1、1.(2019重庆A卷,12,4分)如图,在ABC中,D是AC边的中点,连接BD,把BDC沿BD翻折,得到BDC,DC与 AB交于点E,连接AC.若AD=AC=2,BD=3,则点D到BC的距离为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 如图,连接CC,交DB于点M,过点D作DHCB于点H. 由翻折的性质可知DC=DC,BC=BC. 点D、B在CC的垂直平分线上, BD垂直平分CC. AD=AC=2,DC=DC,点D是AC边的中点, AD=AC=DC=2,即ADC为等边三角形, CDA=60. DC=DC,DBCC,BDC= CDC= 120=60, CM=DCsinMDC=2sin 60=2
2、 = , DM=DCcosMDC=2cos 60=2 =1. BM=BD-DM=3-1=2. BC= = = . SBDC= BDMC= DHBC, 3 = DH ,解得DH= . 由题意可知BDCBDC, D到CB的距离=DH= .故选B.,疑难突破 求点D到CB的距离,一般是利用等面积法,本题中,SDBC= DHBC= BDCM,其中BC,BD,CM可 以求出来,这样便可求出DH的长,从而再利用全等三角形对应边上的高相等,得到D到CB的距离等于DH的长.,2.(2018许昌二模,15)如图,在RtABC中,ACB=90,A=30,BC=2,点D是边AB上的动点,将ACD沿CD所 在直线折叠
3、至ACD的位置,CA交AB于E.若AED为直角三角形,则AD的长为 .,答案 3- 或2,解析 以点C为圆心,AC长为半径画弧,则点A在这条弧上. 如图1,当ADE=90时, A=A=30, AED=BEC=B=60, BEC是等边三角形, 图1 CE=BC=2, 又RtABC中,B=60,AC= BC=2 ,即AD的长为2. 综上所述,AD的长为3- 或2.,思路分析 分两种情况讨论:当AED为直角三角形时,有ADE=90和AED=90两种情况,分别依据直 角三角形的边角关系,即可求得AD的长.,3.(2018南阳镇平二模,15)已知RtABC中,B=90,AB=4,BC=3,点M,N分别在
4、边AB、AC上,将AMN沿直线 MN折叠,点A落在点P处,且点P在射线CB上,当PNC为直角三角形时,PN的长为 .,答案 或,解析 在RtABC中,ABC=90,AB=4,BC=3, AC= =5, 设AN=PN=x(x0),则CN=5-x. 当NPC=90时,如图1, 图1 NPC=B=90,C=C, NPCABC, = ,即 = ,解得x= . PN= .,当PNC=90时,如图2, PNC=ABC=90,C=C, PNCABC, = . = ,解得x= . PN= . 综上所述,PN的长为 或 . 图2,4.(2017商丘模拟,15)如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射
5、线DC上一个动点,把ADE沿直线AE折叠, 当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,DE的长为 .,答案 或10,解析 分两种情况: 如图1,当点F在矩形内部时, 点F在线段AB的垂直平分线MN上,AN=4. 在RtAFN中,AF=AD=5, 由勾股定理得FN=3,FM=2. 设DE为x,则EM=4-x,FE=x. 在RtEMF中,由勾股定理得x2=(4-x)2+22, 解得x= ,即DE的长为 . 如图2,当点F在矩形外部时,同的方法可得FN=3,FM=8. 设DE为y,则EM=y-4,FE=y, 在RtEMF中,由勾股定理得:y2=(y-4)2+82, 解得y=10,即DE的长为
6、10. 综上所述,点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,DE的长为 或10.,思路分析 根据题意知,折痕运动但是过定点A,则折叠后的D的对应点F在以A为圆心,AD长为半径的圆上, 与线段AB的垂直平分线的交点即为所求位置,所以点F在矩形内部和外部两个位置,在构成的RtAFN和Rt EMF中分别根据折叠的性质以及勾股定理,列方程进行计算求解,即可得到DE的长.,5.(2017漯河二模,15)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把ABE折叠,当点B的对应点B 落在ADC的平分线上时,则点B到BC的距离为 .,答案 2或1,解析 连接BD,过点B作BMAD于M. 点B的对
7、应点B落在ADC的平分线上, MDB=MBD=45. 在RtBDM中,设DM=BM=x,则AM=7-x. 由折叠知AB=AB=5. 在RtAMB中,由勾股定理得AM2=AB2-BM2, 即(7-x)2=25-x2, 解得x=3或x=4, 点B到BC的距离为2或1.,6.(2017林州二模,15)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P 为BC边上的动点(点P不与点B,C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B和折痕OP(如图),经过点P再次折 叠纸片,使点C落在直线PB上,得点C和折痕PQ(如图),当点C恰好落在OA上时,点P的坐标是 .,
8、答案 或,7.(2017山东营口,17,3分)在矩形纸片ABCD中,AD=8,AB=6,E是边BC上的点,将纸片沿AE折叠,使点B落在点 F处,连接FC,当EFC为直角三角形时,BE的长为 .,答案 3或6,解析 当EFC=90时,如图1, AFE=B=90,EFC=90, A、F、C三点共线, 矩形ABCD的边AD=8, BC=AD=8, 在RtABC中,AC= = =10, 设BE=x,则CE=BC-BE=8-x, 由翻折的性质得,AF=AB=6,EF=BE=x, CF=AC-AF=10-6=4, 在RtCEF中,EF2+CF2=CE2, 即x2+42=(8-x)2, 解得x=3,即BE=
9、3. 当CEF=90时,如图2,由翻折的性质得,AEB=AEF= 90=45, 四边形ABEF是正方形, BE=AB=6. 综上所述,BE的长为3或6.,8.(2017南阳唐河三模,15)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将ABE沿AE折叠,得 到ABE.若B恰好落在射线CD上,则BE的长为 .,答案 或15,解析 分两种情况: 如图1,当B在线段CD上时,由折叠得,AB=AB=5,BE=BE, 图1 CE=3-BE,AD=3,DB=4,BC=1. 在RtEBC中,BE2=CE2+BC2, BE2=(3-BE)2+12, BE= . 如图2,当B在线段CD的延
10、长线上时,由折叠得,AB=AB=5,BF=BF,BE=BE, 1=2.,CDAB,1=3.2=3. AEBB,AB=BF=5. 在RtFBC中,由勾股定理得CF=4, CFAB,EFCEAB. = ,即 = , CE=12.BE=15. 综上所述,BE的长为 或15.,思路分析 本题是以矩形为背景的翻折变换,考查了折叠的性质,勾股定理等知识,点B在以A为圆心AB长 为半径的圆上,与射线CD有两个交点.分类讨论,当B在线段CD上或B在射线CD上时,根据勾股定理、相似 三角形的性质,列方程即可求得到结论.,9.(2017江西吉安模拟,12)在RtABC中,C=90,A=30,AB=6,点D,E分别
11、是BC,AB上的动点,将BDE沿 直线DE翻折,点B的对应点B恰好落在AC上,若AEB是等腰三角形,那么CB的值是 .,答案 0或3或3 -3,解析 C=90,A=30,AB=6, B=60,BC=3, 分三种情况讨论: 如图所示,当点B与点C重合时,B=DCE=60, EBA=A=30, AE=BE,即AEB是等腰三角形, CB=0.,如图所示,当点D与点C重合时,B=CBE=60, A=30, AEB=A=30, AB=EB,即AEB是等腰三角形, CB=BC=3. 如图所示,当AE=AB时,AEB是等腰三角形,ABE=75. 由折叠可得,DBE=ABC=60, DBC=45, 在RtDC
12、B中,设CB=DC=x, 则BD=3-x=DB, 在RtDCB中,由勾股定理得,x2+x2=(3-x)2, 解得x1=3 -3,x2=-3 -3(舍去), CB=3 -3. 综上所述,当AEB是等腰三角形时,CB的值是0或3或3 -3.,思路分析 点D,E分别是BC,AB上的不确定动点,将BDE沿直线DE翻折,则折痕为过点D,E的连线.根据 AEB是等腰三角形,画出图形,分AE=BE,AB=EB,AE=AB三种情况讨论.分别根据直角三角形的性质,等腰三 角形的性质以及勾股定理进行计算,即可求得CB的值.解题关键是分类讨论和方程思想的运用.,10.(2019黑龙江齐齐哈尔,23,12分)折纸是同
13、学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽 的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识. 折一折:把边长为4的正方形纸片ABCD对折,使边AB与CD重合,展开后得到折痕EF,如图;点M为CF上一 点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,展开后连接DN,MN,AN,如图.,解析 (一)填一填,做一做: (1)75;4-2 . (2分) 详解:如图,由题知CD=DN=2ED,EFAD,2=3, 1=30, 4=60, NDC=30, 2=3,NDC=2+3, 3=15, C=90, DMC=75.,在RtNED中,1=30,EN=4cos 30=2 ,EF=
14、4, NF=4-2 . (2)AND是等边三角形. (3分) 证明:由折叠可知DN=CD=AD, (4分) DE= AD,DE= DN, (5分) EFAD,END=30, (6分) ADN=60,NGPDQH, AHD=NPG, N=60,NGP=80, NPG=40, AHD=40. (5)4. (10分) 详解:由(4)知NGPAQPDQH,再加上AGHAGH, 共有4对相似三角形. (6) . (12分) 详解: = , 可设AN=bm,AD=bn(b0), AND是等边三角形, AN=AD=ND=b(m+n),A=N=D=60, 由折叠可知AG=AG,AH=AH,A=GAH=60, = , NGA+NAG=120,NAG+HAD=120, NGA=HAD, N=D,NGADAH, = = = , 即 = .,方法总结 图形折叠问题的解题关键是找出对称轴,再根据轴对称性得出全等三角形,同时可以得到折叠 前后两图形对应边及对应角相等的关系.,
