1、1原函数概念原函数概念(P220)FfFCFff 一个原函数全是 的是 的体原函数323232111)333xxxxxCx(是的一个原函数是的全例体原函数.简单说：2公式练习公式练习(1)0(2)xlnxaaxecosx221(9)seccosxx21(10)cscsinxxC 3xa 16x 7 cosx111x根据基本导数公式写出函数的原函数根据基本导数公式写出函数的原函数函数（导数）函数（导数）-原函数原函数(4)xe ln xtan x 8 sin xsin xtco x函数（导数）函数（导数）-原函数原函数3一个原函数任意常数积分号 被积函数 ()()(2()()(.fF xf xI
2、f xF xCx dxf x全体定义设函数是在区间上的一个原函数，则的称为的原函数不定积分1:.，记作),()(Fxf x即 若则dx)()f xF xC 积分变量22cos)()sinxxxx例:(不定积分的定义不定积分的定义(P220)22xdxCxcossindxxCx简单说：简单说：不定积分与导数互为逆运算。不定积分与导数互为逆运算。4性质性质(1)()()()();f x dxf xdf x dxf x dx或先积后导)(2)().()()()F x dxF xCdF xF xC或先导后积)记忆：记忆：先积后导等本身，先导后积差常数。先积后导等本身，先导后积差常数。5题型题型4.1
3、已知函数已知函数f(x)及其原函数及其原函数F(x)中的一个中的一个,求另一个求另一个.()()()()dxf xFxf xxCF知识要求知识要求1.会求函数的导数和不定积分会求函数的导数和不定积分;2.熟悉函数熟悉函数f(x)与它的原函数与它的原函数F(x)的关系，即的关系，即方法步骤方法步骤:1.()()()()()2.()()()f x dF xf xF xCF xfx F xfxCxF x已知函数求其原函数：可代一点坐标确定）已知原函数求其函数：6助记词助记词函数函数积出积出原函数，原函数，原函数原函数导出导出函数函数！()()f xF xC 积分求导71(),(1,2),.yF xx
4、x例 已知曲线在任一点 处的切线斜率为2 且曲线过点求此曲线的方程P221例例1解 22yF xFx dxxdxxC 2,2;.xkFxxF x曲线的切线斜率为即现在要求 1,21,2,1xy因为曲线过点,以代入式 可得C21,21.yx故所求过点的曲线方程为8P293例12()31,10,2yF xxx已知曲线在任一点 处的切线斜率为 且曲线过点 试求该例曲线的方程.231Fxx解 依题意 2331F xxdxxxC两边积分2.yxxC即曲线方程由确定30,2,0,22.xyyxxC又因曲线过点 将代入得C32yxx于是所求曲线方程为 9223;2,qq例经过调查发现,某产品的边际成本函数为
5、其中 是产量.已知生产的固定成本为求生产成本函数.P222例例2 23C qq,C q设所求生产成本函数为解2323qqCq又 2233C qqdqqqCC是积分常数 0022;CC代入可得即C02,02,q 由固定成本为 即，C 2,32C qqq因此 生产成本函数为10历届试题历届试题（0601，3分）（0701，3分）（070，3分）11(1)dx(2)xx d(3)1xdx(4)xa dx;(0ln1)xCaaaa且(5)xe dx;xeCxC11(1);Cx ln|xC基本积分公式基本积分公式1221cos(8)xdx 2sec xdx tan;xC21sin(9)xdx 2csc
6、xdx;cotCxsin(6)xdx;cosCxcos(7)xdx sin;xC13 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf（注:此性质可推广到有限多个函数之和）(2)()kf x dx.)(dxxfk不定积分运算法则不定积分运算法则(P226)14 题型题型4.2 直接积分法直接积分法（P226）1、函数变形（函数变形（化和差、化幂指、化分式、化三角）;2、积分运算法则、积分运算法则(3条条)；3、积分基本公式、积分基本公式(9条条)。知识要求知识要求函数变形函数变形-法则拆项法则拆项-公式计算公式计算方法步骤方法步骤关键：关键：函数变形函数变形.15助记词助记词直接积分好简单
7、，直接积分好简单，函数变形最常见函数变形最常见，先用法则后公式！先用法则后公式！16函数的代数变形函数的代数变形1.化为代数和形式化为代数和形式,如如:211,xxxx2111xxx2224232333111 2xxxx 2.化为幂化为幂(x)指指(ax)形式形式,如如:3.把有理假分式函数化为整式与真分式之和把有理假分式函数化为整式与真分式之和,如如:2 1132326,xxxx1131722224()()x x xx x xx xx235,xxxa aa236()xxee17 232321:211;2sin;31;432.xxxxdxx dxxxxdxedx例求下列不定积分P226例例1
8、2233212xxxx化幂解 232x dxx dx法则32113xCx公式2dxdx1811sindxdxxdxx 法 则11(2)sin1sinxxxxx化和dxlncosxxxC公式1/3/6dx 2423233311 2xxx化和化幂243312dxx dxx dx法则57336357xxxC公式1/2dxdx1932xxe dxedx 法 则dx 43232xxxxeee化和231 ln2xxxeeC23ln 2xxeeCe式4/3dx20凑微分法凑微分法（第一换元法）（P227）3:()ddxx例23x2xduu dx求微分()()xu xdxdxdu凑微分2x:2()()dxdx
9、d例dudux 求微分凑微分规律()dxx复习：()().xu x把一个函数写成另一个函数的导数,即难点:21(1)1u dx(2)uu dx(3)1uxud(4)udxau;lnuaaC(5)udxeu;ueCuC11(1);Cu ln|uC基本积分公式基本积分公式与与凑微分积分公式凑微分积分公式(1)1dx(2)xx d(3)1xdx(4)xa dx(5)xe dx 11xCln|xClnxaaC;xeCxC求导求导2221co8s()uudxtan;uC21si9n()uudx;cotCu注：这组公式与基本积分公式有什么不同？sin(6)xu u d;cosCucos(7)xu u ds
10、in;uC21cos(8)xdx21sin(9)xdxsin(6)xdxcos(7)xdx;cosCxsin;xCtan xCcotCx231,ln,sin,cos.xxxxxaexxxu常见函数u的8种形式12111,ln,cos,sin.2xxxaa exxxxxu24题型题型4.3 凑微分积分法凑微分积分法 (_();()()(uuf ug xfg x dxdxdfu xfu u xxF xf ug xuf ug xfCuu公式）:化被积函1.选 确定函数）常数2.由）数其中有对应的积分公式选）公,:式知识要求知识要求方法步骤方法步骤1.凑微分凑微分:把一个函数写成另一个函数的导数：把一
11、个函数写成另一个函数的导数：g(x)dx=u(x)dx2.熟记：凑微分积分公式熟记：凑微分积分公式(9条条).25助记词助记词函数写成积形式，函数写成积形式，一个用来一个用来选公式，选公式，一个用来一个用来凑微分凑微分u！26 4223:11;21;311sin3;41.xxdxeedxxxdxxx dxx例求下列不定积分P229例3231;1;1;xxexx(1)_=()(2)_=(1+)(3)_=()(4)_预_备练习_=()32xxe21x27?,?1311uuxdx函 数?公 式?解13ln|u dxuCu公式 4?,?21uuxxxeed函数?公式?111uCuudx公 式 2131
12、133dxx31,3131 3131uxudxxx 公式31ln 313xc公式3 411xxedxe51,115xxxueueec 公式228 2sin13xxdx 241x dxx211,1sin1uuxxxdxx 公式71coscx公式7 21221,221112uxuxxdxx 公式2322113xc公式2111uCuudx公 式 2sincosu duuxC 公 式 729补充例补充例1 12(1)xdx求dxdx11u dxuuC公式 211xxxd3213xxxC公式1,22(1)xdx解 法 二31(1)3xC22(1)(21)xxx化 和解 法 一,11u xu 凑微分30s
13、in2.xdx求sin2xxd解2,21sin(2)22ux uxxxd 凑微分71cos22xC 公式sincosu duuxC 公式7补充补充例例23123xedx求23xdex 解323223xxedx2332xeC公式522,33ux u凑微分5uuu deeCx 公式补充补充例例332sin,0tdt 求为常数,sin()tdt解1cos()tC sin()1tttd,utu凑微分补充补充例例43322xxe dx求2xeC22xexxd解22()xxed x2,2u xux凑微分5uuu deeCx 公式补充补充例例5341xxedxe求1xxdxee解(1)xlneC111xxx
14、eed1,xxeeuu 凑微分13ln|u dxuCu公式补充补充例例635cotxdx求1(sin)sinxxxdcoscotsinxdxxxxd解1 sinnxC补充补充例例736思考：思考：分析例1-例7的解答，总结出适合什么条件的被积函数才能利用凑微凑微分法分法计算？()()()()(),()()()()()();2.g x dxg xf u xu xf uudxdxuudxCdg xf uuf xF xf u uFCux基本公式凑微分公式1.函数特中的可以写成的形式,简记为即,征:有(函数公式用:中有可和思考题答案37231xdxx求13222311xdxxxxdx化 幂解:1321
15、213xC 公式23213xC 31321113xxdx凑微分（）补充补充例例8 38作业题作业题4.4统管作业2(P7)一、3二、2三、1（4）、（5）、（6）39历届试题（0601，3分）（0807，10分）40题型题型4.6 分部积分法（关键是分清类型选分部积分法（关键是分清类型选u)知识要求知识要求(;f x dxuvudxvdu v x1.一条积分公式:）=2.熟记:四种函数类型:指数 多项式;三角 多项式;代数 对数分清:;指数 正余弦.方法步骤方法步骤 ():;()(,:)u xuvg xg x dxv xv x1.选分清类型背口诀,函数写成指多选多 三多选多,代对选对,口指弦任
16、选;2.利用公式诀写的方法:计算积分:()()g vuu x g x dxuvdxuvuvdx类型公式选写41()xxdxdeexxx指 多 选 多);分部积分的几种类型分部积分的几种类型sin(cos)();dxdxxxxx三多选多21()lnl n)2(xxxdxxdx代对选对sisin(cos)()sin().nxxxxdxdxdxxxeeex xexd指弦任选或(1)uv=指数函数v多项式函数u,例如:()uv=三角函数v多项式函数u,例如:()uv=代数函数v对数函数u,例如:(4)uv=指数函数正余弦函数,例如:42助记词助记词分清类型背口诀，分清类型背口诀，函数写成函数写成uvu
17、v，积分变成新积分。积分变成新积分。43 215;2.xxxe dxx e dx用分部积分法下列积分例求:P231例5 多项式 指数函数?,?uv指多选多xx edxxxxex e dx公式1xxxee dx(1),xxeuv这里关键是把写成公式中的形式解xxxe d1xxxxeecxec4422xx e d x2?,?xuvxedx指多选多 2222xxxxx exe dxx exe dx22?,?22xxxxxuvx ex edxx exex e dx再一次22xxxx exee dx22222xxxxx exeecxxec45 1ln6;2ln;3sin;4cos.xxxdxxdxxxd
18、xexdx求下列不定积分:例P230例6 ln1xxdx解 2l1()2n xxdx代对选对22()lnl1122n()xxxdxx公式2221111lnln2224xxxdxxxxc46sin(3)xxdxln()xx dx代对选对1lnlnxxxdx xxxcx 2ln xdx(cos)x dxx三多选多(scosco)xdxxxxcossinxxxc 47(4)cosxxexdsinxxxed指弦任选cossincos2xxeexdxxxC移项得sincos(cos)sincoscos2xxxxxxexexex dxexexexdxC sinsinsincosxxxxxxdeeeexxx
19、 dx48作业题4.6统管作业2（P7）二、3三、1（7）、（8）49历届试题历届试题12.计算2xcosxdx（0801，10分）50不定积分小结不定积分小结()()()f x dxF xCf x是一簇函数,它的图形称为的积分曲线,是一簇互相平3.几何意义:行的曲线.()()()()()()()(1.()()()F xf xF xf xF xCf xFf xCF xCf xCdxfxCxFx是的是的是任意常数概念:一个原函数;全体原函数不定积是的是任意常领会与的数分关系!)(1)()()()()(2)()()()(2.)f x dxf xdf x dxf x dxF x dxF xCdF x
20、F xC性质先积后导或:或先导后积4.(P22基本积分公式3共9条)(1)()()()()(2)().)5(f xg x dxf x dxg x dxkf x dx kf x dx运算法则517.凑微分积分法(关键是确定积分函数并写出微分udx)8.分步积分法(关键是判别积分类型背口诀，一条公式四种类型)6.直接积分法(关键把函数变形后应用基本公式或运算法则)常见三种积分法的比较常见三种积分法的比较22221()2xxxxxxxxxxxe dxeCedxedxeCxdxxdxxex e dxxexxeCee直接积分法凑微分法分部积分法第一组522222cossin1coscossin2sins
21、1()2cinsincosossinxdxxCx dxxdxxCxdxxdxxxxxxxxxdxxxxC直接积分法凑微分法分组第二部积分法2221ln|ln1lnln2ln111111lnln1lnlnlndxxCxxdxxdxxCxdxxdxxdxxx dxxCxxxxxxxxxx 直接积分法凑微分法分第部三组积分法53二、二、定积分定积分1.1.定积分的定义；定积分的定义；2.2.定积分的性质；定积分的性质；3.3.牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式;4.4.定积分的计算方法定积分的计算方法;5.5.无穷积分无穷积分.54 01im().l=bniiiaf x dxfx极限存在定积分的定义
22、（定积分的定义（P263P263）简单说：简单说：定积分是一个和式的极限，定积分是一个和式的极限，其结果是一个数值。其结果是一个数值。551.()0aaf x dx 2.()()baabf x dxf x dx 3.()()bbaakf x dxkfkx dx（为常数）5.()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx4.()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx定积分的性质（定积分的性质（P267）56牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（P264）()=()()()()()|()()bbaaf xF xf x dxF xCf x dx F xF bF
23、a57题型题型5.1 5.1 求变上限积分的导数求变上限积分的导数 ;xuaaf t dtf xf t dtf u u或公式知识要求知识要求方法步骤方法步骤求导结果等于被积函数的自变量换成变上限，如求导结果等于被积函数的自变量换成变上限，如果变上限不是果变上限不是x而是而是u(x),则作复合函数求导。则作复合函数求导。注意：注意：变下限变下限积分由积分积分由积分 性质化为性质化为变上限变上限积分。积分。58P267P267例例3 3440sin)sinxxdxx由公式得(解40sinxxdx求变上限积分的导数40sin)?xdx思题3(考240(sin)?xxdx思考题204sin1?xdxd
24、xdx思考题59题型题型5.2 定积分的直接积分法定积分的直接积分法知识要求知识要求方法步骤方法步骤1.不定积分公式不定积分公式(9条条)及方法及方法;2.定积分性质定积分性质(5条条);3.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.1.由不定积分写出原函数并标出上、下限由不定积分写出原函数并标出上、下限;2.分别代入上、下限分别代入上、下限,计算两个函数值的差计算两个函数值的差.60助记词：助记词：积出原函数，积出原函数，代入上下限。代入上下限。61231(1);x dx计算定积分P266例例2（1）3x dx分析2414xC不定积分基本公式3414x dxx解:21|4421115()441262
25、例例4 计算下列定积分计算下列定积分:222101;31.xx dxxdxP268例例4（1）（）（3）解 22211221121dxdxxdxxxx32232111233xx724 252 21333333332212(21)(21)3363必须把被积函数的绝对值符号去掉220011111xdxx dxxdx22120122xxxx31(0)(0)1221211|1|?|:1|?x dxxdx如果把积分改为或思考20(3)1xdx 1,11,111(),xxxxf xxxf x这里称为的零点 而且012;64历届试题历届试题（0807，3分）65题型题型5.3 定积分的凑微分法定积分的凑微分
26、法知识要求知识要求方法步骤方法步骤1.不定积分的凑微分法不定积分的凑微分法;2.定积分性质定积分性质(5条条);3.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.1.用凑微分法求出原函数并标出上、下限用凑微分法求出原函数并标出上、下限;2.分别代入上、下限分别代入上、下限,计算两个函数值的差计算两个函数值的差.66助记词：助记词：积出原函数，积出原函数，代入上下限。代入上下限。67220sincosxxdx计算P269P269例例1 1解223:1sinsinsicossin3nxdxxxxdxxc分析由不定积分的凑微分法可知220cossin xdxx220sinsinxxxd32011sin|33x(
27、:sin1,sin00)2注意68P270例例2解:212tedt（-2t）212te C2()110211()(1)22eee 120|2(1)tedt凑微分法120012 12222001;21.xxedxdxx计算定积分69解220(2)1dxxx220211112xdxx2201ln 12x11ln5ln1ln52270 2192110:ln11;2.;31exxxdxdxdxxx计算下列定积分P271P271例例3 3 21911x dx解10 2111|10 x 11(1 0)1010 21911xxdx71 1ln2exxdx2111ln22ex12102121x12102211
28、21dxxx 21031dxxx1nlnlexxdx722ln201xxeedx1.求练习练习520cossinxxdx2.计算732ln201xxeedx1.求 22ln2ln2003ln2033ln203301111131 113119 12133xxxxxeedxeedteeee解 练习答案练习答案74520cossinxxdx2.计算552200 cossincos(cos)xxdxxx dx 解61cos61206x75作业题作业题5.3统管作业统管作业2（P7）三、2（2）、（3）76历届试题历届试题（0607，3分）（0607，9分）（0701，10分）77奇偶函数在对称区间上的
29、定积分（重要结论）奇偶函数在对称区间上的定积分（重要结论）0(),()()2()aaaf x dxf x df xa af xx若在上连续，则当为偶函数时公式1(0()aaf xxxfd当为奇函数时公式278助记词：助记词：奇函数对称区间的定积分奇函数对称区间的定积分为为0 0！79题型题型5.4 求求奇偶函数的定积分（奇偶函数的定积分（P298P298）1.观察积分区间(上下限)是否为(-a,a);2考察函数是否为;3利用以上结论计算定积分或对称区直接写间奇出或偶函数结果0.方法步骤方法步骤知识要求知识要求0(),0()()2()()aaaf xa bf xf x dxf x dxf x设在
30、上连续,则当是函数时当是函时奇数偶80例例1213222212sin1(cossin1)xxdxxx dxxxxxdx利用函数的奇偶性求下列定积分的值(1)(2)(3)解 223()sin0f xxxdx是奇函数(1)()22210f xxx dx是奇函数(2)11(cos1)xxdx(3)1111cosxxdxdx022（奇函数）81例例2222322sincossincosxxdxxxdx1.求2.求2223222002()sincos22sincos2sin(sin)sin|.3:3f xxxxxdxxx dxx因为是解偶函数,所以3322()sincossincos0:f xxxxxd
31、x因为是奇函数,所以解82历届试题历届试题（0607，3分）（0701，3分）（0807，3分）83.3定理2定积分的分部积分法（定积分的分部积分法（P272P272）()(),u x v xa buxv x设函数在区间上有连续定积分分部导数则有积分公式bbbaaauvdxuvu vdx84题型题型5.5定积分的定积分的分部积分法分部积分法知识要求知识要求方法步骤方法步骤1.不定积分的不定积分的分部积分法（一条公式四种类型）分部积分法（一条公式四种类型）;2.定积分性质定积分性质(5条条);3.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.1.用不定积分的分部积分法求出原函数用不定积分的分部积分法求出原函
32、数 并标出上、下限并标出上、下限;2.分别代入上、下限分别代入上、下限,计算两个函数值的差计算两个函数值的差.85助记词：助记词：积出原函数，积出原函数，代入上下限。代入上下限。860cosxdxx0sinxxdx分部积分法三多选多00sinsin|xxxdx00cos|xcoso 0c sP266例例2（3）0cos;xxdx计算定积分:解:-1-1=28721ln.exxdx计 算 定 积 分P275例521lnedxxx解311()3lnexxdx代对选对321111ln33eexxx dx33111(0)39eex3331121(1)3999eee(ln1,ln10)e 88作业题作业
33、题5.5统管作业统管作业2（P7）三、2（4）、（5）、（6）89历届试题历届试题（0707，3分）90无穷积分的三种情形无穷积分的三种情形:lim1.bbaaf x dxf x dx lim2.bbaaf x dxf x dx 3.aaf x dxf x dxf x dx aF xFF a bF xF bF F xFF 91题型题型5.6计算无穷积分计算无穷积分知识要求知识要求方法步骤方法步骤1.求极限的方法求极限的方法;2.计算定积分的计算定积分的方法方法.1.计算定积分计算定积分;2.求定积分结果的极限求定积分结果的极限.92计算下列广义积分:P275例例1 31111111;2;3.d
34、xdxdxxxx 1133lim11bbdxxdxx211lim2bbx21111lim02222bb1.2即广义积分收敛,其值为解93 11lim112bbdxdxxx1lim ln|bbxlim lnln1bb.即广义积分发散1lim 2lim 22bbbxb.即广义积分发散1112limm1libbbbdxxxdx 131dxx9420.xedx计 算 广 义 积 分P275例例202xedx02limbbxedx20122limbxbedxx 201lim2bxbe 2111lim122bbe 解95例例(重要结论)101()1padxppxa无当时收敛，当时发记住分散穷此结果积321
35、11111dxdxdxxx xx例如和都发散，而收敛。96历届试题历届试题（0707，3分）3.下列无穷积分中收敛的是().231111111.xAe dxBdxCdxDdxxxx（0801，3分）97三、三、积分应用积分应用1.1.已知边际函数求原函数已知边际函数求原函数;2.2.已知边际函数求原函数的增量已知边际函数求原函数的增量;3.3.已知边际函数求原函数的最大最小值已知边际函数求原函数的最大最小值;4.4.解可分离变量的微分方程解可分离变量的微分方程;5.5.解一阶线性微分方程解一阶线性微分方程.98题型题型6.1 已知边际函数已知边际函数F（x）求原经济函数）求原经济函数F（x）0
36、()2(1)qFF qFq dqg qCF qFx dxFqF（）（）=（）（）（）熟悉积分与导数互为逆运算，因而（）可用不定积分或定积分表示为：依题意确定C)依题意确定=（0）（0）)1.计算不定积分或定积分，计算不定积分或定积分，2.确定确定C或或F(0);知识要求知识要求方法步骤方法步骤99说明：说明：()(F xFx dxg xc由题目条件或实际经济函数（）=（）确定c)00当产量为q=0时,成本C(0)=C(固定成本),收入R(0)=0,利润L(0即)=-C:00000qqqC qCq dqcR qRq dqL qLq dqc（）=（）（）(1)求成本函数(2)求收入函数(3)求利=
37、（）（）=（润函）数1.利用不定积分求2.利用定积分求100助记词：助记词：积分去撇，再定常数！101,401,80pqppq 已知对某商品的需求量是价格 的函数 且边际需求该商品的最大需求量为80 即是,求需求量与价格例的函数关系.P303例例1 44q pqp dpdppc c 为积分常数解法1 080pq pc再由代入上式求得=80.480q pp 于是需求量与价格的函数关系是本例也可由变上限定积分公式直接求得解法2 00pq pqp dpq0480480pdpp 102 0.20qqq若一企业生产某产品的边际成本是产量 的函数C=2e,固定成本C=90,求总成例2本函数.P303例例2
38、 0.20.2220.2qqC qC q dqedqec c为积分常数解 0900080cqCcc将条件即时=90 代入上式两边得90=10+解得 0.21080qC qe于是总成本函数为练习：练习：用定积分方法解上题。103题型题型6.2 已知边际函数已知边际函数F（x）求原经济函数的函数增量求原经济函数的函数增量F（x）)baFFx dx F bF a函数增量=（式（公：按照以上公式计算定积分按照以上公式计算定积分.知识要求知识要求方法步骤方法步骤104 1002/,40,10qR qq已知生产某产品 单位时的边际收入为元 单位求生产单位时的总收入及平均收入 并求再增加生产个单位时所增加的
39、例3总收入.P304例例3 0qR qR q dq总收入函数为402400604040R平均收入是元4010在生产单位后再生产单位所增加的总收入由公式得解400401002Rq dq40201002 4000qq元 50405040RRRR q dq5050240401002100100q dqqq元105 0252,1344,10,5R qqqqq已知某产品的边际收入边际成本C固定成本为C求当时的例毛利和纯利.P305例例4 252134122L qR qC qqqq由边际利润解 55200051221285qqL q dqq dqqq可求得的毛利为 5005585 1075qLLdcqq当
40、时的纯利为106本 例 另 解 5500520525225100RR q dqq dqqq 总收入 550005205134101321025CC q dqcq dqqq总成本 5551002575LRC纯利 0575 1085Lc毛利107题型题型6.3 已知边际函数，已知边际函数，求经济函数的最大最小值。求经济函数的最大最小值。1.求原函数（经济函数);2.求式函数的最大值:点小值最知识要求知识要求方法步骤方法步骤方法1.用不定积分或定积分求经济函数,再求它的最大最小值.方法2.由边际函数求相关函数的驻点,再求函数的最大最小值.108264/,qqq例 2某 商 场 销 售 某 商 品 的
41、 边 际 收 入 是万 元千 件 其 中是 销 售 量千 件求 收 入 函 数 及 收 入 最 大 时 的 销 售 量.P227例例2,R q设收入函数为解由题设 264R qqq264 qdqq dq 264R qR q dqqq dq得231323qqC109 00,00,0,qRq由 销 售 量 为 时 收 入 为即时可 知 C 2640640R qqqqq由 得 舍去64.即获得最大收入时的销售量为千件 231323R qqq故所求收入函数为 万元110130/509005,qCqq某 企 业 生 产吨 产 品 时 的 边 际 成 本 为元吨且 固 定 成 本 为元 试 求 产 量 为
42、 多 少 时 平 均例成 本 最 低?P306例例5 00013090050qqqC q dqcqdq先求成本函数,C解 1,300.300,.C qqC q因此仅有一个驻点再由实际问题本身可知有最小值故当产量为吨时 平均成本最低2130900100qq 190030100C qC qqqq得平均成本函数 21900100Cqq 120300300.Cqqq 令解得舍去1115(1)(9)(4)544qqLRCq先求边际利润函数解P306例例6 9/,4/,.412?31,.6R qqqC qq假设某产品的边际收入函数为万元 万台 边际成本 函数为万元 万台 其中产量 以万台为单位试求当产量由
43、4万台增加到5万台时利润的变化量;当产量为多少时利润最大已知固定成本为 万元 求总成本函数和利润函数例,41,由此可见 在 万台的基础上再生产 万台 利润不但未增加反而减少.5454LLLL q dq 从而函数增量为5524455555488q dqqq 万元112 003qCqCq dqc总 成 本 函 数 520,44qL qq令即5-=0,解得万台 41即产量为 万台时利润最大,由此结果也可得知问题中利润减少的原因 00qL qL q dqc利润函数201414148qqdqqq 2055515148qq dqqq 113作业题作业题6.5省管形考作业（省管形考作业（P11）三、4114
44、历届试题历届试题（0701（0701，20分）（0707，20分）（0801，20分）15.设生产某产品的总成本函数为C(x)=5+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨.销售x百吨时的边际收入为R=11-2x(万元/百吨)，求:(1)利润最大时的产量，(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化?115微分方程的基本概念微分方程的基本概念（P314）3.偏微分方程：偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程；2.常微分方程：常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程；9.微分方程的微分方程的初值问题初值问题：利用初始条件解微分方程的问题。8.微分方程的微分方程的初始条件初始条件
45、：当自变量取某值时，未知函数及其导 数取特定值的条件；7.微分方程的微分方程的特解特解：不含有任何常数的微分方程的解；6.微分方程的微分方程的通解通解：含有n个任意常数的微分方程的解（n=阶数);5.微分方程的微分方程的解解：满足微分方程的函数；4.微分方程的微分方程的阶阶：微分方程中导数（或微分）的最高阶数；1.微分方程：微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式116题型题型6.4 解可分离变量的微分方程解可分离变量的微分方程()()()().dyyf x g yf x g ydx或01()()()()1()()()()()()dyf x g ydyf x dxdxg ydyf x dx
46、g yG yF xcG yF xc1.分离变量2.两边积分整理3.初始条件通解)特解)知识要求知识要求方法步骤方法步骤1.分离变量；2.计算不定积分。117P315例例322yyxy 求微分方程的通解.211dyx dxy分离变量解211dyx dxy两端积分得原微分方整理程的通解为212xxcy得212xxcy118历届试题历届试题（0601，9分）8.求y=x3的通解是_（0801，3分）119题型题型6.5 解一阶线性微分方程解一阶线性微分方程()()yyP xQ x()()1(),2.P x dxP x dxyeQ x edxc了解以上公式熟记的推通解公式:导过程.方法步骤：方法步骤：
47、()()()1.()?()?2.()?,?3()P x dxP x dxP x dxP xQ xP x dxyey eQ x edxc写出计算代入公式计算:=知识要求知识要求1202.yyx求微分方程的通解()1,()2P xQ xx这里()P x dxdxxc()()222222P x dxxxxxxxQ x edxx e dxx edxxee dxxeec()()2()2)2)(2xP x dxP x dxxxxyeQ x edxeecxccexe代入公式得22xyxce原方程的通解为解P317例例6121 322001.yxyxy求微分方程满足的特解322yxyx 将原方程化为 322,()22P xx Q xxP x dxxdxxc 2222()32()2(2)()()P x dxP xxxxdxxyeQ x edex e dxcex exdxxcc代入公式得P318例例7解1222222222()()u xxuuuuuuxxx eueu eeeeecx eexdxduduuduuc 222222()1xxxxex eecxey c为原微分方程的通解。2010,1.ycyx 将代入上式得即原方程满足初始条件的特解是123历届试题历届试题（0607，9分）
