1、差分方程模型差分方程模型西北大学数学系西北大学数学系一一 差分方程差分方程1 差分：差分：)(tfx tx,210txxxxttxx1txtxtttxxx1设函数 ，记为 ，当 t 取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列，则差 称为函数 的差分，也称一阶差分，记为 ，即西北大学数学系西北大学数学系二阶差分tttxxx1)(ttttxxxx112ttttxxxx1222同理，可定义三阶差分等。二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。差分的性质：ttxccx)(ttttyxyx)(西北大学数学系西北大学数学系2 差分方程：差分方程：含有未知函数及表示未知函数的几个时期值的符号的方程。如0),(1nttt
2、xxxtF0),(1ntttxxxtG0),(2tntttxxxxtH3 差分方程的阶差分方程的阶方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数。不同形式的方程可互相转化。西北大学数学系西北大学数学系4 差分方程的解差分方程的解如果一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该方程的解。例一阶线性方程21ttxx有解txt215类似于微分方程可定义初值条件，特解等。txt2tCxt2西北大学数学系西北大学数学系二二 差分方程平衡点的稳定性差分方程平衡点的稳定性1 对于一阶线性常系数差分方程(1)210 1,kbaxxkk满足方程baxx的解，称为上方程的平衡点。即平衡点为.abx1否则是不稳
3、定的。是稳定的，则称时，当 xxxkk,西北大学数学系西北大学数学系1,0,1,2,11kkbbxaxbkaa(1)210 1,kbaxxkk1,0,1,2,11kkbabxaxkaa,2,1,0 ,0)1(11kabxaabxkk西北大学数学系西北大学数学系,2,1,0 ,0)1(11kabxaabxkk(2)210 01,kaxxkk(1)210 1,kbaxxkk由于方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面方程零点的稳定性。方程（2）的解可表示为,2,1 ,)(0kxaxkk可得到下面的稳定性结论。西北大学数学系西北大学数学系当且仅当 1a时，方程（2）的平衡点（零点）是稳定的，从而方程
4、（1）的平衡点稳定。对于n维向量 常数矩阵A构成的方程组nnk和)(x(3)0)()1(kAkxx称其为一阶常系数线性齐次差分方程组。结论1西北大学数学系西北大学数学系(3)0)()1(kAkxx若 r(A)1，则其平衡点是不稳定的；若 r(A)=1，稳定性不确定。A的特征根的集合,)(21nA称为矩阵A的谱，称 max)(1iniAr为矩阵A的谱半径。西北大学数学系西北大学数学系2 对于二阶线性常系数差分方程(4),2,1,0 ,02112kxaxaxkkk.0 x平衡点为为了得到（4）零点的稳定性我们求解方程（4）。写出特征方程 0212,aa解出特征值 21,通解为kkkccx2211其
5、中常数 由初值条件 确定。21cc,10 xx,西北大学数学系西北大学数学系当且仅当 1 ,121时，方程（4）的平衡点是稳定的。结论2(5),2112bxaxaxkkkl非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方程（4）来研究。l对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根 211),(,nii西北大学数学系西北大学数学系3 一阶非线性差分方程(6)(1kkxfx平衡点 通过求解方程x)(xfx 而得到。l研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部分的稳定性。l将方程（6）的右端在 点作泰勒展开只取一次项，（6）近似为(7)()(1xfxxxfxkkxx也是（7）平衡点。西北大学数学系西北大学数学
6、系(7)()(1xfxxxfxkk当结论31)(xf时，方程（6）与（7）平衡点的稳定性相同。结论4当1)(xf时，方程（7）平衡点是稳定的；当1)(xf时，方程（7）平衡点是不稳定的。(6)(1kkxfx西北大学数学系西北大学数学系三三 常微分方程向差分方程转化（数值解）常微分方程向差分方程转化（数值解）1 Euler 方法方法求初值问题的近似解。00)(),(xtxxtfdtdxtxtfx),(txtfxxnnnn),(1只要给定 就可求得00,xth,21nxxx先把自变量所在的区间 n 等分；ttt01ttt12tttnn1西北大学数学系西北大学数学系例例1 从 出发并取 ，求下列初值
7、问题的近似解。0t1.0t1)0(,1xxx 解1 ,000 xt1.001ttt2.012ttt3.03ttxtfxx),(0001txx)1(0.02.11.0)11(1txtfxx),(1112txx)1(1.142.11.0)2.11(2.1西北大学数学系西北大学数学系txtfxx),(2223txx)1(2.2662.11.0)42.11(42.1继续下去，自变量使用等间隔值，并生成其 n 个值，令ttt01ttt12tttnn1txtfxx),(0001txtfxx),(1112txtfxxnnnn),(111步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。优点：容易编程计算。西北大学数学
8、系西北大学数学系例例2 从 出发并取 ，求下列初值问题的近似解。0t1t0)0(,NNrNdtdN解00)0(,0NNt101ttt212ttt33ttNtfNN),(0001trNN0.0000)1(1NrrNN西北大学数学系西北大学数学系解00)0(,0NNt101ttt212ttt33ttNtfNN),(0001trNN0.0000)1(1NrrNNtNtfNN),(1112trNN1.1111)1(1NrrNN02)1(Nr0)1(NrNkkMalthus 模型模型的离散形式的离散形式西北大学数学系西北大学数学系例例3 对于方程组的情形，Euler 方法同样可用。),(),(yxtgd
9、tdyyxtfdtdx,)(,)(0000ytyxtx先把自变量所在的区间 n 等分；ttt01ttt12tttnn1tyxtgyytyxtfxxnnnnnnnnnn),(),(11步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。西北大学数学系西北大学数学系对捕食模型yxydtdyxyxdtdx23用Euler法求出前三次逼近，初始条件为1.0 ,2 ,1 ,0000tyxt解1.001ttt2.012ttt3.03t)2,1(),(00yx第一组点：tyxtfxx),(00001tyxxx)3(00001.11.0)23(1西北大学数学系西北大学数学系第一组点：tyxtfxx),(00001tyxx
10、x)3(00001.11.0)23(1tyxtgyy),(00001tyyxy)2(00008.11.0)42(2第二组点：tyxtfxx),(11112tyxxx)3(1111232.11.0)8.11.11.13(1.1tyxtgyy),(11112tyyxy)2(1111638.11.0)8.128.11.1(8.1西北大学数学系西北大学数学系第三组点：tyxtfxx),(22223tyxxx)3(22223997984.1tyxtgyy),(22223tyyxy)2(22225122016.1继续下去，就可生成数值解 表。),(kkkyxt如果方程组为自治系统，在相平面上就可得到近似的
11、轨线图 。),(kkyx西北大学数学系西北大学数学系上机练习上机练习1：对捕食模型yxydtdyxyxdtdx23用Euler法，在相平面上画出轨线的近似图，观察其变化情况。30 ,1.0 ,2 ,1 ,0 )1(000ttyxt30 ,02.0 ,2 ,1 ,0 )2(000ttyxt30 ,003125.0 ,2 ,1 ,0 )3(000ttyxt西北大学数学系西北大学数学系2 Runge-kutta型方法型方法也是用来求初值问题的近似解，但比Euler 方法收敛更快。00)(),(xtxxtfdtdxttxtxxnnnn),(1先把自变量所在的区间 n 等分；ttt01ttt12tttn
12、n1),(2,2(),()1(),(xtftytxfxtftxt西北大学数学系西北大学数学系),(),(xtftxtEuler 方法),(2,2(),()1(),(xtftytxfxtftxt常取 ),(,(),(211nnnnnnnnxttfytxfxtftxx1 ,2111(,(,)22nnnnnntxxtf xytf tx单步方法。单步方法。西北大学数学系西北大学数学系,2,1,0),1(1kNyryyykkkk四四 差分方程模型举例差分方程模型举例1 差分形式差分形式Logistic 模型模型)1(Nxrxdtdx离散化,2,1,0,)1(1)1(1kyNrryrykkk变形令 b=r
13、+1kkyNrrx)1(,2,1,0,1 1kxbxxkkk西北大学数学系西北大学数学系,2,1,0,1 1kxbxxkkk的变化情况分析：当 ,kxk1）平衡点及其稳定性）平衡点及其稳定性求平衡点：)1(xbxx平衡点为bxx11 ,021)21()(xbxf根据稳定的条件 1)(xf当 b1，只有一个稳定的平衡点，当 1b3 时，是不稳定的平衡点。,01x1x2x2x西北大学数学系西北大学数学系2）数值计算（上机练习）数值计算（上机练习2）初值取 b=1.7，2.6，3.3，3.45，3.55，3.57 k=1,2,1002.00 x观察 的变化趋势。kx出现倍周期收敛现象。一般地，一阶自
14、治的非线性差分方程)(1kkxfx西北大学数学系西北大学数学系3）混沌与分岔）混沌与分岔)(xfx 若 x*满足则称 x*为不动点，1-周期点。)()(2xfxffx若 x*满足则称 x*为2-周期点。4-周期点，8-周期点等，倍周期分岔。西北大学数学系西北大学数学系练习：竞争猎兽模型斑点猫头鹰和红隼在其栖息地为生存而斗争。假定没有斑点猫头鹰和红隼在其栖息地为生存而斗争。假定没有其他种群存在的情况下，每个单种群都可以无限地增长，其他种群存在的情况下，每个单种群都可以无限地增长，即在一个时间区间里（如一天）其种群量的变化与该时即在一个时间区间里（如一天）其种群量的变化与该时间区间开始时的种群量成
15、正比。而第二种群的存在间区间开始时的种群量成正比。而第二种群的存在降低了另一种群的增长率。假定这种增长降低了另一种群的增长率。假定这种增长率的减少与两种群的数量之积成正比。率的减少与两种群的数量之积成正比。试建立数学模型考察两种群的演化规律。试建立数学模型考察两种群的演化规律。西北大学数学系西北大学数学系一一 建立模型建立模型根据题意，建立差分方程组天结束时的种群数量。在第分别表示猫头鹰和隼，用nyxnnnnnnyxkxkx31nnnnyxkyky42nnnnnnnnyxkykyyxkxkx421311)1()1(西北大学数学系西北大学数学系nnnnnnnnyxkykyyxkxkx421311
16、)1()1(二二 模型求解模型求解nnnnnnnnyxyyyxxx002.03.1001.02.111求平衡点xyyyxyxx002.03.1001.02.10)002.03.0(0)001.02.0(yxxy），和（200150)0,0(在平衡点处两种群的种群量不会发生变化。即如果一开始它们数量为即如果一开始它们数量为150和和200时，那么每天数时，那么每天数量都保持不变。量都保持不变。002.0,001.03.0,2.04321kkkk西北大学数学系西北大学数学系数值计算在平衡点附近的情形数值计算在平衡点附近的情形猫头鹰猫头鹰隼隼情形情形1151199情形情形2149201情形情形310
17、10 xyxyxy115119911157.31188.4821221.05113.182151.15198.6012159.12185.7322240.2597.033151.36198.1413161.40182.3423264.9779.574151.64197.6014164.25178.1824296.8861.275152.00196.9615167.83173.1025338.0643.276152.49196.1716172.34166.9326391.0527.007152.05195.2017178.04159.4727458.7013.988153.79194.00181
18、85.26150.5328544.035.359154.71192.5319194.42139.9129649.911.1310155.87190.7220106.11127.4830779.170.00情形1西北大学数学系西北大学数学系xyxyxy114920111142.87212.002192.88325.632148.85201.4012141.16215.022281.21326.833148.64201.8613139.04218.822367.98412.754148.37202.4114136.42223.622453.52480.455148.01203.0715133.20
19、229.692538.51573.166147.55203.8816129.24237.412624.14700.977146.98204.8817124.41247.272712.05877.418146.26206.1218118.53259.93283.871119.59145.37207.6619111.42276.29290.311446.610144.25209.5720102.92297.6130-0.081879.7情形2西北大学数学系西北大学数学系xyxyxy110101145.7595.942128.61565.92211.912.81250.51115.942218.14
20、703.32314.1316.341354.75139.01239.01888.80416.7220.771458.09165.49242.801139.4519.7226.311560.10195.91250.171474.9623.1433.171660.34231.1426-0.041916.8727.0141.581758.47272.5827831.2851.811854.22322.4928935.9264.111947.58384.26291040.8078.742038.81462.9730情形3西北大学数学系西北大学数学系 三三 结论结论对初始点极其对初始点极其敏感，这样的敏
21、感，这样的平衡点是不稳平衡点是不稳定的。定的。栖息地共有350头猫头鹰和隼。1）如果有150头猫头鹰，那么我们预测 猫头鹰永远停留在这个数量上。2）如果从栖息地移走一头猫头鹰，那么 我们预测猫头鹰将会灭绝。3）如果在栖息地安置151头猫头鹰，那 么我们预测猫头鹰将会无限增长而隼 将会灭绝。4）如果开始在栖息地安置少量的头猫头鹰 和隼，那么我们预测猫头鹰将会灭绝而 隼将会无限增长，即对猫头鹰的生存不 利。问题问题1：如果开始两种如果开始两种群的数量都多群的数量都多于它们的平衡于它们的平衡点的数值，情点的数值，情况又如何？况又如何？问题问题2：系数变化怎样系数变化怎样影响它们的演影响它们的演化规律？化规律？西北大学数学系西北大学数学系nnnnyxkxkx31nnnnyxkyky42nnnnnnnnyxkykyyxkxkx421311)1()1(提示：提示：002.0,001.03.0,2.04321kkkknnnnnnnnyxyyyxxx002.07.0001.02.111
