1、1.(2019湖南株洲,18,3分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜,在y轴处放置一个 有缺口的挡板,缺口为线段AB,其中点A(0,1),点B在点A上方,且AB=1,在直线x=-1处放置一个挡板,从点 O发出的光线经反光镜反射后,通过缺口AB照射在挡板上,则落在挡板上的光线的长度为 .,答案 1.5,解析 当光线沿O、G、B、C传输时, 过点B作BFGH于点F,过点C作CEGH于点E, 设OGH=CGE=,GH=a,则GF=2-a, 则tanOGH=tanCGE,即 = , 即 = ,解得a=1,则=45, GE=CE=2,yC=1+2=3. 当光线反射过点A时,
2、同理易得yD=1.5, 故落在挡板上的光线的长度CD=3-1.5=1.5.,思路分析 当光线沿O、G、B、C传输时,由tanOGH=tanCGE,得 = ,即 = ,解得a=1,求出yC =1+2=3,同理可得yD=1.5,即可求解.,2.(2018湖南株洲,17,3分)如图,O为坐标原点,OAB是等腰直角三角形,OAB=90,点B的坐标为(0,2 ),将 该三角形沿x轴向右平移得到RtOAB,此时点B的坐标为(2 ,2 ),则线段OA在平移过程中扫过部分的 图形面积为 .,答案 4,解析 点B的坐标为(0,2 ),将该三角形沿x轴向右平移得到RtOAB,此时点B的坐标为(2 ,2 ), AA
3、=BB=2 , OAB是等腰直角三角形,A( , ), 线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2 =4.,3.(2019湖南岳阳,23,10分)操作体验:如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线 EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合),过点P分别作直线 BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN. (1)如图1,求证:BE=BF; (2)特例感知:如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长; (3)类比探究:若DE=a,CF=b. 如
4、图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明; 如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求 写证明过程),解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ADBC, DEF=EFB, 由翻折可知DEF=BEF, BEF=EFB, BE=BF. (2)如图,连接BP,作EHBC于H,则四边形ABHE是矩形,EH=AB. DE=EB=BF=5,CF=2, AD=BC=7,AE=2,在RtABE中,A=90,BE=5,AE=2, AB= = , SBEF=SPBE+SPBF,PMBE,PNBF,
5、BFEH= BEPM+ BFPN, BE=BF, PM+PN=EH= , 四边形PMQN是平行四边形, 四边形PMQN的周长为2(PM+PN)=2 . (3)证明:如图,连接BP,作EHBC于H.,ED=EB=BF=a,CF=b, AD=BC=a+b, AE=AD-DE=b, EH=AB= , SEBP-SBFP=SEBF, BEPM- BFPN= BFEH, BE=BF, PM-PN=EH= , 四边形PMQN是平行四边形, QN-QM=(PM-PN)= . 当点P在线段FE的延长线上运动时,同法可证QM-QN=PN-PM= .,4.(2018湖南岳阳,23,10分)已知在RtABC中,BA
6、C=90,CD为ACB的平分线,将ACB沿CD所在的直线 对折,使点B落在点B处,连接AB,BB,延长CD交BB于点E,设ABC=2(045). (1)如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE; (2)如图2,若ABAC,试求CD与BE的数量关系(用含的式子表示); (3)如图3,将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(+45),得到线段FC,连接EF交BC于点O,设COE的面积 为S1,COF的面积为S2,求 (用含的式子)表示.,图3,解析 (1)证明:BB关于EC对称, BBEC,BE=EB, DEB=DAC=90, EDB=ADC, DBE=ACD, AB=AC,BAB=DAC=90,
7、 BABCAD, CD=BB=2BE. (2)结论:CD=2BEtan 2. 理由:由(1)可知:ABB=ACD,BAB=CAD=90, BABCAD, = = , = ,CD=2BEtan 2. (3)在RtABC中,ACB=90-2, CE平分ACB, ECB= (90-2)=45-, BCF=45+, ECF=45-+45+=90, BEC+ECF=180, BBCF, = = =sin(45-), = , =sin(45-).,5.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. (1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,C
8、D交于点E,F. 求证:BE=CF; 求证:BE2=BCCE; (2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF 的值. 图1,图2,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AB=BC,ABC=BCF=90. 又AGB=90,BAE+ABG=90. 又ABG+CBF=90,BAE=CBF. ABEBCF(ASA), BE=CF. (4分) 证明:AGB=90,点M为AB的中点, MG=MA=MB, GAM=AGM. 又CGE=AGM,从而CGE=CBG. 又ECG=GCB,CGECBG. = ,即CG2=BCCE.,由
9、CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG. 由知,BE=CF,BE=CG. BE2=BCCE. (9分) (2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1). 图1 四边形ABCD是正方形,ABCD. N=EAB.又CEN=BEA,CENBEA. 故 = ,即BECN=ABCE.,AB=BC,BE2=BCCE,CN=BE. 由ABDN知, = = . 又AM=MB,FC=CN=BE. 不妨令正方形的边长为1. 设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x). 解得x1= ,x2= (舍去). = . 于是tanCBF= = = . (14分) 解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x
10、, 则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x). 解得x1= ,x2= (舍去),即BE= .,作GNBC交AB于N(如图2), 则MNGMBC. = = . 设MN=y,则GN=2y,GM= y. = ,即 = , 解得y= .GM= . 从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上. AGB是直角三角形,且AGB=90.,图2,由(1)知BE=CF,于是tanCBF= = = . (14分),6.(2016湖南娄底,24,9分)如图,将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转到A1BC1的位置,AB=BC,AB与A1C1 相交于点D,AC与A1C1、BC1分别交于点E、F. (1)求证:BC
11、FBA1D; (2)当C=时,判定四边形A1BCE的形状,并请说明理由.,解析 (1)证明:AB=BC,A=C, 将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转到A1BC1的位置, A1B=AB=BC,A=A1=C,A1BD=CBC1=, 在BCF与BA1D中, BCFBA1D(ASA). (2) 四边形A1BCE是菱形.理由如下: 将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转到A1BC1的位置, A1=C=CBC1,A1BC=180-2+=180-, A1+A1BC=180,C+A1BC=180, A1EBC,A1BCE.,四边形A1BCE是平行四边形, 又A1B=BC, 四边形A1BCE是菱形.,7.(2018
12、天津,24,10分)在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3),以点A为中心, 顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F. (1)如图a,当点D落在BC边上时,求点D的坐标. (2)如图b,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H. 求证ADBAOB; 求点H的坐标. (3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).,图a,图b,解析 (1)点A(5,0),点B(0,3), OA=5,OB=3. 四边形AOBC是矩形, AC=OB=3,BC=OA=5,OBC=C=9
13、0. 矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的, AD=AO=5. 在RtADC中,有AD2=AC2+DC2, DC= = =4. BD=BC-DC=1. 点D的坐标为(1,3). (2)证明:由四边形ADEF是矩形,得ADE=90. 又点D在线段BE上,得ADB=90. 由(1)知,AD=AO,又AB=AB,AOB=90,RtADBRtAOB. 由RtADBRtAOB,得BAD=BAO. 又在矩形AOBC中,OABC, CBA=OAB. BAD=CBA. BH=AH. 设BH=t(0t5),则AH=t,HC=BC-BH=5-t. 在RtACH中,有AH2=AC2+HC2, t2=32+(5-t
14、)2,解得t= . BH= . 点H的坐标为 .,(3) S .,思路分析 (1)根据点的坐标及旋转的性质得AD=AO=5,在直角ACD中运用勾股定理可求CD的长,从而 可确定D点坐标.(2)根据直角三角形全等的判定方法进行判定;由知BAD=BAO,再根据矩形的性 质得CBA=OAB,从而BAD=CBA,故BH=AH,在RtACH中,运用勾股定理可求得AH的长,得出H点 的坐标.(3)在矩形旋转的过程中,根据点K与直线DE的距离范围即可确定S的取值范围.,提示 如图1,当矩形顶点D在线段AB上时,点K到直线DE的距离最小,最小值为线段DK的长, DK=AD- AB=5- , S= DKDE= . 图1,如图2,当矩形顶点D在BA的延长线上时,点K到直线DE的距离最大,最大值为线段DK的长, DK=AD+ AB=5+ , S= DKDE= . 所以 S .,图2,
