1、返回返回上页上页下页下页目录目录1 第二节第二节 求导法则（续）求导法则（续）隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数四、初等函数求导问题四、初等函数求导问题二、对数求导法二、对数求导法返回返回上页上页下页下页目录目录2定义定义:当时个隐数方方程程F(x,y)=0,x取F(x,y)=0,x取任任一一值值,唯,唯一一的的y y值值存存在在F(x,y)=0确F(x,y)=0确定定了了一一函函.0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能
2、显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?3:10 xy 如一、隐函数的导数一、隐函数的导数03275xxyy返回返回上页上页下页下页目录目录3返回返回上页上页下页下页目录目录4的导数所确定的隐函数求由方程)(0103xyyyx例1返回返回上页上页下页下页目录目录50103yx解法一：从方程 解出 y，得得：31)10(xy则23231)10(31yxdxdy0103yx返回返回上页上页下页下页目录目录60103yx解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数得：0312dxdyy即：231ydxdy 由此可以看出，不管是否化为显函数，求导结果都是一样的.返回返回上页上页下页下
3、页目录目录7例例2 2.,0)1(03xyxdxdydxdyyexyee的导数所确定的隐函数求由方程返回返回上页上页下页下页目录目录8例例2 2.,0)1(03xyxdxdydxdyyexyee的导数所确定的隐函数求由方程解解,求求导导方方程程两两边边对对 x0)3(23yxyydxdyeeyx解得解得,323xyeyedxdyyx,1,0yx由原方程知0300230yxyxxxyeyedxdy0)()()(3xyeeyx得即返回返回上页上页下页下页目录目录9dxdyyxxy求设),sin(22例例3 3返回返回上页上页下页下页目录目录10,求求导导方方程程两两边边对对 x解解：得得)1)(c
4、os(22dxdyyxxdxdyy)cos(2)cos(2yxxdxdyyxy)cos(2)cos(2yxyyxxdxdy即即所以所以dxdyyxxy求设),sin(22例例3 3返回返回上页上页下页下页目录目录11例例4.4.求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.返回返回上页上页下页下页目录目录12例例4.4.求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx返回返回上页上页下页下页目录目录13dxdyxy求,arcsin例例5
5、 5返回返回上页上页下页下页目录目录14dxdyxxy求),11(arcsin)22(sin ,arcsin yyxxy可得由得求导方程两边对,xdxdyy)(sin12211sin11cos1xyydxdy0cos y所以)11(11)sinarc2xxx即（例例5 5解解：返回返回上页上页下页下页目录目录15返回返回上页上页下页下页目录目录16类似可求得类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211x返回返回上页上页下页下页目录目录17先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数然后利用隐函数的求导方法求出导数的求导方法求出导数.-对数求
6、导法对数求导法适用范围适用范围:二二.对数求导法对数求导法)0)()()(xuxuyxv(1)幂指函数幂指函数uveyln 作变换 ，再求导 作变换 ，再求导)(ln)(lnxuxvy(2)在在y=f(x)中含有多个因式的乘积、商、中含有多个因式的乘积、商、幂（根式）的情形幂（根式）的情形.返回返回上页上页下页下页目录目录18例例6.6.求求)0(sinxxyx的导数.解解:两边取对数,化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx返回返回上页上页下页下页目录目录19 对幂指函数),(),(,xvvxuuuyv其中可用对数
7、uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1一般地按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:求导法求导:返回返回上页上页下页下页目录目录20例7 求 的导数 5135)11()12(xxxy返回返回上页上页下页下页目录目录21例7 求 的导数 51351112xxxy)1111(51122351xxxyy5135)11()12(xxxy1ln1ln511235lnxxxy对 x 求导两边取绝对值两边取对数)1(51)1(51)12(310)11()12(5135xxxxxxy返回返回上页上页下页下页目录目录22)4)(3()2)(1(xxxxy例8.求
8、 的导数 返回返回上页上页下页下页目录目录23)4)(3()2)(1(xxxxy21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x返回返回上页上页下页下页目录目录24(),().xtyxyt若参数方程确定 与 间的函数关系称此为由参数方程所确定的函数例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数返回返回上页上页下页下页目录
9、目录25xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且则0)(t关系,返回返回上页上页下页下页目录目录26例例9.9.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax返回返回上页上页下页下页目录目录27例例9.9.解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax返回返回上页上页下页下页目录目录28.),12(,2ayaxt 时时当当
10、 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即返回返回上页上页下页下页目录目录29程处的切线方程和法线方在求曲线 03233tttyttx例10.返回返回上页上页下页下页目录目录30程处的切线方程和法线方在求曲线 03233tttyttx)1(23)1(2)1(32tttdtdxdtdydxdy23)01(230tdxdy例10.解：返回返回上页上页下页下页目录目录31.0,0,0yxt时当 所求切线方程为所求切线方程为)0(230 xyxy32xy23即即 所求所求法线法线方程为方程为返回返回上页上页下页下页目录目录32四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.基本
11、初等函数的导数基本初等函数的导数(P30)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2sec)(cot xx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln)(exxe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x返回返回上页上页下页下页目录目录332.有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.复合函数求导法则复合函数求导法则)(,)(xuu
12、fyxydd)()(xuf4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,)(C0)(sin xxcos)(ln xx1由定义证,说明说明:最基本的公式uyddxudd其他公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数返回返回上页上页下页下页目录目录341.1.隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;2.2.对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的按隐函数的 求导法则求导求导法则求导.适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘 或连除表示的函数或连除表示的函数.3.3.由参数方程由参数方程 所确定的函数的求导法则所
13、确定的函数的求导法则)()(tytx)()(ttdxdy)(,)(tt（均可导,且 )0)(t小结小结4.初等函数的求导问题初等函数的求导问题.返回返回上页上页下页下页目录目录35一、一、填空题：填空题：1 1、设设01552223 yxyyxx确定了确定了y是是x的函的函数，则数，则)1,1(dxdy=_=_，22dxyd_._.2 2、曲线曲线733 xyyx在点在点（1 1，2 2）处的切线方程）处的切线方程是是_._.3 3、曲线曲线 ttyttxsincos在在2 t处的法线方程处的法线方程_._.4 4、已知已知 teytexttsincos,则则dxdy=_=_；3 tdxdy=
14、_.=_.5 5、设设yxexy ,则则dxdy=_.=_.练练 习习 题题返回返回上页上页下页下页目录目录36二、二、求下列方程所确定的隐函数求下列方程所确定的隐函数 y y 的二阶导数的二阶导数22dxyd：1 1、yxey 1；2 2、)tan(yxy ；3 3、yxxy )00(yx，.三、三、用对数求导法则求下列函数的导数：用对数求导法则求下列函数的导数：1 1、2xxy ；2 2、54)1()3(2 xxxy；3 3、xexxy 1sin.返回返回上页上页下页下页目录目录37四、四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1 1、tby
15、taxsincos ；2 2、)()()(tftf tytfx 设设)(tf 存在且不为零存在且不为零.五、五、求由参数方程求由参数方程 ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的所确定的函数的 三阶导数三阶导数33dxyd.六、设六、设)(xf满足满足xxfxf3)1(2)(，求，求)(xf .返回返回上页上页下页下页目录目录38一、一、1 1、34,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx；2 2、02311 yx 3 3、022 yx；4 4、32,sincoscossin tttt；5 5、yxyxexye .二、二、1 1、32)2()3(yyey ；2 2、-)(tan)(csc232yxcyx ；3 3、322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.练习题答案练习题答案返回返回上页上页下页下页目录目录39
