1、1.(2018北京,3,2分)方程组 的解为 ( ) A. B. C. D.,北京中考题组,答案 D 3-得5y=-5,解得y=-1,把y=-1代入得x=2,所以方程组的解为 故选D.,2.(2017北京,12,3分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单 价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为 .,答案,解析 由4个篮球和5个足球共花费435元,可得4x+5y=435.由篮球的单价比足球的单价多3元,可得x=y+3.故 可列方程组为,3.(2015北京,14,3分)关于x的一元二次方程ax2+b
2、x+ =0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b 的值:a= ,b= .,答案 1;1(满足a=b2(a0)即可),解析 方程为一元二次方程,且有两个相等的实数根, a0,=b2-a=0.a=b2(a0).例如a=1,b=1.答案不唯一.,4.(2019北京,19,5分)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.,解析 由题意,得=(-2)2-4(2m-1)0.解得m1. m为正整数,m=1.此时,方程为x2-2x+1=0. 解得x1=x2=1.当m=1时,方程的根为x1=x2=1.,5.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2
3、+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.,解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0,x1=x2=-1.,6.(2017北京,21,5分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.,解析 (1)证明:依题意,得=-(k+3)
4、2-4(2k+2)=(k-1)2.(k-1)20,方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x= , x1=2,x2=k+1. 方程有一个根小于1,k+11,k0, 即k的取值范围是k0.,7.(2016北京,20,5分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.,解析 (1)依题意,得=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+50, 解得m- . (2)答案不唯一.如:m=1. 此时方程为x2+3x=0. 解得x1=-3,x2=0.,思路分析 (1)利用一元二次方程的根的判别式列不等式
5、,求m的取值范围.(2)结合(1)确定m的值,解方程.,方法技巧 依据所求出的m的取值范围确定m的值时,尽量取较特殊的值,例如:可以使一次项系数为0的- 或使常数项为0的1或-1.,考点一 一元一次方程、二元一次方程(组),教师专用题组,1.(2018河南,6,3分)九章算术中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价 各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱.问合伙人数、羊价各 是多少?设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 根据等量关系“每人出5钱,还差45钱”得,
6、y=5x+45;根据等量关系“每人出7钱,还差3钱”得,y= 7x+3,联立得方程组.故选A.,2.(2018黑龙江齐齐哈尔,8,3分)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张,联系青年志愿者在周日参与活 动,活动累计56个小时的工作时间,需要每名男生工作5个小时,每名女生工作4个小时,小张可以安排学生参 加活动的方案共有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种,答案 C 设安排x名男生,y名女生,则5x+4y=56,x,y为非负整数,可得y14,举例验证可得当y=14时,x=0, 当y=9时,x=4,当y=4时,x=8,所以可以安排4名女生,8名男生;9名女生,4名男生;14名女生参加活
7、动,所以方案共 有3种,故选C.,3.(2016广西南宁,10,3分)超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打“八折”,第二次降价每个又 减10元,经两次降价后售价为90元,则得到方程 ( ) A.0.8x-10=90 B.0.08x-10=90 C.90-0.8x=10 D.x-0.8x-10=90,答案 A 每个书包原价是x元,则第一次打八折后的价格是0.8x元,第二次降价10元后的价格是(0.8x-10)元, 则可得方程0.8x-10=90.故选A.,4.(2016黑龙江哈尔滨,7,3分)某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母.1个螺钉需要 配2个螺母
8、,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是( ) A.21 000(26-x)=800x B.1 000(13-x)=800x C.1 000(26-x)=2800x D.1 000(26-x)=800x,答案 C 若安排x名工人生产螺钉,则生产螺母的工人为(26-x)名.根据题意,可列方程为1 000(26-x)=2800x, 故选C.,5.(2018四川成都,13,4分)已知 = = ,且a+b-2c=6,则a的值为 .,答案 12,解析 设 = = =k(k0),则a=6k,b=5k,c=4k, a+b-2c=6,6k+5k-8k=6.解得k=2.
9、a=6k=12.,6.(2018黑龙江齐齐哈尔,15,3分)爸爸沿街匀速行走,发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车,每隔5分 钟迎面驶来一辆103路公交车.假设每辆103路公交车行驶速度相同,而且103路公交车总站每隔固定时间发 一辆车,那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的 倍.,答案 6,解析 如图所示,设公交车每分钟行驶x米, 爸爸每分钟走y米,依题意得7x-7y=5x+5y, 解得x=6y, 所以公交车行驶速度是爸爸行走速度的6倍.,7.(2019福建,17,8分)解方程组:,解析 本小题考查二元一次方程组的解法等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化思想,满分8分. +,得
10、(x-y)+(2x+y)=5+4, 即3x=9,解得x=3,将x=3代入, 得23+y=4,解得y=-2. 所以原方程组的解为,8.(2019河北,18,4分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数. 示例: 即4+3=7. 则(1)用含x的式子表示m= ; (2)当y=-2时,n的值为 .,答案 (1)3x (2)1,解析 (1)根据约定可得x+2x=m,即m=3x. (2)根据约定及(1)可得n=2x+3,y=m+n=3x+2x+3=5x+3,当y=-2时,5x+3=-2,解得x=-1.所以n=2x+3=2(-1)+3=1.,9.(2019内蒙古呼和浩特,22,6分)滴
11、滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:,小王与小张各自乘坐滴滴快车,在同一地点约见,已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6千米与 8.5千米,两人付给滴滴快车的乘车费相同. (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟; (2)实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一 人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟,计算俩人各自的实,际乘车时间.,解析 设小王和小张实际乘车时间分别为x分钟和y分钟. (1)由题意知1.86+0.3x=1.88.5+0.3y+(8.5-7)0.8, x-y=1
12、9, 小王和小张的实际乘车时间即为两辆滴滴快车实际行车时间, 这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟. (2)由(1)知,小张实际乘车的时间短, 解得 答:小王和小张实际乘车时间分别为37分钟和18分钟.,思路分析 (1)根据计费项目及单价分别表示出两人的乘车费用,建立方程求出时间差;(2)根据题意所述的 等量关系,列出另一个方程1.5y= x+8.5,与(1)中的方程组成方程组,求解即可.,10.(2018湖北黄冈,16,6分)在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽 子24元/千克,若B型粽子的质量比A型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2 5
13、60元,求两种型号粽子各 多少千克.,解析 设A型粽子x千克,B型粽子y千克, 由题意得 解得 答:A型粽子40千克,B型粽子60千克.,考点二 一元二次方程,1.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根,答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两个 不相等的实数根,故选A.,2.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b
14、=4,解出其中一个根是x=-1.他 核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根,答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应该 为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,所以原方程不存在实数根,故选A.,3.(2018安徽,7,4分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1,答案 A 原方程可化为x
15、2+(a+1)x=0,由题意得=(a+1)2=0,解得a=-1,故选A.,4.(2018河南,7,3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 ( ) A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0,答案 B 选项A,=0,方程有两个相等实数根;选项B,=10,方程有两个不相等实数根;选项C,=-80,方 程无实数根;选项D,(x-1)2=-1无实数根,故选B.,5.(2018乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天 的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天
16、支出20元的费用.当房 价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有 ( ) A.(180+x-20) =10 890 B.(x-20) =10 890 C.x -5020=10 890 D.(x+180) -5020=10 890,答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有 个,所以有游客居住的房间有 个,则宾馆当天 的利润为 (x-20)元,故B正确.,思路分析 先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而得 出宾馆当天的利润并列出等式.,6.(2018福建,10,4分)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)
17、=0有两个相等的实数根,下列判断正确的 是 ( ) A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根,答案 D 由=(2b)2-4(a+1)2=0得b=(a+1), 因为a+10,所以b0. 当b=-(a+1)时,x=1是方程x2+bx+a=0的根; a+10,a可以取0,故x=0可能是方程x2+bx+a=0的根; 当b=a+1时,x=-1是方程x2+bx+a=0的根. 因为b=-(a+1)和b=a+1不能同时成立,所以x=1和x=-1不能
18、同时为方程x2+bx+a=0的根,故选D.,7.(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根 都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 B 关于x的方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,=b2-4ac=4-4(m-2)0,m3. m为正整数,m=1或2或3. 当m=1时,方程x2+2x-1=0的两根不是整数,不满足题意. 当m=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B.,8.(2017内蒙古呼和浩特,5,3分)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互
19、为相反数,则a的值 为 ( ) A.2 B.0 C.1 D.2或0,答案 B 由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相反数的两数之和为0,-(a2-2a)=0,解 得a=0或2.当a=2时,原方程为x2+1=0,无解;当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a=0.,易错警示 本题易忽视当a=2时,原方程无解这一情况,从而导致错误.,9.(2016河北,14,2分)a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0,答案 B 由(a-c
20、)2a2+c2,得a2-2ac+c2a2+c2,即-2ac0,所以-4ac0.又因为b20,所以=b2-4ac0,所以方程有 两个不相等的实数根.,10.(2016山东青岛,8,3分)输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:,分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为 ( ) A.20.5x20.6 B.20.6x20.7 C.20.7x20.8 D.20.8x20.9,答案 C 根据程序及输出结果可知当x=20.7时,(x+8)2-826=-2.310,(x+8)2 -826=0的一个正数解x的大致范围为20.7x20.8,故选C.,11.(201
21、5宁夏,7,3分)如图,某小区有一块长为18 m,宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿 地,它们的面积之和为60 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行通道的宽度为x m,则 可以列出关于x的方程是 ( ) A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0,答案 C 由题意得(18-3x)(6-2x)=60,化简得x2-9x+8=0.,12.(2015甘肃兰州,11,4分)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨 停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一只股票某
22、天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这 两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是 ( ) A.(1+x)2= B.(1+x)2= C.1+2x= D.1+2x=,答案 B 设原价为1,则某天跌停后是0.9,根据题意可列方程为0.9(1+x)2=1,即(1+x)2= ,故选B.,13.(2019内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.,解析 原方程可化为2x2-9x-34=0, x2- x-17=0,x2- x=17, x2- x+ =17+ , = , x- = , x1= ,x2= .,14.(2019辽宁大连,21,9分)某村2016
23、年的人均收入为20 000元,2018年的人均收入为24 200元. (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率; (2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年该村的人均收入是 多少元.,解析 (1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x, 由题意得20 000(1+x)2=24 200, 解得x1=-2.1(舍),x2=0.1=10%. 答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%. (2)24 200(1+10%)=24 2001.1=26 620元. 答:预测2019年该村的人均收入为26 620元.
24、,考点一 一元一次方程、二元一次方程(组),1.(2019北京西城一模,3)方程组 的解为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 2+得9x=9,解得x=1,代入得y=2,所以方程组的解为 故选C.,2.(2019北京丰台一模,4)方程组 的解为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 2-得y=-3,再代入得x=-1,故选C.,3.(2019北京延庆一模,11)命题“关于x的一元二次方程x2-mx+1=0,必有两个不相等的实数根”是假命题,则 m的值可以是 .(写一个即可),答案 0(答案不唯一),解析 =m2-4,若m=0,则0,一元二次方程无实数根.0即可说明命题为假命题,答案不唯
25、一.,4.(2019北京延庆一模,14)某校要组织体育活动,体育委员小明带x元去买体育用品.若全买羽毛球拍刚好可 以买20副,若全买乒乓球拍刚好可以买30个,已知每个乒乓球拍比每副羽毛球拍便宜5元,依题意,可列方程 为 .,答案 - =5,解析 x元可买羽毛球拍20副,则一副的价格为 元,同理一个乒乓球拍的价格为 元,因为每个乒乓球拍 比每副羽毛球拍便宜5元,可列方程 - =5.,5.(2018北京海淀一模,13)京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施,考虑到不同路段的特殊情况, 将根据不同的运行区间设置不同的时速.其中,北京北站到清河站一段全长11千米,分为地下清华园隧道和 地上区
26、间两部分,运行速度分别为80千米/时和120千米/时.按此运行速度,地下隧道运行时间比地上多2分钟 ,求清华园隧道全长为多少千米.设清华园隧道全长为x千米,依题意,可列方程为 .,答案 - =,解析 由题意可知地下运行的时间为 小时,地上运行的时间为 小时,由地下隧道运行时间比地上多 2分钟 ,可列方程为 - = .,6.(2018北京朝阳一模,11)足球、篮球、排球已经成为北京体育的“三张名片”,越来越受广大市民的关注. 下表是北京两支篮球队在2017至2018年赛季常规赛中的比赛成绩:,设胜一场积x分,负一场积y分,依题意,可列二元一次方程组为 .,答案,解析 积分是胜场积分与负场积分的和
27、,所以可列方程组为,7.(2018北京燕山一模,14)如图,10块相同的长方形卡片拼成一个大长方形,设长方形卡片的长和宽分别为x 和y,则依题意,可列方程组为 .,答案,解析 由题图可知,长方形卡片的长等于宽的3倍,一个长加上两个宽为75,则可列方程组为,考点二 一元二次方程,1.(2018北京顺义一模,11)把方程x2-3=2x用配方法化为(x+m)2=n的形式,则m= ,n= .,答案 -1;4,解析 x2-3=2x,整理得x2-2x-3=0,即x2-2x+1-1-3=0,配方得(x-1)2=4.(x+m)2=n,m=-1,n=4.,2.(2019北京海淀一模,20)关于x的一元二次方程a
28、x2+2ax+c=0. (1)若方程有两个相等的实数根,请比较a,c的大小,并说明理由; (2)若方程有一个根是0,求此时方程的另一个根.,解析 (1)依题意可知,a0,=0.4a(a-c)=0.a=c. (2)方程有一个根是0,c=0.ax2+2ax=0,即ax(x+2)=0. 方程的另一个根为-2.,3.(2019北京东城一模,20)已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根. (1)求a的取值范围; (2)当a为符合条件的最大整数时,求此时方程的解.,解析 (1)关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根, 0,即(-3)2-4(a-2)0,解得a . (2分) (2
29、)由(1)可知a , a的最大整数值为4. (3分) 此时方程为x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2. (5分),4.(2019北京石景山一模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根都是正整数,求m的最小值.,解析 (1)证明:依题意,得=-(m+3)2-4(m+2) =m2+6m+9-4m-8=(m+1)2. (m+1)20, (3分) 0.方程总有两个实数根. (4分) (2)解方程,得x1=1,x2=m+2, 方程的两个实数根都是正整数, m+21.m-1.m的最小值为-1.,5.(2019北京平
30、谷一模,20)已知关于x的一元二次方程x2+(k-1)x+k-2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程恰有一根为正数,求实数k的取值范围.,解析 (1)证明:=k2-2k+1-4k+8 (1分) =(k-3)2. (2分) (k-3)20,方程总有两个实数根. (3分) (2)x= , x1=-1,x2=2-k. (4分) 方程恰有一根为正数,2-k0,k2. (5分),6.(2018北京海淀一模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2+1=0. (1)若m是方程的一个实数根,求m的值; (2)若m为负数,判断方程根的情况.,解析 (1)m是方程的一个实数根,
31、 m2-(2m-3)m+m2+1=0,m=- . (2)=-(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5. m0,=-12m+50. 此方程有两个不相等的实数根.,7.(2018北京朝阳一模,20)已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若该方程有一个根是正数,求k的取值范围.,解析 (1)证明:依题意,得=(k+1)2-4k=(k-1)2, (k-1)20,方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x1=-1,x2=-k. 方程有一个根是正数,-k0,k0.,8.(2018北京丰台一模,20)已知:关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0
32、有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)如果m为非负整数,且该方程的根都是整数,求m的值.,解析 (1)方程有两个不相等的实数根, =(-4)2-42m=16-8m0,m2. (2)m2,且m为非负整数,m=0或1. 当m=0时,方程为x2-4x=0,解得x1=0,x2=4,符合题意; 当m=1时,方程为x2-4x+2=0,它的两个根都不是整数,不符合题意,舍去.综上所述,m=0.,1.(2019北京延庆一模,6)周末,小明带200元去图书大厦,下表记录了他全天的所有支出,其中小零食支出的 金额不小心被涂黑了,如果每包小零食的售价为15元,那么小明可能剩下多少元?,A.5 B.1
33、0 C.15 D.30,40分钟 60分,一、选择题(每小题2分,共2分),答案 A 由题意可知买小零食的钱最多有200-20-140-5=35元,最多买两袋小零食,若买一袋小零食, 还剩20元,若买两袋小零食,还剩5元.故选A.,二、填空题(每小题2分,共16分) 2.(2018北京西城一模,12)从杭州东站到北京南站,原来最快的一趟高铁G20次约用5 h到达.从2018年4月10 日起,全国铁路开始实施新的列车运行图,并启用了“京杭高铁复兴号”,它的运行速度比原来的G20次的 运行速度快35 km/h,约用4.5 h到达.如果在相同的路线上,杭州东站到北京南站的距离不变,求“京杭高铁复 兴
34、号”的运行速度.设“京杭高铁复兴号”的运行速度为x km/h,依题意,可列方程为 .,答案 5(x-35)=4.5x,解析 复兴号的速度为x km/h,时间为4.5 h,则路程为4.5x km;G20次的速度为(x-35)km/h,时间为5 h,则路程 为5(x-35)km.因为路程相等,所以可列方程为5(x-35)=4.5x.,思路分析 需要借助路程相等来表示等量关系.,3.(2019北京朝阳一模,10)用一组a,b,c的值说明命题“若ac=bc,则a=b”是错误的,这组值可以是a= ,b= ,c= .,答案 答案不唯一,如1;2;0,解析 因为命题“若ac=bc,则a=b”是错误的,根据等
35、式性质3,等号两边除以不为零的数,等号不变,所以c= 0,a只需要不等于b即可,答案不唯一,如a=1,b=2,c=0.,思路分析 本题需要举出反例说明命题错误,即举出的是使命题“若ac=bc,则a=b”不成立的例子.,解题关键 解决本题的关键是熟知相应定理的使用条件,在等式中要关注0,在不等式中要关注0和负数.,4.(2019北京石景山一模,15)我国古代数学著作算法统宗中记载了“绳索量竿”问题,其大意为:现有一 根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.求绳索和竿的 长度.设绳索长x尺,竿长y尺,可列方程组为 .,答案,解析 由“用绳索去量竿,绳
36、索比竿长5尺”可列方程x=y+5,由“如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5 尺”可列方程 =y-5.所以可列方程组,5.(2019北京平谷一模,12)甲、乙二人分别从相距20 km的A,B两地出发,相向而行.如图是小华绘制的甲、乙 二人运动两次的情形,设甲的速度是x km/h,乙的速度是y km/h,根据题意所列的方程组是 .,答案,解析 由第一个线段图可知,甲走2.5 h的路程+乙走2 h的路程=A,B两地的距离;由第二个线段图可知,甲走1 h的路程+乙走1 h的路程+11 km=A,B两地的距离.所以可列方程组,解题关键 解决本题的关键是借助线段图表示相应的路程,进而借助总路程不变列出方
37、程组.,6.(2019北京丰台一模,15)京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施.京张高铁设计时速350公里, 建成后,乘高铁从北京到张家口的时间将缩短至1小时.如图,京张高铁起自北京北站,途经昌平、八达岭长 城、怀来等站,终点站为河北张家口南,全长174公里.如果按此设计时速运行,设每站(不计起始站和终点站, 不考虑列车起步、减速进站时间)停靠的平均时间是x分钟,那么依题意,可列方程为 .,答案 8 + =1,解析 一站停靠的平均时间是x分钟= 小时,不计起始站和终点站,共有8个车站,则一共停靠的时间是8 小时,行驶里程174公里,则共需要 小时,由全程为1小时可列方程8 + =1
38、.,7.(2019北京昌平二模,13)某学校决定用1 200元购买篮球和排球,其中篮球每个120元,排球每个90元,至少买 一个排球,在购买资金恰好用尽的情况下,购买方案有 种.,答案 3,解析 根据题意,设购买篮球x个,购买排球y个,可列方程120x+90y=1 200,整理得x= =10- y,所以 排球可买4、8、12个,共有3种购买方案.,一题多解 本题还可以直接代数进行验证,1 200120=10,且至少买一个排球,所以篮球最多买9个,120x+90y =1 200,将x=1,2,9,依次代入验证也可以解决本题.,8.(2018北京丰台一模,14)营养学家对初中学生进行了一项调查:甲
39、组学生每天正常进餐,乙组学生每天除正 常进餐外,每人还增加600 mL牛奶.一年后营养学家统计发现:乙组学生平均身高的增长值比甲组学生平均 身高的增长值多2.01 cm,甲组学生平均身高的增长值比乙组学生平均身高的增长值的75%少0.34 cm.设 甲、乙两组学生平均身高的增长值分别为x cm、y cm,依题意,可列方程组为 .,答案,解析 由乙组学生平均身高的增长值比甲组学生平均身高的增长值多2.01 cm,可列方程y=x+2.01,由甲组 学生平均身高的增长值比乙组学生平均身高的增长值的75%少0.34 cm,可列方程x=75%y-0.34,则可列方程 组为,9.(2017北京丰台一模,1
40、5)众所周知,中华诗词博大精深,集大量的情景情感于短短数十字之间,或豪放,或婉 约,或思民生疾苦,或抒发己身豪情逸致,文化价值极高.而数学与古诗词更是有着密切的联系.古诗中,五言 绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一本诗集,其中五言绝句比七言绝句 多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首?设七言绝句有x首,根据题意,可列方程为 .,答案 28x-20(x+13)=20,解析 七言绝句有x首,则五言绝句有(x+13)首.五言绝句每首有45个字,七言绝句每首有47个字,根据五言 绝句比七言绝句字数少了20个字,可列方程为28x-20(x+13)=20.,
41、三、解答题(共42分) 10.(2019北京西城一模,20)已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0. (1)当c=b-2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的非零实数根,写出一组满足条件的b,c的值,并求此时方程的根.,解析 (1)证明:c=b-2,=b2-4c (1分) =b2-4(b-2)=(b-2)2+4. (2分) (b-2)20,(b-2)2+40,即0. 方程有两个不相等的实数根. (3分) (2)由题意可知,b2=4c,c0. 以下答案不唯一,如:当b=2,c=1时, (4分) 方程为x2+2x+1=0.解得x1=x2=-1. (5分),11.(201
42、9北京朝阳一模,20)已知关于x的方程mx2+(2m-1)x+m-1=0(m0). (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根都是整数,求整数m的值.,解析 (1)证明:m0, mx2+(2m-1)x+m-1=0是关于x的一元二次方程. =(2m-1)2-4m(m-1) (1分) =1. (2分) 10,方程总有两个不相等的实数根. (3分) (2)由求根公式,得x= . x1=-1,x2= -1. (4分) 方程的两个实数根都是整数,且m为整数, m=1. (5分),12.(2019北京丰台一模,19)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0. (1)求
43、证:方程总有两个实数根; (2)若方程两个实数根的绝对值相等,求此时m的值.,解析 (1)=(m+3)2-4(m+2)=(m+1)20, 方程总有两个实数根. (2分) (2)x= ,x1=m+2,x2=1. 方程两个实数根的绝对值相等, m+2=1.m=-3或-1. (5分),13.(2019北京门头沟一模,20)已知:关于x的方程mx2+(3-m)x-3=0(m为实数,m0). (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m的值.,解析 (1)证明:m0, 方程mx2+(3-m)x-3=0为一元二次方程. (1分) 依题意,得=(3-m)2+12m=(
44、m+3)2. (2分) (m+3)20,此方程总有两个实数根. (3分) (2)由求根公式,得x= . x1=1,x2=- (m0). (4分) 此方程的两个实数根都为正整数, 整数m的值为-1或-3. (5分),易错警示 本题最后一问要求两个实数根都为正整数,所以x2=- 要为正整数,m应为负数.,14.(2019北京西城二模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(k+5)x+3k+6=0. (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)若此方程有一个根大于-2且小于0,k为整数,求k的值.,解析 (1)证明:依题意,得=-(k+5)2-4(3k+6) =k2-2k+1=(k-1)2. (1分)
45、 (k-1)20,此方程总有两个实数根. (2分) (2)解方程得x= , 方程的两个根为x1=k+2,x2=3. 由题意可知,-2k+20,即-4k-2. k为整数,k=-3. (5分),15.(2018北京东城一模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0. (1)求证:无论实数m取何值,方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根的平方等于4,求m的值.,解析 (1)证明:=-(m+3)2-4(m+2)=(m+1)2, (m+1)20, 无论实数m取何值,方程总有两个实数根. (2)由求根公式得x1=1,x2=m+2, 方程有一个根的平方等于4, (m+2)2=4. 解
46、得m=-4或m=0.,16.(2018北京石景山一模,20)关于x的一元二次方程mx2+(3m-2)x-6=0. (1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)当m为何整数时,此方程的两个根都为负整数?,解析 (1)方程为一元二次方程,m0. =(3m-2)2+24m=(3m+2)20, 当m0且m- 时,方程有两个不相等的实数根. (2)解方程mx2+(3m-2)x-6=0,得x1= ,x2=-3. m为整数,且方程的两个根均为负整数, m=-1或m=-2. 即m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数.,17.(2017北京东城一模,22)在某场CBA比赛中,某位运动员的技术统
47、计如下表所示:,注:(1)表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球; (2)总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分. 根据以上信息,求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个.,解析 设本场比赛中该运动员投中两分球x个,三分球y个. 依题意有 解得 答:本场比赛中该运动员投中两分球6个,三分球5个.,18.(2017北京怀柔二模,23)小明遇到这样一个问题.已知: =1.求证:b2-4ac0. 经过思考,小明的证明过程如下: =1,b-c=a.a-b+c=0.接下来,小明想:若把x=-1代入一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),恰好得到a-b+c =0.这说明一元二次方程ax2+bx+c
48、=0有根,且一个根是x=-1.所以,根据一元二次方程根的判别式的知识易证b 2-4ac0. 根据上面的解题经验,小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目: 已知: =-2.求证:b24ac.请你参考上面的方法,写出小明所编题目的证明过程.,证明 =-2,4a+c=-2b. 4a+2b+c=0. x=2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根. b2-4ac0, b24ac.,1.(2018河北,7,3分)有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”,其中,同一种物体的质量都相等.现左右手中 同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是( ),答案 A 设 的质量为x, 的质量为y, 的质量为z, 观察题图可知选项A中2x=3y,而选项D中2x=4y,显然其中一个选项是符合题意的,而选项B,C都是不符合题 意的,选项B中2z+x=2z+2y,可得x=2y,选项C中z+x=z+2y,可
