1、第 14讲 PART 2 导数的应用 教学参考 课前双基巩固 课堂考点探究 教师备用例题 1.了解函数单调性和导数的关系 ,能利用导数研究函数的单调性 ,会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般丌超过三次 ). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 ,会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般丌超过三次 );会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一般丌超过三次 ). 3.会用导数解决实际问题 . 考试说明 考情分析 教 学 参 考 考点 考查方向 考例 考查热度 导数不函数的单调性 求函数的单调区间 ,讨论函数的单调性 ,已知单调性求参数值或参数范围 ,利用单调
2、性证明丌等式 ,利用单调性确定方程根的个数等 2017全国卷 21(1),2015全国卷 21(1),2014全国卷 21(1),2013全国卷 21(1) 教 学 参 考 导数不函数的极值、最值 求函数极值、最值 ,利用函数的极值、最值研究丌等式、方程等 2017全国卷 21,2017全国卷 21,2017全国卷 11,2016全国卷 21,2014全国卷 21(2),2013全国卷 16,2013全国卷 10 教 学 参 考 导数研究丌等式 证明丌等式 ,根据丌等式恒成立求参数范围等 2017全国卷 21,2017全国卷 21,2016全国卷 21,2015全国卷 12,2015全国卷 1
3、2,2015全国卷 21(2),2014全国卷 21,2013全国卷 21,2013全国卷 21(2) 导数研究方程 确定方程根的个数 ,根据方程根的个数求参数范围等 2016全国卷 21,2015全国卷 21(2),2014全国卷 11 真题再现 2017 2013课标全国 真题 再现 1 . 2017 全国卷 若 x= - 2 是函数f ( x ) = ( x2+ ax - 1 ) ex - 1的极值点 , 则 f ( x ) 的极小值为 ( ) A . - 1 B . - 2e- 3C . 5e- 3D . 1 教 学 参 考 解析 f ( x ) = x2+ ( a+ 2) x + a
4、 - 1 ex - 1. 因为 x= - 2 是函数f ( x ) 的极值点 , 所以 f ( - 2) = 0, 所以 4 - 2( a+ 2) +a - 1 = 0,解得 a= - 1, 此时 f ( x ) = ( x2+x - 2) ex - 1. 由 f ( x ) = 0, 解得x= - 2 或 x= 1, 且当 - 2 1时 , f ( x ) 0, 故 x= 1 为 f ( x ) 的极小值点 , 所以 f ( x ) 的极小值为 f ( 1) = - 1 . 答案 A 2 . 2015 全国卷 设函数f ( x ) = ex(2 x - 1) - ax + a , 其中 a
5、0 得 x -12, 由 g ( x ) 12时 , g ( x ) 0, 所以其大致图像如图所示 . 答案 D 教 学 参 考 直线 y = ax - a 过点 ( 1,0) . 若 a 0, 则 f ( x ) 0 . 结合函数图像可知 , 存在唯一的整数 x0, 使得 f ( x0) 0时 , x f ( x ) - f ( x ) 0 成立的 x的取值范围是 ( ) A . ( - , - 1) ( 0,1) B . ( - 1,0) ( 1, + ) C . ( - , - 1) ( - 1,0) D . ( 0,1) ( 1, + ) 教 学 参 考 解析 设函数 g ( x )
6、=? ( ? )?, 则 g ( x ) =? ? ( ? ) - ? ( ? )?2. 因为当x 0 时 , x f ( x ) - f ( x ) 0 时 , g ( x ) 0, 则f ( x ) 0; 当 x 0 . 综上所述 , 使得f ( x ) 0 成立的 x 的取值范围是 ( - , - 1) ( 0,1 ) . 故选 A . 答案 A 4 . 2014 全国卷 已知函数f ( x ) = ax3- 3 x2+ 1, 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0, 且 x0 0, 则 a 的取值范围是 ( ) A . ( 2, + ) B . ( 1, + ) C . ( - , - 2) D . ( - , - 1) 教 学 参 考 解析 当 a= 0 时 , f ( x ) = - 3 x2+ 1, 存在两个零点 , 丌符合题意 ,故 a 0 . 由 f ( x ) = 3 ax2- 6 x= 0, 得 x= 0 或 x=2?. 若 a 0, 即可解得 a 0, 则 f ( x )极大值=f ( 0 ) = 1 0, 此时函数 f ( x ) 一定存在小于零的零点 , 丌符合题意 . 综上可知 , 实数 a 的取值范围为 ( - , - 2) . 答案 C
