1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为（）ABCD2过点 和 的直线方程为（）ABCD3下列方程表示圆的是（）ABCD4若直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量为 ，则（）ABCD 或 5直线 与圆 相切，则 （）A1B3C0 或 1D0 或 36在四面体 OABC 中，点 M 为 的重心，则 （）ABCD7已知棱长为 2 的正方体 ，E，F 分别为 和 的中点，则点 B 到 EF 的距离为（）ABCD8如图，在矩形 中，点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，.若 ，则 的值为（）A2BC3D二、多选题二、多选题9已
2、知圆 ：和圆 ：，则（）A 时，两圆相交B 时，两圆内切C 时，两圆外切D 时，两圆内含10已知直线 ：.直线 ：，则下列命题正确的是（）A若 ，则 B若 ，则 C直线 过定点 D直线 过定点 11在平行六面体 中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则有（）ABC 面 D 面 12设点 ，若在圆 ：上存在点 N，使得 ，则 的值可以是（）AB-2CD2三、填空题三、填空题13两平行直线 与 间的距离为 .14如图所示，一圆形钟的时针长 ，2021 年 11 月 9 日上午 至 ，时针的针头自点 处转动到点 处，则线段 的长为 .15圆 关于 y 轴
3、对称的圆的标准方程为 .16棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M 为 BC 的中点；则直线 AM 和 CD 夹角的余弦值为 .17已知圆 ：，直线 ：，设圆 上到直线 的距离等于 1 的点的个数为 k，则 .四、解答题四、解答题18已知 的三个顶点是 ，.（1）求 AC 上的高所在直线的方程；（2）求 的面积.19已知点 和圆 ：，点 P 作圆 的.两条切线，切点分别为 A 和 B.（1）求以点 P 为圆心，以 PA 长为半径的圆的标准方程；（2）求直线 AB 的方程.20如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 底面 ABCD，E 是PC 的中点.（1）求证
4、：平面 PBD；（2）求 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值；（3）求点 A 到平面 BDE 的距离.21如图，已知正三棱柱 中，点 D 为 AC 的中点，点 E 在 上，.（1）求 ED 与 所成角的余弦值；（2）求平面 DBE 与平面 BEA 夹角的余弦值.22已知圆 ：，点 和点 在圆 上，为 的中点.（1）求点 的轨迹方程；（2）求 的最小值；（3）求 的最大值.答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】设直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 ，所以当 时，。故答案为：B【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线 的斜率。2【答案】C【解析】【解答】
5、设直线的方程为 又因为直线经过点 ，所以 ，所以直线的方程为 所以直线方程为 。故答案为：C【分析】利用已知条件结合直线的点斜式方程，再转化为直线的斜截式方程，从而设直线的斜截式方程为 再利用直线经过点 ，从而结合代入法得出直线的斜率，进而求出直线的斜截式方程，再转化为直线的一般式方程。3【答案】D【解析】【解答】对于 A 选项，方程 中有 项，该方程不表示圆；对于 B 选项，对于方程 ，该方程不表示圆；对于 C 选项，对于方程 ，该方程不表示圆；对于 D 选项，方程 可化为 ，因为 ，该方程表示圆。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合圆的判断方法，从而找出表示圆的方程。4【答案】D【解析】
6、【解答】由题得 ，所以 所以 ，所以 或 。故答案为：D【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，从而结合数量积的坐标表示和数量积为 0 两向量垂直的等价关系，从而证出，进而推出直线 与平面 的位置关系。5【答案】D【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径为 1，由题意可得 ，解得 或 m=3。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法，再结合点到直线的距离公式，从而求出实数m 的值。6【答案】A【解析】【解答】如图所示：交 于 ，则 是 中点，根据重心的性质：，。故答案为：A.【分析】交 于 ，则 是 中点，根据重心的性质得出 ，再利用三角形法则和向量共线定
7、理以及平行四边形法则，再结合平面向量基本定理得出。7【答案】A【解析】【解答】连接 、，则 为 与 中点，因为 E 为 的中点，所以 ，又正方体 边长为 2，所以，设 B 到 EF 的距离为 ，则，。故答案为：A【分析】连接 、，则 为 与 中点，再利用点 E 为 的中点，从而结合中点的性质，得出 ，再利用正方体 边长为 2，从而结合中点的性质和勾股定理，得出，的值以及 的值，再利用余弦定理得出 的值，再结合三角形的面积公式结合等面积法，从而得出点 B 到 EF 的距离。8【答案】B【解析】【解答】设圆 的半径为 ，则 ，以点 为坐标原点，、所在直线分别为 、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
8、则 、，由 ，得 ，所以，解得 ，因此，。故答案为：B.【分析】设圆 的半径为 ，再利用对应边成比例，从而求出圆的半径 r 的值，以点 为坐标原点，、所在直线分别为 、轴建立平面直角坐标系，再结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，由 结合向量的坐标运算，从而解方程组求出的值，进而求出 的值。9【答案】A,D【解析】【解答】解：由题知圆 ：的圆心为 ，半径 ；圆 ：的圆心为 ，半径 ，所以两圆圆心距为 ，故对于 A 选项，当 ，故两圆相交，正确；对于 B 选项，当 ，故两圆外切，错误；对于 C 选项，当 ，故两圆内切，错误；对于 D 选项，当 ，故两圆内含，正确.故答案为
9、：AD【分析】利用已知条件结合两圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再结合两圆位置关系判断方法，从而判断出两圆的位置关系。10【答案】B,C,D【解析】【解答】A.若 ，则 或 ，经检验此时两直线平行，所以该选项错误；B.若 ，则 ，所以该选项正确；C.直线 当 时，无论 取何值，恒成立，所以此时直线 过定点 ，所以该选项正确；D.直线 当 时，无论 取何值，恒成立，所以直线 过定点 ，所以该选项正确.故答案为：BCD【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出实数 a 的值；再利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数 a 的值；利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的
10、点斜式方程，从而求出直线 和直线 恒过的定点坐标。11【答案】B,C,D【解析】【解答】如图，连接 交 于点 ，连接 AC 交 BD 与点 O，则点 、O 分别是 、BD 的中点，连接 MQ，A：由题意知，所以 ，即四边形 为平行四边形，所以 ，又 ，所以 与 异面，A 不符合题意；B、D：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ，又 ，所以 ，有 ，连接 ，则 ，又 ，所以 平面 ，连接 PQ，则 ，所以 平面 ，D 符合题意；又 平面 ，所以 ，B 符合题意；C：因为 ，平面 ，所以 平面 ，C 符合题意；故答案为：BCD【分析】连接 交 于点 ，连接 AC 交 BD 与点 O，则点 、O 分
11、别是 、BD 的中点，连接 MQ，再利用平行六面体的结构特征，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，所以 ，再利用平行和相等的传递性，所以 ，即四边形 为平行四边形，所以 ，再利用 得出 与 异面；再利用菱形的结构特征和三角形全等的判断方法和性质，得出线线垂直，从而证出线面垂直，所以 平面 ；再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ；利用 结合线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 ，从而找出正确的选项。12【答案】A,C【解析】【解答】易知 在直线 上，因为直线 与圆 相切，故设圆 与直线 的交点为 ，则 ，假设存在点 ，使得 ，则必有 ，所以圆 ：上存在点 ，使得
12、，只需 ，在 中，即 ，所以 且 ，当 时，显然满足题意，故 ，结合选项知选 A、C。故答案为：A、C.【分析】利用已知条件，易知 在直线 上，再利用直线 与圆 相切，故设圆 与直线 的交点为 ，则 ，假设存在点 ，使得 ，则必有 ，所以圆 ：上存在点 ，使得 ，只需 ，在 中结合正切函数的定义，得出 的取值范围，进而求出 可以的取值。13【答案】2【解析】【解答】由题意可知，两平行直线 与 间的距离为 。故答案为：2。【分析】利用已知条件结合平行直线求距离公式，从而求出两平行直线 与 间的距离。14【答案】【解析】【解答】2021 年 11 月 9 日上午 7：00 至 11：00，时针的针
13、头自点 处转动到点 处，则时针转过的弧度数为 ，故 。故答案为：。【分析】利用 2021 年 11 月 9 日上午 7：00 至 11：00，时针的针头自点 处转动到点 处，再结合已知条件求出时针转过的弧度数，再结合正弦函数的定义，从而求出线段 AB 的长。15【答案】【解析】【解答】由题意知，圆 的圆心坐标为 ，半径为 1，设圆 关于 y 轴对称的圆为 ，所以 ，半径为 1，所以 的标准方程为 。故答案为：。【分析】利用已知条件结合圆与圆关于直线对称的求解方法，从而转化为点与点关于直线对称，再结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出对称圆的圆心坐标，再结合关于直线对称的两圆半径
14、相等，从而求出对称圆的半径，进而求出圆 关于 y 轴对称的圆的标准方程。16【答案】【解析】【解答】取 中点 ，连接 ，正四面体 中棱长为 1，分别是 ，的中点，是直线 和 夹角，直线 和 夹角的余弦值为：。故答案为：。【分析】取 中点 ，连接 ，利用正四面体 中棱长为 1，再利用点 M，点 分别是 ，的中点，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以，所以 是直线 和 夹角，再利用，结合余弦定理，从而求出直线 和 夹角的余弦值。17【答案】2【解析】【解答】由圆的方程得到圆心 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，且 ，圆 上到直线 的距离等于 1 的点的个数为 2，即 。故答案为：2。【分
15、析】由圆的方程得到圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式，从而结合同角三角函数基本关系式，得出圆心 到直线 的距离 且 ，从而求出圆 上到直线 的距离等于 1 的点的个数，进而求出实数 k 的值。18【答案】（1）解：直线 AC 的斜率 ，AC 边高线的斜率 ，AC 上的高所在直线的方程为：，即 或 ；（2）解：直线 AC 的方程为：，即 ，点 B 到直线 AC 的距离 ，边 AC 的长为 5，所以 的面积为 .【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线 AC 的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出边 AC 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边 AC
16、 上的高所在直线的方程。（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出点 B 到直线 AC 的距离，再利用边 AC 的长为 5，从而结合三角形的面积公式，进而求出三角形 的面积。19【答案】（1）解：，.所求圆的标准方程为：.（2）解：圆 C：，圆 P：得直线 AB 的方程为：.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式，从而求出 PC 的长，再利用勾股定理求出 PA 的长，从而求出所求圆的半径，进而求出以点 P 为圆心，以 PA 长为半径的圆的标准方程。（2）利用（1）所求的圆的标准方程结合已知条件，从而联立两圆方程结合作差法，从而求出直线 AB 的方程。20【答案】（1）证明：底面
17、 ABCD，且 底面 ABCD，又底面 ABCD 是正方形，所以 ，且 ，平面 PBD（2）解：如图建立空间直角坐标系，则 ，设平面 BED 法向量 ，所以 ，取 ，则平面 BED 法向量 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值（3）解：，则 ，根据点到平面距离的公式 ，所以点 A 到平面 BDE 的距离为 .【解析】【分析】（1）利用 底面 ABCD 结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以，再利用底面 ABCD 是正方形，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面PBD。（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合数量积求
18、夹角公式，从而利用诱导公式求出直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值。（3）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合数量积求点到平面距离的公式，从而求出点 A 到平面 BDE 的距离。21【答案】（1）解：如图建立空间直角坐标系，因为 ，点 D 为 AC 的中点，点 E 在 上，为正三角形，所以 ，所以 ，.设 ED 与 所成角为 ，则，所以 ED 与 所成角的余弦值为（2）解：，设平面 DBE 法向量 ，则，令 ，则 ，设平面 BEA 的法向量 ，则，令 ，则 ，设平面 DBE 与平面 BEA 夹角为 ，由图可知 为锐角，所以所以
19、平面 DBE 与平面 BEA 夹角的余弦值为【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，再利用 ，点 D 为 AC 的中点，点 E 在 上，所以三角形 为正三角形，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出 ED 与 所成角的余弦值。（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出平面 DBE 与平面 BEA 夹角的余弦值。22【答案】（1）解：，又 为 的中点，则 ，于是点 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 的圆 点 M 的轨迹方程为：.（2）解：圆心到点
20、的距离 则 的最小值为 .的最小值为 .（3）解：表示点 和点 到直线 距离之和，过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，根据梯形的中位线得到 ，当 ，取最大值.此时，直线 方程为 ，的最大值为 故 的最大值为 .【解析】【分析】（1）利用 结合数量积的坐标表示，从而结合两向量垂直数量积为 0 的等价关系，从而证出 ，再利用 为 的中点，再结合中点的性质，得出 ，从而推出点 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 的圆，进而结合圆的标准方程求出点 M 的轨迹方程。（2）利用已知条件结合两点距离公式，得出圆心到点 的距离，再利用几何法得出 的最小值，从而求出 的最小值。（3）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出 表示点 和点 到直线 距离之和，过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，根据梯形的中位线得到 ，当 ，取最大值，从而求出此时直线 方程，再结合两平行直线的距离公式得出 的最大值，进而求出 的最大值。
