1、线性代数1线性代数2本讲内容：本讲内容：1、n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算2、向量组的线性组合、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性、向量组的线性相关性 线性代数3定义定义1 1.,21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个分分量量，个个数数称称为为该该向向量量的的维维向向量量，这这组组称称为为所所组组成成的的数数个个有有次次序序的的数数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，维向量的概念：维向量的概念：一、一、n线性代数4例如例如),3,2,1(n)1(,32,21(innii
2、 n n维实向量维实向量n n维复向量维复向量第第1 1个个分量分量第第n n个分量个分量第第2 2个分量个分量线性代数5),(21naaa naaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，如：矩阵，如：n ,ba维向量的表示：维向量的表示：二、二、n向量通常用向量通常用 等表示等表示 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，如：矩阵，如：n线性代数6注意注意1 1行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；2 2当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向
3、量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.线性代数7v 向量的加法运算向量的加法运算 设向量设向量 a (a1,an),b (b1,bn),定义定义11(,)nnababab称称 a b 为为 a 与与 b 的和的和.v 向量的数乘运算向量的数乘运算 规定规定 1(,)nkakaka 称称 ka 为数为数 k 与向量与向量 a 的乘积的乘积.称称(-1)a 为向量为向量 a 的的负向量负向量,记为记为-a.设向量设向量 a (a1,an),k为实数为实数,定义定义()baba-向量的加法与数乘两种运算统称为向量的向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算线性运算.线性代数8确定飞机的状态，需
4、确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20(机身的仰角机身的仰角)22(-机翼的转角机翼的转角)(-所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),(zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n线性代数9 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,2
5、1的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aaaana2ajana1a2ajan阵：阵：三、向量、向量组与矩三、向量、向量组与矩线性代数10维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 1 2 i m 1 2 i m.,21的的行行向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Am 线性代数11 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量个个mnnmm,21 矩矩阵阵构构
6、成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmm,21 mB 21),(21mA 线性代数12b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应线性代数13，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,:2121 定义定义2 2.,21个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为这这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkk
7、k 线性组合线性组合线性代数14mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,:2121.2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA线性代数15例例1 6154699536623321321321xxxxxxxxx线线性性表表示示。能能否否由由向向量量组组向向量量 1596,452,633696321 332211321 xxx 线线性性表表示示为为：，可可由由向向量量组组设设向向量量线性代数16 615469
8、9536623321321321xxxxxxxxx 6154699536623 -2100301040012,3,4321-xxx321321234 -线线性性表表示示为为：，可可由由向向量量组组故故向向量量线性代数17练习练习:将向量将向量 表示为向量组表示为向量组)6,5,3(-)1,0,1(1 )1,1,1(2 )1,1,0(3-的线性组合。的线性组合。),(),(321TTTTBA 解解：设设32191411 -611151103011 -91001401011001线性代数18TTT121(,)aaxb 练习练习 判断向量判断向量 1(4,3,1,11)b-与与 2(4,3,0,11
9、)b 是否为是否为 向量组向量组 1(1,2,1,5),a-2(2,1,1,1)a-的线性组合的线性组合.若是若是,写出表示式写出表示式.解解 同时解方程组同时解方程组 TTT121(,)aaxb 和和 TTT122(,).aaxb TTTT1212(,)aabb1244055503340999r-124421331110511111-1022011100010000r的解为的解为122,1.xx因此因此 1122.baaTTT122(,)aaxb 无解无解,因此因此 b2 不可由不可由 a1,a2 线性表示线性表示.线性代数190 ,:22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零
10、零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0,1.2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnnkkkkk .,2.性性无无关关就就是是线线性性相相关关不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义则称则称向量组向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A：四、线性相关性的概念四、线性相关性的概念线性代数20.,0,0,3.线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4.组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,.5 面
11、面的的几几何何意意义义是是三三向向量量共共量量共共线线；三三个个向向量量相相关关两两向向应应成成比比例例，几几何何意意义义是是条条件件是是两两向向量量的的分分量量对对它它线线性性相相关关的的充充要要量量组组对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向线性代数21定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211-m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有11
12、2211-mmma ：五、线性相关性的判定五、线性相关性的判定线性代数22故故 01112211-mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0，1,121-m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数的数 使使 ,21mkkk.02211 mmkkk 线性代数23因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有,01 k.13132121mmkkkkkk -即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证证毕毕.线性代数24.性性独独立立）线线个个方方程程）线线性性无无关关（或或程程，就就称
13、称该该方方程程组组（各各方方；当当方方程程组组中中没没有有多多余余个个方方程程）是是线线性性相相关关的的各各余余的的，这这时时称称方方程程组组（合合时时，这这个个方方程程就就是是多多是是其其余余方方程程的的线线性性组组若若方方程程组组中中有有某某个个方方程程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用).,(.0 A,0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论线性代数25.)(;),(,2121mArmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个
14、数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）线性代数26维维向向量量组组n TnTTeee1,0,0,0,1,0,0,0,121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),(21阶阶单单位位矩矩阵阵是是的的矩矩阵阵维维单单位位坐坐标标向向量量组组构构成成neeeEnn.)(01 nErE ，知，知由由.2)(向向量量组组是是线线性性无无关关的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量组组中中向向量量个个数
15、数即即Er例例2线性代数27，742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 解解.2,21321321即即可可得得出出结结论论）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同时时看看出出矩矩阵阵（成成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵），施施行行初初等等行行变变换换变变，对对矩矩阵阵（已知已知例例 3分析分析线性代数28 751421201),(321 2325rr-，000220201.,2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 rr 75122020112rr-1312rrrr-5
16、50220201线性代数29解解1 练习：练习：讨论向量组讨论向量组 1(1,1,1),a-2(1,1),aa-3(,1,2)aa 的线性相关性的线性相关性.设方阵设方阵TTT123(,),Aaaa 化化 A 为行阶梯形为行阶梯形:1111112aAa-11011022aaaa-11022011aaaa-121102200(1)(4)aaaa-当当 a -1,4 时时,R(A)3,123,a a a线性无关线性无关;当当 a -1 或或 a 4 时时,R(A)2,123,a a a线性相关线性相关.线性代数30解解2 设方阵设方阵当当 a -1,4 时时,|A|0,123,a a a线性无关线
17、性无关;当当 a -1 或或 a 4 时时,|A|0,123,a a a线性相关线性相关.则则11|11(1)(4)112aAaaa-TTT123(,),Aaaa 练习：练习：讨论向量组讨论向量组 1(1,1,1),a-2(1,1),aa-3(,1,2)aa 的线性相关性的线性相关性.线性代数31.,321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例4 40 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx证证线性代数3202110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行.,0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 线性代数33).,()(2211BArArbxxxAbmm 有有解解非非齐齐次次线线性性方方程程组组线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量 结结小小.)(),(.0 A,0 212211nArAxxxxAnnn 其其中中有有非非零零解解即即齐齐次次线线性性方方程程组组线线性性相相关关向向量量组组线性代数34
