1、A组 20152019年浙江中考题组,考点一 二次函数解析式,1.(2018杭州,9,3分)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数),甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方 程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结 论是错误的,则该同学是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁,答案 B 假设甲和丙发现的结论正确,则 解得 该函数的解析式为y=x2-2x+4. 若-1是方程x2+bx+c=0的一个根, 则x=-1是函数y=x2+bx+c的一个零点, 当x=-1时,y=x2-2x+4=70, 乙发现的结论
2、不正确. 当x=2时,y=x2-2x+4=4,丁发现的结论正确. 四位同学中只有一位发现的结论是错误的, 假设成立.故选B.,思路分析 假设两位同学发现的结论正确,用这两位同学发现的结论去验证另外两位同学发现的结论,只 要找出一个正确,一个错误,即可得出正确选项(本题选择甲和丙发现的结论正确,先求出b、c的值,然后利用 二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁发现的结论).,解题关键 本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征,利用二次函数的性质求出b、c 的值是解题的关键.,2.(2017绍兴,8,4分)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点
3、和一条 抛物线,平移透明纸,使纸上的点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使纸上的点 与点C重合,则此时抛物线的函数表达式变为 ( ) A.y=x2+8x+14 B.y=x2-8x+14 C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+3,答案 A 如图, A(2,1),则可得C(-2,-1). 一点从A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4个单位,向下平移2个单位, 则所求表达式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14, 故选A.,3.(2019宁波,22,10分)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3). (1)求a的值和图象的顶点坐标
4、; (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上. 当m=2时,求n的值;若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.,解析 (1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3, 解得a=2. y=x2+2x+3=(x+1)2+2,顶点坐标为(-1,2). (2)把x=2代入y=x2+2x+3,求得y=11, 当m=2时,n=11.2n11.,4.(2019杭州,22,12分)设二次函数y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是实数). (1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x= 时,y=- .若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正 确吗
5、?说明理由; (2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示); (3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0x1x21时,求证:0mn .,解析 (1)乙求得的结果不正确,理由如下: 根据题意,知图象经过点(0,0),(1,0). 所以y=x(x-1). 当x= 时,y= =- - , 所以乙求得的结果不正确. (2)函数图象的对称轴为直线x= . 当x= 时,函数有最小值M, M= =- . (3)证明:因为y=(x-x1)(x-x2), 所以m=x1x2,n=(1-x1)(1-x2), 所以mn=x1x2(1-x1)(1-x
6、2)=(x1- )(x2- ),= . 因为0x1x21, 所以结合y=x(1-x)的图象可知0- + ,0- + , 所以0mn , 因为x1x2,所以0mn .,5.(2018湖州,19,6分)已知抛物线y=ax2+bx-3(a0)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.,解析 把点(-1,0),(3,0)的坐标代入y=ax2+bx-3, 得 解得 即a的值为1,b的值为-2.,6.(2015绍兴,21,10分)如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线. (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案:
7、y= 2x2+3x-4.请你写出一个不同于小敏的答案; (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值 最小时的解析式.请你解答.,解析 (1)不唯一,如y=x2-2x+2. (2)定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1, c=1-2b,顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1, 当b=1时,c+b2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,抛物线的解析式为y=-x2+2x.,方法点拨 解决新定义题目,一定要先审清题意.,7.(2016金华,23,10分)在平面直角坐标系中,
8、点O为原点,平行于x轴的直线与抛物线L:y=ax2相交于A,B两点 (点B在第一象限),点D在AB的延长线上. (1)已知a=1,点B的纵坐标为2. 如图1,向右平移抛物线L使该抛物线过点B,与AB的延长线交于点C,求AC的长; 如图2,若BD= AB,过点B,D的抛物线L2的顶点M在x轴上,求该抛物线的函数表达式; (2)如图3,若BD=AB,过三点O,B,D的抛物线L3的顶点为P,对应函数的二次项系数为a3,过点P作PEx轴交抛 物线L于E,F两点,求 的值,并直接写出 的值.,解析 (1)对于二次函数y=x2, 当y=2时,2=x2,解得x1= ,x2=- , AB=2 . 平移得到的抛
9、物线L1经过点B,BC=AB=2 , AC=4 . 如图,记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N, 根据抛物线的轴对称性,得BN= DB= ,OM= . 设抛物线L2的函数表达式为y=a2 . 由及已知得,点B的坐标为( ,2),考点二 二次函数的图象与性质,1.(2019温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是 ( ) A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1 C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2,答案 D y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1x3). 由图象可知当x=2时,y取得最小值-
10、2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D.,2.(2019杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知ab,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1) (bx+1)的图象与x轴有N个交点,则 ( ) A.M=N-1或M=N+1 B.M=N-1或M=N+2 C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N-1,答案 C 对于函数y=(x+a)(x+b),当y=0时,函数图象与x轴的交点为(-a,0),(-b,0),故M=2. 对于函数y=(ax+1)(bx+1),当y=0时,有以下3种情况: ab0时,图象与x轴的交点为 , ,此时N=2,M=N; a=0时,图象与x轴的
11、交点为 ,此时N=1,M=N+1; b=0时,图象与x轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1. 综上所述,M=N或M=N+1.故选C.,思路分析 由y=(x+a)(x+b)=0得到函数图象与x轴有两个交点,则M=2.当y=(ax+1)(bx+1)=0时,对a,b的取值进 行分类讨论,从而确定M,N的值,即可得M与N的关系.,3.(2019湖州,10,3分)已知a,b是非零实数,|a|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2= ax+b的大致图象不可能是 ( ),答案 D 由 解得 或 故二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b(a0)在同一平 面直角坐标系中的
12、交点为 或点(1,a+b).在A中,由一次函数图象可知a0,b0.由二次函数图象可知,a 0,- 0,b0,故A不符合题意.在B中,由一次函数图象可知,a0,b0,b |b|,知a+b0.故选项B不符合题意.在C中,由一次函数图象可知,a0,二次函数图象可知,a0.又|a|b|,则a+b0,故选项 D符合题意.,4.(2019绍兴,7,4分)在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换 可以是 ( ) A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位,答案 B y=(x+5)(x-3)=(x+1)
13、2-16,顶点坐标是(-1,-16). y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16). 所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5), 故选B.,5.(2019嘉兴,10,3分)小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的性质时,有如下结论: 这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上; 存在一个m的值,使得函数图象与x轴有两个交点,且这两个交点与函数图象的顶点构成等腰直角三角形; 点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x12m,则y1y2; 当-1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m
14、2. 其中错误结论的序号是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)图象的顶点坐标为(m,-m+1),当x=m时,y=-m+1, 这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上, 故结论正确. 假设存在一个m的值,使得函数图象与x轴有两个交点,且这两个交点与函数图象的顶点构成等腰直角三角 形, 令y=0,得-(x-m)2-m+1=0,其中m2m, m. 二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的图象的对称轴为直线x=m,且x1y2, 故结论错误. 当-1x2时,y随x的增大而增大,且-10, m的取值范围为m2, 故结论正确.故选C.,6.(2
15、019衢州,6,3分)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是 ( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3),答案 A y=(x-1)2+3,顶点坐标为(1,3),故选A.,7.(2017宁波,10,4分)抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 A y=x2-2x+m2+2, y=(x-1)2+m2+1. 抛物线的顶点坐标为(1,m2+1). 又10,m2+10,顶点在第一象限. 故选A.,思路分析 根据配方法得出顶点坐标,从而判断出顶点所在的象限.,8.(2017金华,6,
16、4分)对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是 ( ) A.对称轴是直线x=1,最小值是2 B.对称轴是直线x=1,最大值是2 C.对称轴是直线x=-1,最小值是2 D.对称轴是直线x=-1,最大值是2,答案 B y=-(x-1)2+2, 抛物线开口向下,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1, 当x=1时,y有最大值2, 故选B.,9.(2018湖州,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(-1,2),(2,1),若抛物线y=ax2-x+2(a0) 与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是 ( ) A.a-1或 a D.a-1或a,答案
17、A 由已知得线段MN的方程为y=- x+ ,-1x2,1y2,把代入抛物线方程得3ax2-2x+1=0, 由题意得方程3ax2-2a+1=0在-1x2上有两个不等实根,设y=3ax2-2x+1,当a0时, 解得 a ;当a0时, 解得a-1.综上所述,a-1或 a ,故选A.,10.(2017丽水,8,3分)将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是 ( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移1个单位,答案 D A.平移后,得y=(x+1)2,图象经过A点,故A不符合题意; B.平移后,得y=(x-3)2,图象经过A
18、点,故B不符合题意; C.平移后,得y=x2+3,图象经过A点,故C不符合题意; D.平移后,得y=x2-1,图象不经过A点,故D符合题意. 故选D.,关键提示 本题主要考查了函数图象的平移,解题的关键是熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.,11.(2016绍兴,9,4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1x3)有 交点,则c的值不可能是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,答案 A 抛物线过点A(2,6),4+2b+c=6,b= .抛物线的对称轴与线段y=0(1x3)有交点,1 - 3,-6b-2,即-6 -2,解得6c1
19、4,则c的值不可能是4,故选A.,12.(2016温州,10,4分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=4,BC=2.P是AB边上一动点,PDAC于点D,点E在P 的右侧,且PE=1,连接CE.P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动.在整个运动过程中,图中阴 影部分面积S1+S2的大小变化情况是 ( ) A.一直减小 B.一直不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小,答案 C 作CFAB于F.在RtABC中,ACB=90,BC=2,AC=4, AB=2 ,CF= .易知APDABC. 设PD=x,则AD=2x,AP= x,BE=2 -1- x, S1=x2,S2= (2 -
20、1- x) =4- -2x, S1+S2=x2-2x+4- =(x-1)2+3- . 根据二次函数的图象及性质可知,当x1时,S1+S2随x增大而增大.故选C.,关键提示 这是一道关于面积变化的题目,需设立变量表示出面积,进而利用相关函数性质解题.,13.(2018湖州,15,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a0)的顶点为C,与x轴的正半轴交 于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是 .,答案 -2,解析 四边形ABOC是正方形, AO与BC相互垂直平分且相等. 抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=- ,
21、点B的坐标为 . 把B的坐标代入y=ax2中, 得- =a ,即b2+2b=0, b0,b=-2. 故b=-2.,14.(2019台州,23,12分)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4). (1)求b,c满足的关系式; (2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式; (3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5x1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.,解析 (1)将点(-2,4)代入y=x2+bx+c, 得-2b+c=0,c=2b. (2)m=- ,n= ,n= , n=2b-m2=-4m-m2. (3)y=x2+bx+
22、2b= - +2b, 其图象的对称轴为x=- , 当b0时,c0,函数图象不经过第三象限,则c=0. 此时y=x2,当-5x1时,函数的最小值是0,最大值是25, 最大值与最小值之差为25,不符合题意,舍去. 当b0时,c0,函数图象不经过第三象限,则b2-8b0, 0b8,-4x=- 0,当-5x1时,函数有最小值- +2b, 当-4- -2时,函数有最大值1+3b, 当-2- 0时,函数有最大值25-3b. 当最大值为1+3b时,1+3b+ -2b=16, b=6或b=-10, 4b8, b=6; 当最大值为25-3b时,25-3b+ -2b=16, b=2或b=18, 0b4,b=2.
23、综上所述,b=2或b=6.,15.(2018温州,21,10分)如图,抛物线y=ax2+bx(a0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该 抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B. (1)求a,b的值; (2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,OBP的面积为S, 记K= ,求K关于m的函数表达式及K的范围.,解析 (1)将x=2代入y=2x,得y=4, M(2,4), 由题意得 (2)如图,过点P作PHx轴于点H, 点P的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x2+4x, PH=-m2+4m. B(2,0),OB=2,S= O
24、BPH= 2(-m2+4m)=-m2+4m, K= =-m+4, K随着m的增大而减小. 易得A(4,0), 又M(2,4),2m4. 0K2.,思路分析 (1)根据已知求得点M(2,4),由点M为抛物线的顶点列出关于a、b的方程组,求解即可; (2)作PHx轴于H,根据三角形的面积公式求得S=-m2+4m,根据K= 可得K关于m的函数解析式,再结合点P 的位置得出m的范围,利用一次函数的性质可得结果.,方法总结 本题主要考查抛物线的性质,解题的关键是用待定系数法求抛物线解析式及一次函数的性质的 应用.,考点三 二次函数综合,1.(2015金华,8,3分)图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥
25、面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x 轴,建立平面直角坐标系,桥拱可以近似看成抛物线y=- (x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有 ACx轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为 ( ) A.16 米 B. 米 C.16 米 D. 米,答案 B 把x=-10代入y=- (x-80)2+16得,y=- ,故选B.,2.(2016台州,16,5分)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数.小军相隔1秒依次竖直向上抛出两 个小球.假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度.第一个小球抛 出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相
26、同,则t= .,答案 1.6,解析 各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,设这个最大高度为h,又设小球抛出后时间为x秒,高度 为y,则y=a(x-1.1)2+h.由题意,得a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第 二个小球的离地高度相同.故填1.6.,方法指导 先构建二次函数,再利用方程思想解决问题.,3.(2016衢州,15,4分)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开 (如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值 为 m
27、2.,答案 144,解析 如图,设总占地面积为S m2,CD的长度为x m,由题意知AB=CD=EF=GH=x m,BH=(48-4x)m,易知0x 12,S=ABBH=x(48-4x)=-4(x-6)2+144,当x=6时,S取得最大值,最大值为144.,方法点拨 解决此类题时,需根据题意建立函数关系,进而利用相应函数性质求解.,4.(2017温州,16,5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线,把手 端点A、出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A到出水管BD的距离为12 cm,洗手盆及水龙头的相关数 据如图2所示,现用高10.2 cm的圆柱形水杯
28、去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E 到洗手盆内侧的距离EH为 cm.,答案 24-8,解析 如图所示,建立直角坐标系,过A作AGOC于G,交BD于Q,过M作MPAG于P, 由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36, 在RtAPM中,MP= =8,故DQ=OG=MP=8, BQ=12-8=4, 由BQCG可得,ABQACG, = ,即 = , CG=12,OC=12+8=20, C(20,0),水流所在抛物线经过点D(0,24), 可设抛物线为y=ax2+bx+24, 把C(20,0),B(12,24)代入抛物线解析式, 可得 解得 抛物线的解析式为y
29、=- x2+ x+24, 又点E的纵坐标为10.2, 令y=10.2,则10.2=- x2+ x+24, 解得x1=6+8 ,x2=6-8 (舍去), 点E的横坐标为6+8 , 又ON=30,EH=30-(6+8 )=24-8 . 即点E到洗手盆内侧的距离EH为(24-8 )cm.,思路分析 先建立合适的平面直角坐标系,再作辅助线构造相似三角形,由此可求得C点坐标,进而结合D、 B坐标确定抛物线的表达式,从而得到点E的坐标,求得EH.,5.(2019温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=- x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的 左侧). (1)求点A,B的坐标
30、,并根据该函数图象写出y0时x的取值范围; (2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左 平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m0,n0,求m,n的值.,解析 (1)令y=0,则- x2+2x+6=0, x1=-2,x2=6, A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当y0时,-2x6. (2)由题意得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m), 函数图象的对称轴为直线x= =2. 点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同, =2,n=1, m=- (-1)2+2(-1)+6= , m,n
31、的值分别为 ,1.,6.(2019嘉兴,24,12分)某农作物的生长率p与温度t()有如下关系:如图1,当10t25时可近似用函数p= t - 刻画;当25t37时可近似用函数p=- (t-h)2+0.4刻画. (1)求h的值; (2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系,部分数据如下:,请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式; 请用含t的代数式表示m; (3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20 时,每天的成本为200元, 该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续
32、 加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t()之间的关系如图2.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求 这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).,解析 (1)把(25,0.3)代入p=- (t-h)2+0.4, 得h=29或h=21. h25,h=29. (2)由表格可知m是p的一次函数,m=100p-20. 当10t25时,p= t- ,把p代入m=100p-20得m=100 -20=2t-40,当25t37时,p=- (t-29)2+0.4, 把p代入m=100p-20得m=100 -20=- (t-29)2+20. (3)当20t25时,由(20,200),(25,300)得w=2
33、0t-200. 增加利润为600m+20030-w(30-m)=40t2-600t-4 000. 当t=25时,增加利润的最大值为6 000元. 当25t37时,w=300.,增加利润为600m+20030-w(30-m)=900 (t-29)2+15 000=- (t-29)2+15 000. 当t=29时,增加利润的最大值为15 000元. 综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加的利润最大,为15 000元.,7.(2019金华,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴 上,把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的
34、点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点. (1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数; (2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标; (3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.,解析 (1)当m=0时,二次函数的表达式为y=-x2+2,函数图象如图所示. 当x=0时,y=2,当x=1时,y=1, 抛物线经过点(0,2)和(1,1), 观察图象可知:好点有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个. (2)当m=3时,二次函数解析式为y=-(x-3)2+5,其图象如图所示.,当x=1时,y=1,
35、当x=2时,y=4,当x=4时,y=4, 抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4), 结合图象可知,抛物线上的好点坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4). (3)如图,抛物线的顶点P的坐标为(m,m+2),抛物线的顶点P在直线y=x+2上, 点P在正方形内部, 0m2, 如图,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时, 抛物线与线段EF有交点(点F除外), 当抛物线经过点E时,-(2-m)2+m+2=1,解得m= 或 (舍去), 当抛物线经过点F时,-(2-m)2+m+2=2, 解得m=1或4(舍去), 当 m1
36、时,顶点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点.,8.(2017温州,22,10分)如图,过抛物线y= x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C.已 知点A的横坐标为-2. (1)求抛物线的对称轴和点B的坐标; (2)在AB上任取一点P,连接OP,作点C关于直线OP的对称点D. 连接BD,求BD的最小值; 当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.,解析 (1)对称轴是直线x=- =- =4. 点A,B关于直线x=4对称,点A的横坐标为-2, 点B的横坐标为10. 当x=10时,y=5, 点B的坐标为(10,5).
37、(2)如图,连接OD,OB. 点C,D关于直线OP对称,OD=OC=5. OD+BDOB,BDOB-OD=5 -5, 当点D在线段OB上时,BD有最小值5 -5.,解析 (1)由题意可知抛物线的顶点为(3,5),设y=a(x-3)2+5, 将(8,0)代入得a=- , y=- (x-3)2+5 (0x8). (2)当y=1.8时,1.8=- (x-3)2+5, 可得x1=7,x2=-1(舍去), 所以王师傅必须站在离水池中心7米以内. (3)由y=- (x-3)2+5可得原抛物线与y轴的交点为 , 装饰物高度不变, 新抛物线也过点 . 喷出水柱的形状不变,a=- . 直径扩大到32米, 新抛物
38、线过点(16,0). 设新抛物线解析式为y新=- x2+bx+c(0x16), 将 和(16,0)代入, 解得b=3,c= , y新=- x2+3x+ =- + . 当x= 时,y新= . 答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 (或14.45)米.,10.(2018嘉兴、舟山,23,10分)已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半 轴,y轴于点A,B. (1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由; (2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5-(x-b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围; (3)如图2,点A的坐标为(
39、5,0),点M在AOB内,若点C ,D 都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.,解析 (1)易得点M的坐标是(b,4b+1), 把x=b代入y=4x+1中,得y=4b+1, 点M在直线y=4x+1上. (2)直线y=mx+5与y轴交于点B, 点B的坐标为(0,5). 又B(0,5)在抛物线上, 5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2, 二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9, 当y=0时,得x1=5,x2=-1(舍), A(5,0). 观察图象可得,当m+5-(x-b)2+4b+1时, x的取值范围为x5. (3)如图,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,B组 20
40、152019年全国中考题组,考点一 二次函数解析式,1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25,答案 B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B.,2.(2017天津,12,3分)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点 M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上.则平移后的抛物线解析式为 ( ) A.y=x2+2x
41、+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1,答案 A 令y=0,则x2-4x+3=0, 解得x1=1,x2=3, A(1,0),B(3,0). y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 点M的坐标为(2,-1), 平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上, 抛物线向上平移了1个单位长度,向左平移了3个单位长度, 平移后的抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1,故选A.,解题关键 正确得出平移的方向和距离是解题的关键.,3.(2019吉林长春,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+ (a0)与
42、y轴交于点A,过点A作x轴的 平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为 .,答案 2,解析 分别过点P、B向x轴引垂线,垂足分别为C、D.由题可知抛物线的对称轴是直线x=- =1,点A , 根据对称性,得点M ,又因为M为线段AB的中点,所以点B .易证OPCOBD,得 = = ,又 BD= ,所以PC= = ,所以点P .把点P的坐标代入抛物线解析式,得a=2.,思路分析 根据对称性和解析式特点,求出A、B、M的坐标,再根据三角形相似,求出点P的坐标,代入抛物 线解析式求出a.,4.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y
43、=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值; (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.,解析 (1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴, x=- =0,即k2+k-6=0, 解得k=-3或k=2. (2分) 当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去. 当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意.k=-3. (4分) (2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(k2+k
44、-6)x+3k上, 当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5. (6分) 点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5). (8分),易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=- .(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二者容易混淆,从而导致失分.,考点二 二次函数的图象与性质,1.(2019内蒙古呼和浩特,3,3分)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( ),答案 D 直线y=ax+a=a(x+1)恒过点(-1,0),选项C,D可能正确,选项C中,抛物线y=ax2开口向下,则a0,矛盾,选项C错.故选D.,解题
45、关键 得到直线y=ax+a恒过点(-1,0)是解本题的关键.,答案 C 由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,-2),(1,-2),对称轴为直线x= = ,c=-2,由题意 可知,a0,b0,正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x= 的对称点为(3,t),即-2 和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x= ,- = ,b=-a,当x=- 时,y0, a- b-20,即 a+ a-20,a .对称轴为直线x= ,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),m =n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2
46、,m+n=4a-4,a ,4a-4 ,错误.故选C.,方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特 征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.,3.(2017内蒙古包头,11,3分)已知一次函数y1=4x,二次函数y2=2x2+2.在实数范围内,对于x的同一个值,这两个 函数所对应的函数值为y1与y2,则下列关系正确的是 ( ) A.y1y2 B.y1y2 C.y1y2 D.y1y2,答案 D y2-y1=2x2-4x+2=2(x-1)2,无论x取何值,(x-1)20,y2y1,故选D.,一题多解 根据函数图象可以看出对于同一个x的
47、值,都有y1y2.,4.(2018山东滨州,10,3分)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于 点A、点B(-1,0),则二次函数的最大值为a+b+c;a-b+c0时,-1x3.其中正确的个数 是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 由题中图象可知,当x=1时,函数值取到最大值,最大值为a+b+c,故正确;因为抛物线经过点B(-1, 0),所以当x=-1时,y=a-b+c=0,故错误;因为该函数图象与x轴有两个交点A、B,所以b2-4ac0,故错误;因为 点A与点B关于直线x=1对称,所以A(3,0),根据题中图象可知,当y0
48、时,-1x3,故正确.故选B.,5.(2017湖北武汉,16,3分)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2 m3,则a的取值范围是 .,答案 -3a-2或 a,解析 把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0. 解得m= = , m1= ,m2=-a, 2m3,2 3或2-a3, 解得 a 或-3a-2.,思路分析 把交点坐标代入二次函数解析式,可得到关于m的一元二次方程,利用公式法将m用含a的式子 表示出来,再根据2m3,解不等式即可.,6.(2018内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y= x2+ x-2与x轴交于A,B两点(点A在 点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC. (1)求直线l的解析式; (2)若直线x=m(m0)与该抛物线
