里叶级数变换v连续周期信号的傅立叶级数连续周期信号的傅立叶级数v从连续周期信号的傅立叶级数（从连续周期信号的傅立叶级数（CFS）到离）到离散周期信号的傅立叶级数（散周期信号的傅立叶级数（DFS）4（1 1）连续
2、周期信号的傅立叶级数）连续周期信号的傅立叶级数00()()jktkx tX ke000001()()TjktX kx t edtTT0：信号的周期：信号的周期 0：信号的基波角频率：信号的基波角频率:5（2 2）从）从CFSCFS到到DFSDFS 000()(2)jnjnNjkneee00()()jk tkx tX ke连续周期信号连续周期信号x(t)离散化离散化t=nT00()()jknkx nX ke0002TTT 22TNTNT：采样周期：采样周期T0=NT（连续信号周期（连续信号周期T0对应对应N个采样点）个采样点）0100()()Njknkx nX keDFS0：离散域的基本频率：离
3、散域的基本频率k0：k次谐波的数字频率次谐波的数字频率离散域谐波分量数：离散域谐波分量数：k=2/0=NX(n)为周期信号为周期信号6v离散傅立叶级数系数离散傅立叶级数系数000001()()TjktX kx t edtT002TN T0=NTdtT0100NTn21021()()NjknTNTnX kx nT eTNTNT01001()()NjknnX kx n eNDFS系数系数00()()X kNX k周期性周期性7DFS:0100()()Njknkx nX ke01001()()NjknnX kx n eN令令 ，DFS可记为可记为2jNNwe2110011()()()NNNNNjnk
4、nkNNNNnnXkxn exn w21100()()()NNjknnkNNNNNkkxnXk eXk w8001,1,1NmNNNNNWWWW2222()1,1NNNNjmNjNNWeeW v正交性正交性v周期性周期性v对称性对称性v可约性可约性2jNNwe11*()001,11()0,NNnkmkn m kNNNkknmlNWWWnmlNNN/rnnrnnNN rrNNWWWWr mNrNNWW2NrrNNWW 9例例1：已知正弦序列：已知正弦序列x(n)=cos0n，分别求出当，分别求出当0 和和0/3/3时，傅立叶级数表示式时，傅立叶级数表示式及相应的频谱。及相应的频谱。222v解：连
5、续正弦信号离散化后所形成的正弦序列只有在满解：连续正弦信号离散化后所形成的正弦序列只有在满足足0/2/2 m/N=m/N=有理数时为周期正弦序列有理数时为周期正弦序列v0 时，时，0/2/2 无理数，该序列为非周期序列，不能无理数，该序列为非周期序列，不能展开为展开为DFSDFS，其频谱仅有，其频谱仅有 0 ，不含其他谐波分量。，不含其他谐波分量。v0/3/3时，时，0/2/2 1/6=1/6=有理数，为周期序列有理数，为周期序列vN=6,N=6,因此因此226621()coscos362jnjnx nnnee00()1/21,5()00,2,3,4X kkX kk 如果如果x(n)是从连续周
6、期信号是从连续周期信号x(t)采样得来，那么采样得来，那么x(n)的频谱是的频谱是否等效于否等效于x(t)的频谱的频谱？1011()6cosx tt T=0.25秒()2cos64sin10 x tttN=8N=16 可以看作是 的近似式，近似程度与采样周期T的选取有关120()X k0()X k在满足采样定理条件下，从一个连续时间、频带有限的周期信号得到的周期序列，其频谱在 或 范围内等于原始信号的离散频谱在不满足采样定理条件下，由于 出现频谱混叠，这时就不能用 准确地表示0()X k0()X k0()X k|(/2)sff 132、DFS的性质的性质v线性性质线性性质v周期卷积定理周期卷积
7、定理 v复共轭复共轭 v位移性质位移性质 v帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理 141线性性质v设v则()()()()DFSDFSNNNNxnXkynYk ，()()()()DFSNNNNaxnbynaXkbYk 152、周期卷积定理周期卷积定理 v设v则()()()()DFSDFSNNNNxnXkhnHk ，()Nxn*()()()DFSNNNhnXk Hk 1()()()DFSNNNNxn hnXk*()NHkv“”为周期卷积的符号，两序列的周期卷积定义为：*()Nxn*()Nhn()Nhn*()Nxn10()()NNNkxk hnk163、复共轭复共轭 v设v则()()DFSNNxnXk*()()
8、DFSNNxnXk 174、位移性质 v若v则()()DFSNNxnXk()()DFSmkNNNxnmwXk 185、帕斯瓦尔定理v设v则()()()()DFSDFSNNNNxnXkhnHk ，11*001()()()()NNNNNNnkxn hnXk HkN19例例2：已知一周期序列已知一周期序列x(n)，周期，周期N=6,如下图如下图所示，求该序列的频谱及时域表示式。所示，求该序列的频谱及时域表示式。-5 -1 0 1 51nx(n)20v解解：根据DFS的定义式求周期序列的频谱：02215660011()()(0)(1)(5)61212cos()66NjkjkjknnX kx n exx
9、exeNk00000(0)1/2,()1/3,(2)0(3)1/6,(4)0,(5)1/3XXXXXX 2560022253666()()11112336121c o sc o s2336jknkjnjnjnxnXkeeeenn21二、非周期离散信号的频谱分析二、非周期离散信号的频谱分析（DTFT)DTFT)vDFSv离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换DTFTvDFS、DTFT与与CFT之间的关系之间的关系vDTFT的性质的性质v信号的频谱特点信号的频谱特点221 1、DFSDFS0100()()Njknkx nX ke001/200/211()()()NNjknjknnnNX kx n e
10、x n eNN 如果周期序列如果周期序列x(n)的周期的周期N趋于趋于，则其频谱，则其频谱X(kX(k0 0)将如何变化？将如何变化？周期为周期为N周期为周期为N232、离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换DTFTv非周期序列可看作为周期序列的周期非周期序列可看作为周期序列的周期N的极限情况的极限情况00()()limjknNnN X kx n ev极限情况下各谐波分量的复振幅极限情况下各谐波分量的复振幅X(k0)000,(2/),NNdkT ()()j njnx n eX e 10()()()Njj nnX ex n eX N为有限长序列为有限长序列频谱密度频谱密度24思思 考考vX()10
11、()()()Njj nnX ex n eX 250110001()lim()lim()NNjknj nNNkkx nX keXeNDTFT反变换反变换0100()()Njknkx nX ke120001limlim,22NNNkdN 201()()2j nx nXedDFS：NIDTFT26DTFT:10()()()Njj nnX ex n eX 201()()2j nx nXed27例例3：求有限长序列：求有限长序列x(n)的频谱的频谱0()122othersx nnsin(21/2)()sin(/2)X解：解：22sin(21/2)()sin(/2)jnnXe 0()0()()0XX 频谱
12、为连频谱为连续的续的28例例4：已知一周期连续频谱如图所示，：已知一周期连续频谱如图所示，求其相应的序列求其相应的序列 m 0 m 0 m X()129v解：由解：由DTFT定义式可知定义式可知2011()()22sin0mmj nj nmmmx nXedednnn v当n=0，则有1()2mmmx nd 303、DFS、DTFT与与CFT之间的关系之间的关系vDTFT与与DFS：DTFT是是DFS当当N时情况时情况共同点：在时域时间是离散的，在频域频谱都是周期的。不同点：周期序列的频谱是离散的，具有谐波性，X（k0）是谐波的复振幅，宜于计算机计算；非周期序列的频谱是连续的，不具有谐波性，X（
13、）表示的是频谱密度，不利于计算机计算分析。vDTFTDTFT与与CFTCFT：共同点：在时域波形均为非周期，频域均为频谱密度函数，为连续频谱。不同点：X（）是周期性的，X（）为非周期的31v采样频率：必须满足采样定理，否则容易引起。v采样信号的截断长度：必须取信号的一个基本周期或基本周期的整数倍长度，否则容易引起。由于截取信号长度不当，从原来比较集由于截取信号长度不当，从原来比较集中的谱线，出现了分散的扩展谱线中的谱线，出现了分散的扩展谱线324、DTFT的性质的性质()()ax nby n()()aXbY 0()x nn0()j neX()xn()X 0()jnex n0()X()()x n
14、y n()()XY()x n()X()nx n()dXjd()()x n y n1()()2XYd 线性线性位移位移时间反向时间反向调制调制卷积卷积共轭共轭微分微分乘积乘积33例例5：假设假设y(n)满足零初始条件且满足零初始条件且x(n)=(n)，求解下式线性常差分方程。求解下式线性常差分方程。v解解：首先取差分方程中每项的DTFT：v因为x(n)的DTFT是X()=1()0.25(1)()(2)y ny nx nx n2()0.25()()()jjYeYXeX 2211()10.2510.2510.25jjjjjeeYeee v利用DTFT对1(0.25)()10.25nDTFTju ne
15、 v利用线性和移位性质求得 2()(0.25)()(0.25)(2)nny nu nu n345 5、信号的频谱特征、信号的频谱特征v连续时间信号的频谱是非周期的连续时间信号的频谱是非周期的v离散时间信号的频谱是周期的离散时间信号的频谱是周期的v周期信号具有离散频谱周期信号具有离散频谱v非周期信号具有连续频谱非周期信号具有连续频谱35傅立叶变换的离散性和周期性傅立叶变换的离散性和周期性时域周期性时域周期性频域离散性频域离散性时域离散性时域离散性频域周期性频域周期性时域非周期时域非周期频域连续性频域连续性 时域连续性时域连续性频域非周期频域非周期课后作业课后作业v 作业：作业：P188 v6，11v24，25（MATLAB）v预习：预习：DFT、FFTv实验实验1：信号的采样与恢复：信号的采样与恢复
