1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第五章三 角 函 数第一节角的概念的推广图5-1一、角的概念的推广一、角的概念的推广手表的秒针(或时针、分针)绕表盘中心旋转；用扳手拧紧或拧松螺母；像这样秒针绕表盘中心、扳手拧螺母都是从一个位置旋转到另一个位置.一般地，平面内一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形称为角角.如图5-1所示.射线的端点O称为角的顶点顶点,旋转开始时的射线位置OA称为角的始边始边；旋转终止时的射线位置OB称为角的终边终边.根据旋转的方向不同规定：按逆时针方向旋转而成的角称为正角正角；按顺时针方向旋转而成的角称为负角负角.射线不作任何旋转,仍留在开始时的位置，这时形成
2、的角叫做零角零角.记作0.第一节角的概念的推广角的概念包含两部分：射线旋转的方向和旋转的数量.角可以用小写希腊字母，来记.例如一条射线绕它的端点从初始位置按逆时针方向旋转半周形成的角可记为=180，按顺时针方向旋转两周形成的角可记为=-720.第一节角的概念的推广为了统一研究所有的角,我们在平面上建立一个直角坐标系Oxy，把角的顶点放在坐标原点,使角的始边与x轴的正半轴重合,当角的终边落在哪个象限的内部，就说这个角是第几象限的角第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.如图5-2所示.第一节角的概念的推广第一节角的概念的推广图5-2终边为OA的角是第一象限的角，终边为O
3、B的角是第二象限的角，终边为OC的角是第三象限的角，终边为OD的角是第四象限的角.如果已知角的始边再旋转一周或若干周后回到角终边的位置，就生成了与角有相同的终边和相同的始边的角，这些角构成了一个角的集合，可以用下面的形式第一节角的概念的推广由上式可知，所有和角的始边和终边相同的角,连同角在内,有无穷多个,它们和角相差360的整数倍.因此,如果给定顶点、始边和终边，就确定了一个由无穷多个角组成的集合.第一节角的概念的推广第一节角的概念的推广第一节角的概念的推广第一节角的概念的推广二、角的度量二、角的度量(弧度制弧度制)同学们在初中已经学习过度量角的大小的方法：即把一个周角分成360等份，其中每一
4、份叫做一度的角，这种用“度”作单位来度量角的方法叫做角度制角度制除了角度制外，我们在学习中还经常用到另一种度量角的方法：我们把长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小规定为1 1弧度弧度，记作1rad或1弧度这种用“弧度”作单位来度量角的方法叫做弧度制弧度制如图5 3所示，如果 那么AOB=1rad；那么AOB=2rad；那么AOB=1/2rad.图5-3第一节角的概念的推广第一节角的概念的推广三、度与弧度的换算三、度与弧度的换算一般地，设圆的半径为r，圆弧长为l，该圆弧所对的圆心角的大小为l/r弧度今后我们可把“弧度”省略不写特别地，半径为r的圆周所对的圆心角的大小等于又由于周角的大小等于360
5、，由此得出角度制与弧度制的换算关系如下：下面是一些特殊角的度与弧度的换算关系，列表如下：第一节角的概念的推广四、弧长公式四、弧长公式从弧度的定义得出，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角的大小等于l/r弧度，即|=l/r.由此得出l=|r.第一节角的概念的推广第二节三角函数的定义我们在初中学习过锐角的正弦、余弦、正切,现在可把它们推广到任意角的情形,引出三角函数的概念.一、任意角的三角函数的概念一、任意角的三角函数的概念设a是一个顶点在原点，始边在x轴正半轴上的任意角,a的终边上任意一点P的坐标是(x，)(非顶点).它与原点的距离是 如图5-4所示.图5-4第二节三角函数的定义则定义：
6、(1)比值yr叫做角的正弦，记作sin,即(2)比值xr叫做角的余弦，记作cos，即(3)比值yx叫做角的正切，记作tan，即第二节三角函数的定义(4)比值xy叫做角的余切，记作cot，即cot=x/y.(5)比值rx叫做角的正割，记作sec，即sec=r/x.(6)比值ry叫做角的余割，记作csc，即csc=r/y.第二节三角函数的定义根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上的角，上述六个比值都不会随P点在角的终边上位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即=k+/2(kZ)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即k(kZ)时，终边上任意一点
7、P的纵坐标y都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.这些函数分别叫做角的正弦函正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，以上六种函数，统称为角的三角函数.第二节三角函数的定义第二节三角函数的定义表5-1当自变量角是用弧度表示时，六种三角函数的定义域列表如下(表5-1)：第二节三角函数的定义二、三角函数的符号二、三角函数的符号由例1及练习可知，角的终边上一点P(x,y)到原点的距离r总是正的
8、，而坐标x,y的值有正负之分，因此，角的各三角函数值的符号取决于它终边上P点的坐标x与y的符号，根据三角函数的定义和各象限里点的坐标符号可确定三角函数值的符号，列表如下(表5-2)：第二节三角函数的定义第二节三角函数的定义表5-2第二节三角函数的定义图5-5为了便于记忆，我们把sin、cos、tan的正负号标在各个象限内，如图5-5所示.第二节三角函数的定义表5-310.TIF三、特殊角的三角函数值三、特殊角的三角函数值由三角函数的定义可以得出特殊角0、/6、/4、/3、/2、3/2、2的正弦、余弦、正切，见表5-3：四、三角函数的基本关系式四、三角函数的基本关系式本节例1中，sin=-4/5
9、,cos=-3/5，tan=4/3，试问：sin2+cos2等于多少？tan与sin、cos有什么关系？根据三角函数的定义，只要三角函数有意义，就可以得到以下基本关系式：利用公式可以由一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值，还可以证明一些有关三角函数的恒等式等.第二节三角函数的定义第二节三角函数的定义第二节三角函数的定义第二节三角函数的定义第三节诱 导 公 式一、一、+2+2kk，(k kZ)Z)角的诱导公式角的诱导公式设是任意一个角，由本章第一节可知角+2k(kZ)的终边与角的终边相同，因此从角的正弦、余弦、正切的定义得出二、负角的诱导公式二、负角的诱导公式以原点为圆心，以Oxy
10、坐标系中一个单位长为半径作一圆,称为单位圆单位圆如图5 6所示：图5-6第三节诱 导 公 式第三节诱 导 公 式图5-7设角/4的终边与单位圆交于点P,角-/4的终边与单位圆交于点Q,你能看出点P与点Q有什么关系吗?一般地，设角是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，角-的终边与单位圆交于点Q(x,y)，如图5-7所示.由于角与角-的旋转方向相反，而旋转的数量相同，因此角的终边与角-的终边关于x轴对称,所以点P(x,y)和点Q(x,y)的坐标有如下关系:横坐标相等,即x=x，纵坐标的绝对值相等,符号相反,即y=-y,OP与OQ的长度r都等于1.第三节诱 导 公 式根据任意角的三角函数
11、的定义可以得到：sin(-)=y1=-y/1=-sin，cos(-)=x/1=x/1=cos，当2+k(kZ)时，有tan(-)=y/x=-y/x=-tan.即第三节诱 导 公 式第三节诱 导 公 式图5-8三、三、+角的诱导公式角的诱导公式如图5-8所示，设角4的终边与单位圆交于点P,角+/4的终边与单位圆交于点M,你能看出点P与点M有什么关系吗?第三节诱 导 公 式一般地,设角是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，角+的终边与单位圆交于点M(x,y)，如图5-9所示.显然角+的终边是角的终边的反向延长线，因此点P与点M关于原点O对称，所以点P(x,y)和点M(x,y)的坐标有如
12、下关系:横坐标的绝对值相等,符号相反，即x=-x;纵坐标的绝对值相等,符号相反,即y=-y，OP与OM的长度r都等于1.图5-9第三节诱 导 公 式根据任意角的三角函数的定义可以得到：sin(+)=y/1=-y/1=-sin,cos(+)=x/1=-x/1=-cos，当/2+k(kZ)时，有tan(+)=y/x=-y/-x=tan.即第三节诱 导 公 式四、四、-,2-,2-角的诱导公式角的诱导公式1.-角的诱导公式由公式(2)、(3)可得：sin(-)=sin+(-)=-sin(-)=sin，cos(-)=cos+(-)=-cos(-)=-cos，当/2+k(kZ)时，有tan(-)=tan
13、+(-)=tan(-)=-tan.即(4)第三节诱 导 公 式2.2-角的诱导公式由公式(1)、(2)可得：sin(2-)sin2+(-)sin(-)-sin cos(2-)cos2+(-)cos(-)cos 当/2+k(kZ)时，有tan(2-)tan2+(-)tan(-)-tan 即第三节诱 导 公 式第三节诱 导 公 式五、诱导公式小结五、诱导公式小结公式(1)(5)的主要作用之一是把任意角的正弦、余弦、正切转化为锐角的正弦、余弦、正切，进而去查正弦表、余弦表、正切表，计算出相应的函数值，因此也称它们为诱导公式诱导公式.有了计算器后，我们可以直接求出任意角的正弦、余弦、正切，不必使用诱导
14、公式，但是对于一些特殊的角，我们仍用诱导公式计算它们的正弦、余弦、正切.第三节诱 导 公 式第三节诱 导 公 式第三节诱 导 公 式第三节诱 导 公 式一、正弦函数的定义一、正弦函数的定义形如f(x)sin x的函数叫正弦函数,由三角函数的定义可知xR R.二、正弦函数的图像二、正弦函数的图像因为sin(x+2)sin x，xR R；sin(x-2)sin x，xR R.这表明，自变量x每增加(或减少)2，正弦函数值不变.我们把2称f(x)sin x的一个周期周期.第四节 正弦函数的图像及性质 一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有f(x+
15、T)f(x)都成立，则就把函数yf(x)叫做周期函数周期函数，这个不为零的常数T，叫做这个函数的周期周期.容易看出，2T、-2T、3T、-3T也是f(x)的周期.如果在所有的正周期中，存在一个最小的数，则把它称为f(x)的最小最小正周期正周期.f(x)sin x的最小正周期是2.第四节 正弦函数的图像及性质 所以，如果知道了x-，时,sin x的变化情况,那么也就知道了x属于其他长度为2的区间时,sinx的变化情况.因此我们只要先画出f(x)sin x在区间-，上的一段图像,然后就可以得出f(x)sin x的整个图像.因为sin(-)-sin，R，所以f(x)sin x在(-，+)上是奇函数.
16、利用奇函数的图像关于原点对称，我们只要先画出f(x)sin x在0，上的一段图像，就可以得出它在-，0上的一段图像.第四节 正弦函数的图像及性质 表5-4下面我们用描点法画出f(x)sin x在区间0，上的一段图像.列表5-4:第四节 正弦函数的图像及性质 由表中的对应值描点，再利用对称性，即得正弦函数f(x)sin x，x-，的图像(图5-10).图5-10第四节 正弦函数的图像及性质 从图5-10可以看出，决定图像形状的关键点是(-，0)、(-/2，-1)、(0，0)、(/2，1)、(，0).这五个点作出后，正弦函数f(x)sin x，x-，的图像就基本确定了.因此，在精确度要求不太高时，
17、我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点法”作图.注意注意：作正弦函数f(x)sin x，x0，2的简图时，五个关键点应为(0，0)、(，0)、(2，0).第四节 正弦函数的图像及性质 因为终边相同的角的三角函数值相等，所以正弦函数f(x)sin x在区间，x-5，-3，x-3，-，x，3，x3，5，的图像与在x-，的图像完全一样.因此我们只要把f(x)sin x在-，内的图像向左或向右平行移动2、4、6就可以得到f(x)sin x，xR的图像；正弦函数的图像叫做正弦曲线正弦曲线.图5-11画出了f(x)sin x在-3，
18、3上的一段图像.第四节 正弦函数的图像及性质 图5-11第四节 正弦函数的图像及性质 三、正弦函数的性质三、正弦函数的性质1.定义域：xR.2.值域：f(x)-1，1.3.周期性：f(x)sin x的最小正周期是2.4.奇偶性：由公式sin(-x)-sin x可知，f(x)sin x是奇函数，图像关于原点对称.5.单调性：在-/2+2k，/2+2k上是增函数，在/2+2k，3/2+2k上是减函数，kZ；在x=/2+2k处达到最大值1，在x=-/2+2k处达到最小值-1，kZ.第四节 正弦函数的图像及性质 第四节 正弦函数的图像及性质 第四节 正弦函数的图像及性质 第四节 正弦函数的图像及性质
19、一、余弦函数的定义一、余弦函数的定义形如f(x)cos x的函数叫余弦函数,由三角函数的定义可知xR.二、余弦函数的图像二、余弦函数的图像因为cos(x+2)cos x，xR，因此2是f(x)cos x的一个周期.所以，如果知道了x-，时,cos x的变化情况,那么也就知道了x属于其他长度为2的区间时,cos x的变化情况.因此，我们只要先画出f(x)cos x在区间-，上的一段图像,然后就可以得出f(x)cos x的整个图像.第五节 余弦函数的图像及性质第五节 余弦函数的图像及性质表5-5因为cos(-)cos，R，所以f(x)cos x在(-，+)上是偶函数.利用偶函数的图像关于y轴对称，
20、我们只要先画出f(x)cos x在0，上的一段图像，就可以得出它在-，0上的一段图像.下面我们用描点法(表5-5)画出f(x)cos x在区间0，上的一段图像.由表中的对应值描点，可得余弦函数f(x)cos x，x-，的图像，如图5-12所示.图5-12第五节 余弦函数的图像及性质因为终边相同的角的同名三角函数值相等，所以余弦函数f(x)cos x在区间，x-5，-3，x-3，-，x，3，x3，5，的图像与其在x-，的图像完全一样.因此我们只要把f(x)cos x在-，内的图像向左或向右平行移动2、4、6就可以得到f(x)cos x，xR的图像；余弦函数的图像叫做余弦曲线余弦曲线.图5-13画
21、出了f(x)cos x在-3，3上的一段图像.第五节 余弦函数的图像及性质图5-13第五节 余弦函数的图像及性质三、余弦函数的性质三、余弦函数的性质1.定义域：xR.2.值域：cos x-1，1.3.周期性：f(x)cos x的最小正周期是2.4.奇偶性：由公式cos(-x)cos x可知，f(x)cos x是偶函数，图像关于y轴对称.5.单调性：在(2k-1)，2k 上是增函数，在2k，(2k+1)上是减函数，在x=2k处达到最大值1，在x=(2k+1)处达到最小值-1，kZ.第五节 余弦函数的图像及性质第五节 余弦函数的图像及性质第五节 余弦函数的图像及性质第五节 余弦函数的图像及性质第六节已知三角函数值求指定区间内的角一、已知正弦值，求角一、已知正弦值，求角第六节已知三角函数值求指定区间内的角第六节已知三角函数值求指定区间内的角第六节已知三角函数值求指定区间内的角二、已知余弦值、正切值，求角二、已知余弦值、正切值，求角第六节已知三角函数值求指定区间内的角第六节已知三角函数值求指定区间内的角第六节已知三角函数值求指定区间内的角第六节已知三角函数值求指定区间内的角第六节已知三角函数值求指定区间内的角
