1、ThemeGallery PowerTemplate国家国家“十二五十二五”规划教材规划教材信号与系统信号与系统 重点重点难点难点卷积积分的性质 卷积积分的性质 2-9 卷积积分的性质卷积积分的性质卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分卷积积分 具有一些重具有一些重要的性质。其中最常用的性质有如下要的性质。其中最常用的性质有如下3个：个：()()()()()y tx th txh td交换律交换律结合律结合律分配律分配律2-9-1 交换律交换律交换律交换律 将式（将式（2-8-10）定义的卷积积分作）定义的卷积积分作 的变量的变量代换，有代换，有 ，且，且 。代入式（。代入式（2-8-10）可
2、）可得得t t dd()()()()()()()()()()y tx th txh tdx tv h vdvx tv h v dv 如果用变量如果用变量 替换上式积分中的替换上式积分中的 ，则可以得到卷，则可以得到卷积积分的另一种表示形式：积积分的另一种表示形式：（2-9-1）()()()()()y txh tdx thd2-9-1 交换律交换律 可以看出卷积积分关于输入信号和系统的单位冲激响可以看出卷积积分关于输入信号和系统的单位冲激响应是对称的，这种对称性说明卷积积分满足交换律，即应是对称的，这种对称性说明卷积积分满足交换律，即（2-9-2）()()()()()y tx th th tx
3、t 卷积积分的对称性可以用图卷积积分的对称性可以用图2-9-1予以说明，其中予以说明，其中LTI系统用方框内嵌入单位冲激响应系统用方框内嵌入单位冲激响应 表示。根据式（表示。根据式（2-9-2），图），图2-9-1中两个系统的输出是相同的。中两个系统的输出是相同的。()h t图图2-9-1 卷积积分的对称性卷积积分的对称性2-9-2 结合律结合律结合律结合律 上式的证明只需要改变积分顺序并进行变量代换。结上式的证明只需要改变积分顺序并进行变量代换。结合律可用图合律可用图2-9-2给出的系统级联关系予以说明。对于给出的系统级联关系予以说明。对于LTI级联系统而言，改变子系统的级联顺序对系统的单位
4、冲激级联系统而言，改变子系统的级联顺序对系统的单位冲激响应（输入响应（输入-输出特性）没有影响。输出特性）没有影响。结合律是指三个以上（含三个）函数的卷积积分与函数结合律是指三个以上（含三个）函数的卷积积分与函数的卷积顺序无关。比如的卷积顺序无关。比如（2-9-3）1212()()()()()()x th th tx th th t2-9-2 结合律结合律 容易证明，对于级联容易证明，对于级联M个子系统的组合系统，其组合个子系统的组合系统，其组合系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为图图2-9-2 结合律与系统的级联结合律与系统的级联（2-9-4）12()()()()Mh th th tht
5、2-9-3 分配律分配律分配律分配律 上式的证明利用式（上式的证明利用式（2-8-10）定义的卷积积分直接可）定义的卷积积分直接可以得到。以得到。分配律是指三个以上（含三个）函数的组合卷积运算满分配律是指三个以上（含三个）函数的组合卷积运算满足如下关系足如下关系（2-9-5）1212()()()()()()()x th th tx th tx th t分配律可用图分配律可用图2-9-3给出的系统并联关系予以说明。给出的系统并联关系予以说明。图图2-9-3 分配律与系统的并联分配律与系统的并联2-9-3 分配律分配律 综上所述，系统的单位冲激响应可以完全描述综上所述，系统的单位冲激响应可以完全描
6、述LTI系统系统的输入的输入-输出特性，而且利用卷积积分的交换律、结合律和输出特性，而且利用卷积积分的交换律、结合律和分配律还能够方便地确定分配律还能够方便地确定LTI组合系统的冲激响应。组合系统的冲激响应。对于对于LTI并联系统而言，并联并联系统而言，并联M个子系统的组合系统，个子系统的组合系统，其组合系统的单位冲激响应为各个子系统单位冲激响应之其组合系统的单位冲激响应为各个子系统单位冲激响应之和，即和，即（2-9-6）121()()()()()MMiih th th thth t2-9-3 分配律分配律例例2-9-1 试求图试求图2-9-4a)给出的组合系统的单位冲激响应。给出的组合系统的
7、单位冲激响应。图图2-9-42-9-3 分配律分配律结果图结果图2-9-4b)所示。在图所示。在图2-9-4b)中，子系统中，子系统 与与 是级联关系，因此该级联系统的单位冲激响应为是级联关系，因此该级联系统的单位冲激响应为解：解：确定组合系统的单位冲激响应，首先根据图确定组合系统的单位冲激响应，首先根据图2-9-4a)，求出并联子系统求出并联子系统 和和 的冲激响应为的冲激响应为12()()()ah th th t1()h t2()h t3123()()()()()()bah th th th th th t12()()()ah th th t3()h t2-9-3 分配律分配律结果如图结果
8、如图2-9-4c)所示。显然，并联子系统所示。显然，并联子系统 和和 的的单位冲激响应为单位冲激响应为()bh t4()h t41234()()()()()()()bh th th th th th th t结果如图结果如图2-9-4d)所示。所示。2-9-4 函数与卷积积分函数与卷积积分 若系统的激励为单位冲激信号，前面已经推导出卷积若系统的激励为单位冲激信号，前面已经推导出卷积积分的一个重要性质，即当积分的一个重要性质，即当 时，时，。又根据系统单位沖激响应的定义，系统的输出就是冲激又根据系统单位沖激响应的定义，系统的输出就是冲激响应响应 ：()t()t函数与卷积积分函数与卷积积分()()
9、x tt()()()y tth t()h t（2-9-7）()()()()y tth th t 这个性质显然与这个性质显然与 的形式无关。因此，任意函数的形式无关。因此，任意函数 与单位冲激函数卷积积分的结果仍然是函数与单位冲激函数卷积积分的结果仍然是函数 本身。利本身。利用系统的时不变特性，式（用系统的时不变特性，式（2-9-7）可进一步表示为）可进一步表示为()h t()f t()f t000()()()()y tttth th tt（2-9-8）2-9-4 函数与卷积积分函数与卷积积分（2-9-9）()t（2-9-10）如果针对任意函数如果针对任意函数 ，函数与函数与 的卷积积分为的卷积
10、积分为()f t()t()f t()()()tf tf t和和000()()()()()ttf tf tttf tt2-9-5 单位阶跃函数单位阶跃函数 与卷积积分与卷积积分()u t单位阶跃函数单位阶跃函数 与卷积积分与卷积积分()u t 前面已经提到，单位冲激响应前面已经提到，单位冲激响应 表征了一个表征了一个LTI系系统的时域特征。换言之，统的时域特征。换言之，完全描述了系统的输入完全描述了系统的输入-输输出特性。下面将证明，出特性。下面将证明，LTI系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应 可以可以由所谓的单位阶跃响应来求出。由所谓的单位阶跃响应来求出。()h t()h t()h t 根据
11、卷积积分的定义式（根据卷积积分的定义式（2-8-10），如果已知），如果已知 ，那么这个系统对于任何输入那么这个系统对于任何输入 作用下的系统响应作用下的系统响应 为为()h t()x t()y t()()()()()y tx th txh td2-9-5 单位阶跃函数单位阶跃函数 与卷积积分与卷积积分()u t 若设系统的输入信号若设系统的输入信号 为单位阶跃信号为单位阶跃信号 ，则系，则系统统 在作用下的响应就称之为单位阶跃响应，用在作用下的响应就称之为单位阶跃响应，用 表示。因此，系统的单位阶跃响应表示。因此，系统的单位阶跃响应 应为应为考虑到卷积的交换律，有考虑到卷积的交换律，有()x
12、 t()u t()u t()s t()s t()()()()()s tu th tuh td（2-9-11）()()()()()s tuh tdu thd（2-9-12）2-9-5 单位阶跃函数单位阶跃函数 与卷积积分与卷积积分()u t 由于由于 （或（或 ）时，）时，故式（，故式（2-9-12）显然又可以表示为）显然又可以表示为（2-9-13）0tt()0u t()()ts thd 由上式可以看出，系统的单位阶跃响应由上式可以看出，系统的单位阶跃响应 可以通可以通过对单位冲激响应过对单位冲激响应 的积分直接得到，或者由式（的积分直接得到，或者由式（2-9-13）也可直接看出系统的单位冲激响
13、应）也可直接看出系统的单位冲激响应 是其单位是其单位阶跃响应阶跃响应 的一阶导数，即的一阶导数，即()s t()h t()h t()s t（2-9-14）()()ds th tdt 因此，在连续时间情况下，一个系统的单位冲激响因此，在连续时间情况下，一个系统的单位冲激响应可以直接利用阶跃响应计算得到，所以单位阶跃响应应可以直接利用阶跃响应计算得到，所以单位阶跃响应也可以完全刻画系统的时域特性。也可以完全刻画系统的时域特性。例例2-9-2 设某系统地单位冲激响应如下，求系统的单设某系统地单位冲激响应如下，求系统的单位阶跃响应。位阶跃响应。3()()th teu t 解：解：注意这是一个因果系统。根据式（注意这是一个因果系统。根据式（2-9-13），系），系统的单位阶跃响应为统的单位阶跃响应为33301()()()(1)()33ttttttes thdeudeu t 该结果可以利用冲激响应和阶跃响应之间的关系该结果可以利用冲激响应和阶跃响应之间的关系式（式（2-9-16）来验证。根据式（）来验证。根据式（2-9-16），有），有333()11()(1)()()(3)()()33tttds th teteu teu tdt2-9-5 单位阶跃函数单位阶跃函数 与卷积积分与卷积积分()u t
