1、ThemeGallery PowerTemplate国家国家“十二五十二五”规划教材规划教材信号与系统信号与系统 重点重点系统概念与系统建模系统概念与系统建模典型系统实例典型系统实例1-2-1 系统的概念系统的概念系统：系统：根据其在时间域上的连续与否可以分为根据其在时间域上的连续与否可以分为连续时间系统连续时间系统或或离散离散时间系统时间系统。系统一般是一个或者多个组织、装置、处理器或者由计。系统一般是一个或者多个组织、装置、处理器或者由计算机实现的算法集成，具有一个或者多个输入算机实现的算法集成，具有一个或者多个输入/输出端口。输出端口。如果系统当前的输出取决于系统过去的输入，则系统定义为
2、如果系统当前的输出取决于系统过去的输入，则系统定义为动动态的态的；如果系统当前的输出只取决于系统当前的输入，则系统定义；如果系统当前的输出只取决于系统当前的输入，则系统定义为为静态的静态的。工程中通常使用高性能计算机（包括先进软件）仿真动。工程中通常使用高性能计算机（包括先进软件）仿真动态系统，进行全面的响应分析。态系统，进行全面的响应分析。系统的概念决不局限于物理现象或者过程，它可以延伸到更抽象的学科领域，系统的概念决不局限于物理现象或者过程，它可以延伸到更抽象的学科领域，如经济学、交通运输、人口增长、生物学等等。在本书中，我们主要讨论动如经济学、交通运输、人口增长、生物学等等。在本书中，我
3、们主要讨论动态系统。态系统。1-2-2 数学模型数学模型 数学模型：数学模型：分析及设计任何系统均需要在工程设计或构分析及设计任何系统均需要在工程设计或构建实际系统前仿真或者预测系统的性能指标。这种仿真建实际系统前仿真或者预测系统的性能指标。这种仿真及预测的过程必须基于系统动态特性的数学描述。及预测的过程必须基于系统动态特性的数学描述。系统系统的数学描述又称为系统的数学模型，获得数学模型的过的数学描述又称为系统的数学模型，获得数学模型的过程则称数学建模。程则称数学建模。对于连续时间系统，可以用微分方程建模；对于连续时间系统，可以用微分方程建模；对于离散时间系统，需用差分方程进行建模。对于离散时
4、间系统，需用差分方程进行建模。1-2-3 线性及非线性微分线性及非线性微分/差分方程差分方程线性微分方程线性微分方程可分为可分为线性时不变线性时不变（Linear Time Invariant，LTI）微分）微分方程和方程和线性时变微分方程线性时变微分方程。（1）在在 LTI微分方程中微分方程中，因变量及其各阶导数是以线性组合的形式，因变量及其各阶导数是以线性组合的形式出现且各项系数均为常系数。例如：出现且各项系数均为常系数。例如：22890d xdxxdtdt（2）对于线性时变微分方程）对于线性时变微分方程，它的因变量及其各阶导数虽然也是以线性组，它的因变量及其各阶导数虽然也是以线性组合的形
5、式出现，但方程中的系数或者项的系数可以包含自变量。例如：合的形式出现，但方程中的系数或者项的系数可以包含自变量。例如：22(1cos2)0d xt xdt注意：为保证系统线性，微分方程中不能够包含因变量及其导数的幂、其它函数或乘积。注意：为保证系统线性，微分方程中不能够包含因变量及其导数的幂、其它函数或乘积。1-2-3 线性及非线性微分线性及非线性微分/差分方程差分方程不满足线性的微分方程称作非线性微分方程。例如：不满足线性的微分方程称作非线性微分方程。例如：222(1)0d xdxxxdtdt232sind xdxxxtdtdt线性差分方程也分为线性差分方程也分为线性移位（时）不变差分方程线
6、性移位（时）不变差分方程和和线性时变差分方程。线性时变差分方程。例如，例如，n阶线性时不变（阶线性时不变（LTI）常系数差分方程的通式为：）常系数差分方程的通式为：00()()NMkkkka y nkb x nk1-2-4 动态系统的数学建模动态系统的数学建模1.1.数学建模：数学建模：利用一组数学方程对系统的主要动态特性进行描述利用一组数学方程对系统的主要动态特性进行描述。通过将合理的物理定。通过将合理的物理定律应用于某个具体的物理过程或者系统，就有可能获得描述该系统动力学行为律应用于某个具体的物理过程或者系统，就有可能获得描述该系统动力学行为的数学模型。这种模型允许包括未知的系统参数，只要
7、这些参数能够通过其它的数学模型。这种模型允许包括未知的系统参数，只要这些参数能够通过其它方法（例如测试）获得。方法（例如测试）获得。如果约束系统动态行为的物理规律不是完全确知的，则用数学公式就不能如果约束系统动态行为的物理规律不是完全确知的，则用数学公式就不能描述它的数学模型。此时，基于实验建模的系统辩识方法，对系统施加必要的描述它的数学模型。此时，基于实验建模的系统辩识方法，对系统施加必要的输入（激励），同时测量系统的输出，根据对实验及测试的输入输入（激励），同时测量系统的输出，根据对实验及测试的输入/输出数据的输出数据的分析推导，给出这个系统的数学模型。分析推导，给出这个系统的数学模型。2
8、.2.模型简化（降阶）与建模精度：模型简化（降阶）与建模精度：模型的简化和建模精度之间存在紧密的联系模型的简化和建模精度之间存在紧密的联系。在对系统模型进行简化的。在对系统模型进行简化的过程中，必须考虑哪些物理量及关系可以忽略，以及那些参量决定建模精度。过程中，必须考虑哪些物理量及关系可以忽略，以及那些参量决定建模精度。对于线性微分方程模型，则必须忽略可能存在于这个物理系统中的分布参数对于线性微分方程模型，则必须忽略可能存在于这个物理系统中的分布参数项及非线性项的影响。项及非线性项的影响。应用中应用中，通常是先构建一个对象或者过程的简单模型，以便获得关于问，通常是先构建一个对象或者过程的简单模
9、型，以便获得关于问题解决方案的路线或者线索。之后，则可以构建更完善的数学模型用于详细题解决方案的路线或者线索。之后，则可以构建更完善的数学模型用于详细的系统分析和设计。的系统分析和设计。需要注意需要注意，系统分析的结果仅在用模型近似或者逼近一，系统分析的结果仅在用模型近似或者逼近一个给定物理对象的某个工作区间才有效。个给定物理对象的某个工作区间才有效。1-2-4 动态系统的数学建模动态系统的数学建模1-2-4 动态系统的数学建模动态系统的数学建模3.3.数学模型的注释：数学模型的注释：任何模型都是真实物理对象或者物理过程的近似数学描述任何模型都是真实物理对象或者物理过程的近似数学描述，数学模型
10、，数学模型仅仅是系统的一个模型，而不是物理系统本身。所有数学模型都包含了仅仅是系统的一个模型，而不是物理系统本身。所有数学模型都包含了或多或少的近似和条件假设，理论上就没有任何一个数学模型能够确切或多或少的近似和条件假设，理论上就没有任何一个数学模型能够确切表示任何一个物理对象或者过程。表示任何一个物理对象或者过程。因此，数学建模过程中包含的这些近似和假设虽然导致了建模精度因此，数学建模过程中包含的这些近似和假设虽然导致了建模精度问题，但从另一个层面考虑，这些近似和假设同时又约束了模型适用的问题，但从另一个层面考虑，这些近似和假设同时又约束了模型适用的条件，自然也就明确了模型使用的范围。所以，
11、在进行系统分析及系统条件，自然也就明确了模型使用的范围。所以，在进行系统分析及系统仿真时，有关模型的任何近似和假设均需谨慎处理。仿真时，有关模型的任何近似和假设均需谨慎处理。1-2-4 动态系统的数学建模动态系统的数学建模4.4.建模过程：建模过程：1 1）绘出建模对象或者过程的框图，确定系统的变量及其关系；）绘出建模对象或者过程的框图，确定系统的变量及其关系；2 2）应用物理、化学等定律和规律，或者通过实验测试，对于框图中的各个）应用物理、化学等定律和规律，或者通过实验测试，对于框图中的各个（子框图或子系统）推导出微分（子框图或子系统）推导出微分/差分数学方程；差分数学方程；3 3）根据系统
12、框图中各个模块间的输入输出关系，即可获得整个系统的数学）根据系统框图中各个模块间的输入输出关系，即可获得整个系统的数学模型；模型；4 4）模型的有效性需要验证。这一步可以通过求解数学模型（一般是求解模）模型的有效性需要验证。这一步可以通过求解数学模型（一般是求解模型的输出或者响应），或者通过计算机仿真，与实验结果进行比较。型的输出或者响应），或者通过计算机仿真，与实验结果进行比较。5 5）如果数学解算或计算机仿真结果与实验结果相差太大，则提示系统的建）如果数学解算或计算机仿真结果与实验结果相差太大，则提示系统的建模精度太差。需要进行模型修正，导出新模型后重复模型有效性验证过程，模精度太差。需要
13、进行模型修正，导出新模型后重复模型有效性验证过程，直至达到希望的建模精度为止。直至达到希望的建模精度为止。1-2-5 LTI动态系统的分析与设计动态系统的分析与设计1.1.分析：分析：在特定条件下对已知数学模型的性能指标进行分析研究的过程在特定条件下对已知数学模型的性能指标进行分析研究的过程。动态系统分析的第一步都是导出系统的数学模型，由于任何物理对动态系统分析的第一步都是导出系统的数学模型，由于任何物理对象或者过程都是由元件或者组件构成，故分析就必须通过导出（或实验象或者过程都是由元件或者组件构成，故分析就必须通过导出（或实验测试）每个元（组）件的数学模型开始，并且综合所有组件模型以建立测试
14、）每个元（组）件的数学模型开始，并且综合所有组件模型以建立完整系统的数学模型。完整系统的数学模型。注意：注意：系统分析的方法与实际系统的具体形式（如机械系统、电气系统分析的方法与实际系统的具体形式（如机械系统、电气系统、生化系统、社会系统等等）无关。系统、生化系统、社会系统等等）无关。1-2-5 LTI动态系统的分析与设计动态系统的分析与设计2.2.设计：设计：系统设计系统设计是指寻求满足系统性能指标的过程。通常，系统设计过程是指寻求满足系统性能指标的过程。通常，系统设计过程不是总是前向的，而是一个反复试验、甚至试凑的过程。不是总是前向的，而是一个反复试验、甚至试凑的过程。3.3.综合：综合：
15、系统综合系统综合是指用确定的方法寻求一种以恰当方式实现系统特定功能或是指用确定的方法寻求一种以恰当方式实现系统特定功能或者任务的系统。这里首先需要假设系统具有的所预期的特性，之后应用各者任务的系统。这里首先需要假设系统具有的所预期的特性，之后应用各种数学方法综合出满足这些特性的系统。一般而言，系统综合的过程始终种数学方法综合出满足这些特性的系统。一般而言，系统综合的过程始终都是数学的或者是计算机仿真的过程。都是数学的或者是计算机仿真的过程。1-2-5 LTI动态系统的分析与设计动态系统的分析与设计4.4.设计过程：设计过程：首先首先，需要已知系统应满足的技术性能指标，以及系统各组件的动力学，需
16、要已知系统应满足的技术性能指标，以及系统各组件的动力学（输入输出）特性，设计参数等。（输入输出）特性，设计参数等。然后然后，一旦启动设计过程，设计及研发人员就必须运用任何可以运用的，一旦启动设计过程，设计及研发人员就必须运用任何可以运用的系统综合方法和技术，建立系统的数学模型。系统综合方法和技术，建立系统的数学模型。之后之后，进行系统的数学设计，并得到设计问题的数学解（解析解或者数，进行系统的数学设计，并得到设计问题的数学解（解析解或者数值解）。随着数学设计的完成，即可针对模型开始计算机仿真研究，以值解）。随着数学设计的完成，即可针对模型开始计算机仿真研究，以便实验或者测试系统对于各种输入及扰
17、动的响应特性。如果初始系统建便实验或者测试系统对于各种输入及扰动的响应特性。如果初始系统建模不能满足要求，则需重新设计或者修改系统，并进行相应分析。这一模不能满足要求，则需重新设计或者修改系统，并进行相应分析。这一设计和分析过程可能需要反复进行，直到满足系统设计指标为止。设计和分析过程可能需要反复进行，直到满足系统设计指标为止。最后最后，构建原型系统。，构建原型系统。注意注意，构建原型系统的过程是系统数学建模的反，构建原型系统的过程是系统数学建模的反过程。过程。1-2-6 典型系统实例典型系统实例 1 1.直流伺服电机系统直流伺服电机系统：直流伺服电机系统的电路模型如图1.2.1所示。1-2-
18、6 典型系统实例典型系统实例 2.2.ATM交换机交换机：现代计算机通信网络中传送数据包（数据包是现代计算机通信网络传送信息的最小数据单元，通常具有固定长度）的主要技术之一是所谓的异步传输模式（Asynchronous Transfer Mode，ATM）。ATM适用于局域网和广域网，它具有高速数据传输率和支持多种数据格式（如音频、传真、图像和视频）的特点。ATM交换机的描述需要用到离散时间序列模型。1-2-6 典型系统实例典型系统实例 2.2.ATM交换机交换机：在计算机网络，包括ATM交换机中传输的数据包存储于网络相关节点的缓存区中，假设数据包队列长度是 q(n)，数据包到达ATM交换机的到达率是y(n)，则存储数据和/或安排数据包路径的数学模型可以用差分方程描述如下:000(1)()(1)()(1)()()()ldjijiq nq ny ndf ny ny nq njqy ni 简化的ATM交换机的模型请读者参考书中相应章节。
