1、2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A0.439106B4.39106C4.39105D4391032（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A B C D3（2分）正十边形的外角和为（）A180B360C720D14404（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若COBO，
2、则a的值为（）A3B2C1D15（2分）已知锐角AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）ACOMCODB若OMMN则AOB20CMNCDDMN3CD6（2分）如果m+n1，那么代数式（2m+nm2-mn+1m）（m2n2）的值为（）A3B1C1D37（2分）用三个不等式ab，ab0，1a1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A0B1C2D38（2分）
3、某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 时间t人数学生类型0t1010t2020t3030t40t40性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.525.5之间这200名学生参加公益劳动时间的中位数在2030之间这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在2030之间这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在2030之间所有合理推断的序号是（）ABCD二、填空题（本题共16分，每小
4、题2分）9（2分）分式x-1x的值为0，则x的值是 10（2分）如图，已知ABC，通过测量、计算得ABC的面积约为 cm2（结果保留一位小数）11（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 （写出所有正确答案的序号）12（2分）如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA （点A，B，P是网格线交点）13（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a0，b0）在双曲线y=k1x上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=k2x，则k1+k2的值为 14（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 15（
5、2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5，记这组新数据的方差为s12，则s12 s02（填“”，“”或”）16（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是 二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小
6、题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17（5分）计算：|-3|（4）0+2sin60+（14）118（5分）解不等式组：4(x-1)x+2x+73x19（5分）关于x的方程x22x+2m10有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根20（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF（1）求证：ACEF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若BD4，tanG=12，求AO的长21（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数对国家创新指数得分
7、排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息：a国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30x40，40x50，50x60，60x70，70x80，80x90，90x100）；b国家创新指数得分在60x70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d中国的国家创新指数得分为69.5（以上数据来源于国家创新指数报告（2018）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得
8、分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是 相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值22（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a
9、为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM，求直线DE与图形G的公共点个数23（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成4组，第i组有xi首，i1，2，3，4；对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4每天最多
10、背诵14首，最少背诵4首解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x14，x23，x34，则x4的所有可能取值为 ；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首24（6分）如图，P是AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB上一动点，连接PC交弦AB于点D小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.4
11、42.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC2PD时，AD的长度约为 cm25（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykx+1（k0）与直线xk，直线yk分别交于点A，B，直线xk与直线yk交于点C（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含
12、边界）为W当k2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围26（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx-1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（12，-1a），Q（2，2）若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围27（7分）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH=3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1
13、）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明28（7分）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在ABC的内部或边上，则称DE为ABC的中内弧例如，图1中DE是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC=22，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t=12，求ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵
14、坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围2019年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分)1（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A0.439106B4.39106C4.39105D439103【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39105故选：C2（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
15、（）ABCD【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误故选：C3（2分）正十边形的外角和为（）A180B360C720D1440【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360，所以正十边形的外角和等于360，故选：B4（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若COBO，则a的值为（）A3B2C1D1【解答】解：点C在原点的左侧，且COBO，点C表示的数为2，a213故选：A5（2分）已知锐角AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点
16、O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）ACOMCODB若OMMN则AOB20CMNCDDMN3CD【解答】解：由作图知CMCDDN，COMCOD，故A选项正确；OMONMN，OMN是等边三角形，MON60，CMCDDN，MOAAOBBON=13MON20，故B选项正确；设MOAAOBBON，则OCDOCM=180-2，MCD180，又CMN=12OCN，MCD+CMN180，MNCD，故C选项正确；MC+CD+DNMN，且CMCDDN，3CD
17、MN，故D选项错误；故选：D6（2分）如果m+n1，那么代数式（2m+nm2-mn+1m）（m2n2）的值为（）A3B1C1D3【解答】解：原式=2m+n+m-nm(m-n)（m+n）（mn）=3mm(m-n)（m+n）（mn）3（m+n），当m+n1时，原式3故选：D7（2分）用三个不等式ab，ab0，1a1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A0B1C2D3【解答】解：若ab，ab0，则1a1b，真命题；若ab0，1a1b，则ab，真命题；若ab，1a1b，则ab0，真命题；组成真命题的个数为3个；故选：D8（2分）某校共有200名学生，为
18、了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 时间t人数学生类型0t1010t2020t3030t40t40性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.525.5之间这200名学生参加公益劳动时间的中位数在2030之间这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在2030之间这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在2030之间所有合理推断的序号是（）ABCD【解答】解：解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：
19、（24.597+25.5103）20025.015，一定在24.525.5之间，正确；由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在2030 之间，故正确由统计表计算可得，初中学段栏0t10 的人数在 015 之间，当人数为 0 时中位数在 2030 之间；当人数为 15 时，中位数在 2030 之间，故正确由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 015，35，15，18，1，当0t10时间段人数为 0 时，中位数在 1020 之间；当 0t10时间段人数为 15 时，中位数在 1020 之间，故错误故选：C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9
20、（2分）分式x-1x的值为0，则x的值是1【解答】解：分式x-1x的值为0，x10且x0，x1故答案为110（2分）如图，已知ABC，通过测量、计算得ABC的面积约为1.9cm2（结果保留一位小数）【解答】解：过点C作CDAB的延长线于点D，如图所示经过测量，AB2.2cm，CD1.7cm，SABC=12ABCD=122.21.71.9（cm2）故答案为：1.911（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是（写出所有正确答案的序号）【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故
21、答案为：12（2分）如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA45（点A，B，P是网格线交点）【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2BD21+225，PB212+3210，PD2+DB2PB2，PDB90，DPBPAB+PBA45，故答案为：4513（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a0，b0）在双曲线y=k1x上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=k2x，则k1+k2的值为0【解答】解：点A（a，b）（a0，b0）在双曲线y=k1x上，k1ab；又点A与点B关于x轴的对称，B（a，b）点B在双曲线y=k2x上，k2ab；k1+k2ab+（ab）0；故答案为：01
22、4（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12【解答】解：如图1所示：四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，设OAx，OBy，由题意得：x+y=5x-y=1，解得：x=3y=2，AC2OA6，BD2OB4，菱形ABCD的面积=12ACBD=126412；故答案为：1215（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5，记这组新数据的方差为s12，则s12s02（填“”，“”
23、或”）【解答】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，则s12S02故答案为16（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平
24、行四边形，故当MQPN，PQMN，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；如图，当PMQN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；如图，当PMQN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；当四边形MNPQ是正方形时，MQPQ，则AMQDQP，AMQD，AQPD，PDBM，ABAD，四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17（5分
25、）计算：|-3|（4）0+2sin60+（14）1【解答】解：原式=3-1+232+4=3-1+3+43+2318（5分）解不等式组：4(x-1)x+2x+73x【解答】解：4(x-1)x+2x+73x，解得：x2，解得x72，则不等式组的解集为x219（5分）关于x的方程x22x+2m10有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根【解答】解：关于x的方程x22x+2m10有实数根，b24ac44（2m1）0，解得：m1，m为正整数，m1，x22x+10，则（x1）20，解得：x1x2120（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF（1）求
26、证：ACEF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若BD4，tanG=12，求AO的长【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD，OBOD，BEDF，AB：BEAD：DF，EFBD，ACEF；（2）解：如图2所示：由（1）得：EFBD，GADO，tanGtanADO=OAOD=12，OA=12OD，BD4，OD2，OA121（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息：a国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30x40
27、，40x50，50x60，60x70，70x80，80x90，90x100）；b国家创新指数得分在60x70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d中国的国家创新指数得分为69.5（以上数据来源于国家创新指数报告（2018）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比
28、中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值【解答】解：（1）国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指
29、数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：22（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O
30、的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM，求直线DE与图形G的公共点个数【解答】（1）证明：到点O的距离等于a的所有点组成图形G，图形G为ABC的外接圆O，AD平分ABC，ABDCBD，AD=CD，ADCD；（2）如图，ADCM，ADCD，CDCM，DMBC，BC垂直平分DM，BC为直径，BAC90，AD=CD，ODAC，ODAB，DEAB，ODDE，DE为O的切线，直线DE与图形G的公共点个数为123（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗
31、词，背诵计划如下：将诗词分成4组，第i组有xi首，i1，2，3，4；对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4每天最多背诵14首，最少背诵4首解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x14，x23，x34，则x4的所有可能取值为4，5，6；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为23首【解答】解：（1）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4
32、组x4x4x4（2）每天最多背诵14首，最少背诵4首，x14，x34，x44，x1+x38，x1+x3+x414，把代入得，x46，4x46，x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）每天最多背诵14首，最少背诵4首，由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x214，x2+x314，x1+x3+x414，x2+x414，+得，3x228，x2283，x1+x2+x3+x4283+14=703，x1+x2+x3+x42313，7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：2324（6分）如图，P是AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB上一动点，连接PC交弦AB于点D
33、小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标
34、系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC2PD时，AD的长度约为2.3和4cm【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC2PD，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3和4.025（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykx+1（k0）与直线xk，直线yk分别交于点A，B，直线xk与直线yk交于点C（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W当k2时，结合函数
35、图象，求区域W内的整点个数；若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围【解答】解：（1）令x0，y1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B（-k-1k，k），C（k，k），当k2时，A（2，5），B（-32，2），C（2，2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，1），（1，2）；直线AB的解析式为ykx+1，当xk+1时，yk+1，则有k2+2k0，k2，当0k1时，W内没有整数点，当0k1或k2时W内没有整数点；26（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx-1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度
36、，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（12，-1a），Q（2，2）若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【解答】解：（1）A（0，-1a）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，-1a）；（2）A与B关于对称轴x1对称，抛物线对称轴x1；（3）对称轴x1，b2a，yax22ax-1a，a0时，当x2时，y=-1a2，当y=-1a时，x0或x2，函数与AB无交点；a0时，当y2时，ax22ax-1a=2，x=a+|a+1|a或x=a-|a+1|a当a+|a+1|a2时，a-12；当a-12时，抛物线与线段
37、PQ恰有一个公共点；27（7分）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH=3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明【解答】解：（1）如图1所示为所求（2）设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2时，总有ONQP，证明如下
38、：过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PD=12OP1OD=OP2-PD2=3OH=3+1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中PDM=NCPPMD=NPCPM=NP PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQMHx+1DQDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中OC=QDOCN=QDP=90NC=PD OCNQDP（SAS）ONQP28（7分）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果DE上的
39、所有点都在ABC的内部或边上，则称DE为ABC的中内弧例如，图1中DE是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC=22，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t=12，求ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是ABC的最长的中内弧DE，连接DE，A
40、90，ABAC=22，D，E分别是AB，AC的中点，BC=ACsinB=22sin45=4，DE=12BC=1242，弧DE=122；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t=12时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（12，1），设P（12，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP于G，FGEF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；m12综上所述，m12或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM=32，P（t，32），DEBCADEAOB90AE=AD2+DE2=12+(2t)2=4t2+1，PDPE，AEDPDEA
