1、第三节函数的奇偶性与周期性,总纲目录,教材研读,1.函数的奇偶性,考点突破,2.奇（偶）函数的性质,3.周期性,考点二函数奇偶性的应用,考点一函数奇偶性的判断,考点三函数周期性的应用,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称.(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(3)在公共定义域内(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数.(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数.(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,与函数奇偶性
2、有关的结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.,3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=?f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中?存在一个最小的正数
3、,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,有关周期函数的几个常用结论周期函数y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|;(3)若f(x+a)=-?,则函数的周期为2|a|;(4)若f(x+a)=?,则函数的周期为2|a|;(5)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的周期为2|b-a|;,(6)若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|;(7)若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函
4、数f(x)的周期是4|b-a|;(8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2|a|;(9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|.,1.下列函数中为偶函数的是?()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x,答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.,B,2.下列函数为奇函数的是?()A.y=?B.y=exC.y=cos xD.y=ex-e-x,答案DA、B选项中的函数为非奇非偶函数;C选项中的函数为偶函数;D选项中的函数为奇函数,故选D.,D,3.已知f(x)=ax
5、2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是?()A.-?B.?C.?D.-,答案B依题意知b=0,2a=-(a-1),a=?,则a+b=?.,B,4.已知函数f(x)是奇函数,在(0,+)上是减函数,且在区间a,b(ab|x|0,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)lg-x+?=-xlg(?-x)=xlg(?+x)=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.(2)当且仅当?0时函数有意义,-1x1,由于定义域关于原点不对称,函数f(x)是非奇非偶函数.(3)函数的定义域为x|x0,关于原点对称,方法技巧判定函数奇偶性的常用方法(1)定义法?(2
6、)图象法,(3)性质法设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.,易错警示(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.,1-1设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是?()A. f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D.
7、|f(x)g(x)|是奇函数,答案C由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,故选C.,C,1-2判断下列函数的奇偶
8、性.(1)f(x)=x3-?;(2)f(x)=?+?;(3)f(x)=,答案(1)1(2)3,解析(1)由已知得f(-x)=f(x),即-xln(?-x)=xln(x+?),则ln(x+?)+ln(?-x)=0,ln(?)2-x2=0,得ln a=0,a=1.(2)由已知可得,-f(1)+g(1)=2, f(1)+g(1)=4,两式相加,解得g(1)=3.,规律总结利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x
9、)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.,2-1(2018河北石家庄质检)函数f(x)是R上的奇函数,?x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则f(1-x)0的解集是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,1)D.(1,+),答案Cf(x)为R上的奇函数,f(0)=0,又?x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,即x1.,C,2-2设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=?()A.-3B.-1C.1D.3,
10、答案Af(x)为定义在R上的奇函数,f(0)=0,b=-1,f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3.,A,2-3已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为?()A.3B.0C.-1D.-2,答案B设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.,B,典例3(1)周期为4的奇函数f(x)在0,2上的解析式为f(x)=?则f(2 018)+f(2 019)=?()A.0B.-1C.2D.3(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f
11、(x),当-3x-1时, f(x)=-(x+2)2;当-1x3时, f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 018)=.,考点三函数周期性的应用,答案(1)B(2)339,规律总结函数周期性的应用根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,3-1已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时, f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为?()A.6B.7C.8D.9,答案B当
12、0x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2x4时,0x-22,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2x4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4x6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合要求.综上可知,共有7个交点.,B,考点四函数性质的综合应用,D,答案D,解析原不等式可化为?1x3;?-1x1.故选D.,命题方向二函数的奇偶性与周期性相结合典例5(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时, f(x)=6-x,则f(919)=.,答案6,解析由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(6153+1)=f(1)
