1、Data Envelopment Analysis,DEA l数据包络分析是著名运筹学家A.Charnes 和 W.W.Cooper 于1978年在“相对效率评价”概念基础上发展起来的一种新的统计分析方法。已经成为管理科学领域一种重要而有效的分析工具。l可以对企事业单位作出各种有效性评价 。l特点是评价的相对性，所得结论是与其他同类型的被评对象相比较而言的。主要的技术工具是线性规划模型。l决策单元(Decision Making Units,DMU)：l 一个有投入有产出的生产或经济组织。l 注1：DMU的概念是很宽泛的。厂商、城市或地区、行业、部门、学校、医院，甚至某个产品（在评价产品质量时
2、）都是。l 注2：不同的研究，投入和产出会 不同。l注3：在评价时，把同类型的DMU放在一起。所谓同类型的DMU，是指3个相同：1 目标和任务；2 外部环境；3投入产出指标。l注4：可以把一个企业一年四季度或者不同的年份看作是不同类型的DMU。l投入=输入；产出=输出。l生产活动：DMU的输入输出指标组成的向量。l 输入指标：l 输出指标：l 生产活动：TmxxxX),.,(21TsyyyY),.,(21),(YX.,.,2,1),.,(),.,(2121njyyyYxxxXTsjjjjTmjjjjl一些生产活动之集合（在一定的技术条件下，理论上存在的反映生产过程中投入和产出关系的可能性的集合
3、）称为生产可能集，表示为：l注1：生产可能集的具体形式是由公理体系确定的，不同的公理体系确定的生产可能集不相同。l注2：生产可能集是研究问题的一个平台。|),(生产出来可由 XYYXT l1 平凡公理：设已有 个生产活动l则l平凡公理是说，已知的生产活动理所当然属于生产可能集。njTYXjj,.,2,1,),(nnjYXjj,.,2,1),(l 2 凸性公理。如果 和 是生产可能集中的生产活动，则l 也是生产可能集中的生产活动。l这里 是任意一个实数。l凸性公理是说，原投入的凸组合作为新的投入，则原产出的相同凸组合作为新的产出是可能的。),(YX)1(,)1(YYXX),(YX1,0l3 无效
4、性公理。设 是生产可能集中生产活动，若l l若l无效性公理是说，以较少的产出和较多的投入是可能的。),(YX）也是；则（YXXX,）也是。则（,YXYY l4.1 锥性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l锥性公理是说，若以原投入的 倍进行投入，则可以生产原产出的 倍。),(YX),(kYkX0kkkl4.2 收缩性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l收缩性公理是说，生产活动 是可以缩小规模的。),(YX),(kYkX10 k),(YXl4.3扩张性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l扩张性公理是说，生产活动 是可以扩大规模的。)
5、,(YX),(kYkX1k),(YXl5 最小性。生产可能集是满足上述公理1-3和4.1，4.2，4.3三个公理之一的所有集合的交集。l l当 个DMU已知时，利用观测值l可构造经验生产可能集。l当满足公理1,2,3,4.1和5时，有l当满足公理1,2,3,和5时,有l当满足公理1,2,3,4.2和5时,有l当满足公理1,2,3,4.3和5时,有njYXjj,.,2,1),(,.,2,1,0,|),(11njnjjjjjjnjYYXXYXTn1,.,2,1,0,|),(111njjnjnjjjjjjnjYYXXYXT1,.,2,1,0,|),(111njjnjnjjjjjjnjYYXXYXT1
6、,.,2,1,0,|),(111njjnjnjjjjjjnjYYXXYXTl有3个DMU的输入输出情况如下：lDMU 1 2 3l输入 1 3 4l输出 2 3 1l有效生产活动：投入 与所应达到的最大产出 组成的生产活动 叫有效生产活动。l生产函数：所有有效生产活动中，X与Y的函数关系叫生产函数。),(YXXYl这是由Charnes,Cooper,和Rhodes给出的。l 思路：考虑 个同类型的 DMU，其生产活动已知，且l.,.,2,10),.,(0),.,(2121njyyyYxxxXTsjjjjTmjjjjnl将这 个DMU看成一个大系统，任取其中一个，作为评价对象。例如，取第 个，记
7、为 DMUj0。l 构造一个新的DMU，它的输入输出是这 个DMU的非负线性组合，于是，它的生产活动为：njnjjjjjYX11),(n0jnl上式中的系数 待定。l对于评价对象DMUj0来说，让新DMU的投入(与DMUj0投入相比)不增加，看其（新DMU）产出是否能增加，于是有下述基于输出的模型 ：0jOCCRDnjzYYXXzfjnjjjjnjjjj,.,2,1,0max1010l让新DMU产出不减少，看投入能否减少，得到基于输入的模型 ：njYYXXfjnjjjjnjjjj,.,2,1,0min1010ICCRDl按照基于输入的CCR模型 ：对于评价对象DMUj0来说，如果新DMU的产出
8、不减少，其投入能够减少，则DMUj0不是有效的，反之，若新DMU的投入不能减少，则DMUj0是有效的。l按照基于输出的CCR模型也有类似结论。ICCRDl基于输入和基于输出的评价结论相同。l最优值 l最优值之间的关系：l最优解记为*1z1,1*z),.,(*2*1*nl以基于输入的模型 为例。lDMUj0为弱DEA有效(CCR)的充要条件是：lDMUj0为DEA有效(CCR)的充要条件是：l 并且每组最优解中松弛变量和剩余变量的值都为0.l 1*1*ICCRDl设 是基于输入 的最优解和最优值，则l 是基于输出 的最优值；l 是基于输出 的最优解。*,*1z*ICCRDOCCRDOCCRDl有
9、4个DMU 的输入输出情况如下:lDMU 1 2 3 4l输入1 2 1 1 2.4l输入2 1 2 4 2.4l输出 1 1 1 1 l评价DMU1:l解得:，所有松弛和剩余变量都为0,故DMU1有效.4,3,2,1,014.24224.22min432143214321jfj1*.4,3,2,1,0124.2424.22min432143214321jfj.4,3,2,1,0144.2424.22min432143214321jfj.4,3,2,1,014.24.2424.24.22min432143214321jfjlDMU1和DMU2为DEA有效（当然也弱有效）.l对于DMU3,有 l
10、第2个松弛变量最优值为2,故DMU3为弱DEA有效且非DEA有效.lDMU4的最优解为:l故DMU4为非弱DEA有效.)0,0,1,0(,1*185),0,0,21,21(*lDEA有效:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的各项投入均不能减少,说明DMUj0是DEA有效的.l弱DEA有效:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的部分(不是全部)投入可以减少,说明DMUj0是弱DEA有效.l因为 ，说明各项投入都可以减少，同时产出保持不减少。例7.2中的DMU4，因为l l各项投入都可以减少为DMU4的投入的5/8，而产出保持不变。l注：可按照 的值对非弱DEA有效的DMU排序。18
11、5*1*l退化情形下，判断是否有效在技术上有难度。于是引入下述模型 （基于输入）.0,0,.,2,1,0)(min1010SSnjYSYXSXSeSefjnjjjjnjjjjTTIDl其中l 为非阿基米德无穷小量。l l l TsTmTsssSsssSe),.,(),.,(,)1,.1,1(21210610.,0,00一般取有对，是说：为非阿基米德无穷小量注：NaNa.0,4,3,2,1,0144.2424.22)(min121143212432114321121sssjssssssfjl设 为非阿基米德无穷小，为最优解，则有l(1)若 则DMUj0不为弱DEA有效;l(2)若 则DMUj0仅
12、为弱DEA有效;l(3)若 则DMUj0为DEA有效;*,SS,1*0,1*SeSeTT0,1*SeSeTT)0,0,1,0(,1*0,2,0*1*2*1sssl满足平凡公理1，凸性公理2，无效性公理3，锥性公理4.1和最小性公理5的生产可能集由下式唯一确定：,.,1,0,|),(11njYYXXYXTjnjjjnjjjCCRl有3个DMU 的输入输出情况如下:l DMU 1 2 3 l输入 1 3 4 l输出 2 3 1 l生产可能集 如下：CCRTxy(3,3)(1,2)(4,1)l有效生产活动构成的“平面”称为有效生产前沿面，也叫相对有效（前沿）面。l引入 的对偶模型 ：ICCRDICC
13、RPsTmTTTjTjTjTjTPRRXnjYXYV,0,01,.2,1,0max00l1 若对偶模型 最优解存在，且 l则DMUj0为弱DEA有效。l2 若对偶模型 最优解存在l并且l l则DMUj0为DEA有效。ICCRP1max0*jTpyv1max0*jTpyv0,0*TTICCRPl一般地，记 为DMUj的效率评价指数。l当然 为DMUj0的效率评价指数。l实际上是投入产出效率：每单位投入的产出数。jTjTjXYh0jTYl设DMUj0为DEA有效（CCR），则称超平面l为 的有效生产前沿面，其中0*YXTTCCRT.0,0*的最优解是模型ICCRTTPl有4个DMU 的输入输出情况
14、如下:l DMU 1 2 3 4l输入1 1 3 3 4l输入2 3 1 3 2l输出 1 1 2 1l考虑DMU1，模型为：0,1302402330303max121211211211211211PVl最优解为：l l故 DMU1为DEA有效，一个有效生产前沿面为lL1:l因为DMU2也有效，经计算可有另一个有效生产前沿面L2:l注：DMU1,3在L1上，DMU2,3在L2上。,1,0)61,21(*1*PTV06121121yxx02161121yxxlDMU3也有效，故还有有效生产前沿面：lL3(与L1相同):lDMU4非弱有效，解相应的 得：l有效生产前沿面是经济学中生产函数向多产出情
15、况的推广。判断一个DMU是否有效，本质上是判断该DMU是否位于生产可能集的有效生产前沿面上。02112141121yxxICCRD,53),0,51,53,0(*l考虑模型 ，设其最优解为：l令l DMUj0在生产可能集 的有效生产前沿面的“投影”。ID*,SS*00*0*0SYYSXXjjjj为称),(00jjYXCCRTl1实际上l2“投影”在有效生产前沿面上，因而是有效的。l3 若DMUj0本身是有效的，则l4 若DMUj0是弱有效的，则njjjjjnjjjYYXX1*0*10,0000,jjjjYYXX*00*00,SYYSXXjjjjl例7.3 DMU4的“投影”在L2上。l对DMU
16、4解 得：l故l于是 在L2上。ID,0),0,51,53,0(,53*1*2*1*sss,1),56,512(44YX),(44YXl作业1：lDMU 1 2 3 4l x 4 6 10 5l y 4 6 8 4l求DMU3,4的“投影”。l作业2：lDMU 1 2 3 4l x 1 1 3 5l y 2 1 4 4l求DMU2的“投影”。l以上的有效性概念是基于CCR模型的。类似地，可由BCC模型建立有效性概念。lBCC模型是由Banker,Charnes和Cooper 于1984年创立的。l与CCR模型相比，多了一个约束条件。l记为 ：OBCCDnjzYYXXzfjnjjnjjjjnjj
17、jj,.,2,1,01max11010l记为 ：IBCCDnjYYXXfjnjjnjjjjnjjjj,.,2,1,01min11010l记为 ：l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理和最小性公理而唯一确定的。l注：这里缺少了锥性公理。生产可能集中多了参数之和为1的条件。BCCT,.,1,1,0,|),(111njYYXXYXnjjjnjjjnjjjlFG模型是由Fare 和Grosskopf于1985年创立的。基于输入的模型记为 ：IFGDnjYYXXfjnjjnjjjjnjjjj,.,2,1,01min11010l记为l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、压缩性公理和最小性公理而唯一确
18、定的。,.,1,1,0,|),(111njYYXXYXnjjjnjjjnjjjFGTlST模型是由Seiford 和Thrall于1990年创立的。基于输入的模型记为 ：ISTDnjYYXXfjnjjnjjjjnjjjj,.,2,1,01min11010l记为 ：l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、扩张性公理和最小性公理而唯一确定的。STT,.,1,1,0,|),(111njYYXXYXnjjjnjjjnjjjl基于这三个模型（弱）有效性概念与基于CCR的（弱）有效性概念类似。l l4个模型的基础-生产可能集不同。l l一个DMU，在不同的模型之下，（弱）有效性可能不同。l l例7.4
19、3个DMU的输入输出指标如下：lDMU 1 2 3l x 1 3 4l y 2 3 1l结论1：l(弱)DEA有效性（CCR）(弱)DEA有效性（FG）和(弱)DEA有效性（ST）l结论2：l(弱)DEA有效性（FG）或者(弱)DEA有效性（ST）(弱)DEA有效性（BCC）l l例7.5 4个DMU的相关数据如下：lDMU 1 2 3 4l x 1 1 3 5l y 2 1 4 4l弱DEA有效(CCR)：DMU1lInput-弱DEA有效(BCC)：DMU1,2,3lOutput-弱DEA有效(BCC)：DMU1,3,4lInput-弱DEA有效(FG)：DMU1,3lOutput-弱DE
20、A有效(FG)：DMU1,3,4lInput-弱DEA有效(ST)：DMU1,2lOutput-弱DEA有效(ST)：DMU1l l4个DMU：分别为普通医院、大学医院、乡村医院和州立医院。l3个投入指标：x1专职医护人员的数量；x2物资投入量；x3可利用床位天数。l4个产出指标：y1病人接受医疗服务的天数；y2 病人接受非医疗服务的天数；y3护士培训天数；y4实习医师培训天数。DMU输入项 1 2 3 4l x1 285.2 162.3 275.7 210.4l x2 123.8 128.7 348.5 154.1l x3 106.72 64.21 104.1 104.04l DMUl输出项
21、 1 2 3 4l y1 48.14 34.62 36.72 33.16l y2 43.10 27.11 45.98 56.46l y3 253 148 175 160l y4 41 27 23 84l njYYXXfjnjjnjjjjnjjjj,.,2,1,01min110107.2754.2107.2753.1622.28543215.3481.1545.3487.1288.12343211.10404.1041.10421.6472.106432172.3616.3372.3662.3414.48432198.4546.5698.4511.271.43432117516017514825
22、343212384232741432114321.4,3,2,1,0jjl l10.2123 l2 0.2604 l3 0 l4 0.5273 l5 0.9052 l*1*2*3*4*l1C1 35.5525 l2C2 174.2643 l3C3 0 l4C4 0 l5C5 0 l6C6 1.6154 l7C7 37.0271 l8C8 0 l1 0 l2 0.6280 l3 0 l4 0.5128 l5 0.8999*1*2*3*4*l 1 对于CCR模型来说，一个决策单元是否有效，按基于输入和基于输出得到的结论相同。l l 2 对于BCC模型来说，一个决策单元是否(弱)有效，按基于输入和基
23、于输出得到的结论不一定相同。FG，ST模型情况与BCC模型类似。l西方经济学的生产理论研究的是生产者的行为，其中一个重要的规律就是规模经济。l 规模：指的是要素投入的数量的大小。l规模经济：在技术水平不变的情况下，要素投入扩大对产量的影响：规模收益递增、不变和递减，甚至产量绝对减少“拥挤”现象。l西方经济学中，要素的投入数量是生产函数中的自变量，而所能达到的最大产量是其因变量：l一般地，可假设有m种投入，则生产函数记为：l或者记为：),(ENKLfQ),.,(21mxxxfy TmxxxXXfy),.,(),(21其中l以原投入 的 倍进行投入：l产出为：l产出是否同倍数增长呢？要比较l结论：
24、)1(kk),.,(21mkxkxkxkX),.,()(21mkxkxkxfkXf)()(XkfkXf与X；，则规模收益是递增的若)()(XkfkXf；，则规模收益是不变的若)()(XkfkXf；，则规模收益是递减的若)()(XkfkXfl例7.6 三个决策单元，根据定义研究规模收益。lDMU 1 2 3l x 1 3l y 2 4l由单产出向多产出过渡需要做许多工作，是一个复杂的过程。l生产函数 有效生产前沿面l拓展规模收益递增、递减或不变的概念l给出明确的判别条件l与生产函数的表述相似，我们这部分的研究全部用基于输出的模型。l设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，则l（1）DMUj0为规模
25、收益递增的充要条件是：DMUj0为弱DEA有效(ST)，但不为弱DEA有效(FG)；l（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是：DMUj0不为弱DEA有效(ST)，但为弱DEA有效(FG)；l（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是：DMUj0既为弱DEA有效(ST)，又为弱DEA有效(FG)，即为弱DEA有效(CCR)。l设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，且l为 的最优解，则l（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是l（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是*,zOCCRD;1,11*njjz且;1,11*njjz且l（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是：l即DMUJ0为弱
26、DEA有效（CCR）;1*zl如果只用BCC模型判定，需要引入 ：OBCCP100000,0,01,.,2,1,0)min(EYnjYXXTTjTjTjTjTl设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，则l（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是 的所有最优解中都有 ；l（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是 的所有最优解中都有 ；l（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是 存在一组最优解有 ；OBCCP0*0OBCCP0*0OBCCP0*0l从基于输出的模型来看，（弱）DEA有效（BCC）意味着输出相对输入而言已达“最大”，这与生产函数的意义相同，这当然是在一定的技术水平（生产要素的配合
27、比例）下实现的，故称其为“技术有效”。l从前述几个结论可得,弱DEA有效（CCR）可推出规模效益不变，称其为“规模有效”，即投入的规模既不偏小，也不偏大。l弱DEA有效(CCR)既包含了规模有效，又包含了技术有效。所以，当一个决策单元无效时，可能的原因也许是资源配置比例不当，或者是不适度规模。l对于非弱DEA有效(BCC)的决策单元DMUj0，也可以评估其规模收益状况。l考虑模型 ：l最优解lDMUj0某弱有效前沿面的“投影”，并且是弱DEA有效的(BCC)，将 的规模收益视为DMUj0的规模收益进行讨论（注：决策单元为n+1个）。OBCCD是称记),(,000*000*jjjjjjYXYzY
28、XXz),(00jjYXlDMU 1 2 3 4 l x 4 6 10 5l y 4 6 8 4lDMU4非弱DEA有效，讨论其规模收益状况。lDMU 1 2 3l x 2 4 5l y 2 1 3.5l讨论DMU3的规模收益状况。lDMUj0显示“拥挤”迹象的充要条件是:l不为弱DEA有效(ST)同时也不为弱DEA有效(FG).lDMU 1 2 3 4 5l x 2 3 6 9 11l y 2 5 6 6 3 lDMU 1 2 3 4 5l ST 弱 弱 非 非 非l FG 非 弱 弱 弱 非l结论 递增 不变 递减 递减 拥挤l 1 确定评价目的；l 2 选择DMU；l 3 建立输入输出指标体系。指标的数量应为DMU数量的2-3倍以上。l 4 选择模型；l 5 计算结果；l 6 分析（可以采用加减指标的方法）。l1 估计前沿生产函数；l2 技术进步的估计与评价；l3 生产力指标的计算（生产力是将投入变成产出的能力）；l 4 总体成本有效性的分析；l5 预测；l6 区域经济的预警；l7分类；l8 相对有效性的控制。
