1、工 程 数 学 第第7 7章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换7.1拉普拉斯变换的基本知识7.2拉普拉斯变换的性质7.3拉普拉斯逆变换7.4卷积7.5拉普拉斯变换的应用7.6MATLAB在拉普拉斯变换中的应用 7.1 7.1 拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯变换的基本知识定义1 设函数f(t)当t0时有定义，而且积分拉普拉斯变换的定义7.1.1称为函数f(t)的拉普拉斯变换式，记为 F(s)=Lf(t)，F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为象函数)。而f(t)称为F(s)的拉普拉斯逆变换(或称为象原函数)，记为f(t)=L-1F(s)。（7.1.2）7.1 7.1 拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯
2、变换的基本知识拉普拉斯变换的定义7.1.1例7.1.1 求指数函数eat的拉普拉斯变换。7.1 7.1 拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯变换的定义7.1.1例7.1.2 求阶跃函数 的拉普拉斯变换。例7.1.3 求线性函数f(t)=t（t0）的拉普拉斯变换。7.1 7.1 拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯变换的存在定理7.1.2从上面的定义与例子可以看出，虽然拉普拉斯变换存在的条件要比傅里叶变换存在的条件弱很多，但这也不是说对于任意的一个函数都能进行拉普拉斯变换。下面将介绍满足条件的函数类型。定理1（拉普拉斯变换的存在定理）设函数f(t)满足下面的条件：
3、（1）在t0的任一有限区间上分段连续；（2）当t+时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M0及c0，使得|f(t)|Mect（0tc上一定存在。7.1 7.1 拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯变换的基本知识证明从略。满足此条件的函数f(t)，称它的增长是不超过指数级的，其中c为f(t)的增长指数。大多数常见的函数均能满足定理中的两个条件，从而存在拉普拉斯变换，如u(t)，ekt，tm，sin kt等函数虽然不满足傅里叶积分定理中绝对可积的条件，但它们却都能满足拉普拉斯变换存在定理的条件。因此，拉普拉斯变换的应用范围比傅里叶变换更为广泛。7.1 7.1 拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯
4、变换的基本知识一些常见函数的拉普拉斯变换7.1.3例7.1.4 求f(t)=teat的拉普拉斯变换。7.1 7.1 拉普拉斯变换的基本知识拉普拉斯变换的基本知识一些常见函数的拉普拉斯变换7.1.3例7.1.5 求Ltf(t)。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质线性性质7.2.1设,为常数，Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，则 Lf1(t)+f2(t)=F1(s)+F2(s)；（7.2.1）L-1F1(s)+F2(s)=f1(t)+f2(t)。（7.2.2）这个性质表明函数线性组合的拉普拉斯变换等于各函数拉普拉斯变换的线性组合。它的证明只需根据定义，利用积分性
5、质就可推出。例7.2.1 求函数f(t)=cos3t+6e-3t的拉普拉斯变换。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质线性性质7.2.1例7.2.2 求函数f(t)=sint的拉普拉斯变换。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质相似性质7.2.2设Lf(t)=F(s)，则对任一常数a0，有例7.2.3 求Lu(5t)。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质位移性质7.2.3若Lf(t)=F(s)，则 Leatf(t)=F(s-a)。（7.2.4）证 根据拉普拉斯变换的定义，有由此可以看出，上式右端只是把s换成s-a，所以 Leatf(t)=F(s-a)
6、。这个性质表明了一个象原函数乘以eat的拉普拉斯变换等于其象函数做位移a。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质位移性质7.2.3例7.2.4 求Le-atsinkt,Le-attn（n为正整数）。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质微分性质7.2.4若Lf(t)=F(s)，则有 Lf(t)=sF(s)-f(0)。（7.2.5）证 根据拉普拉斯变换的定义，有 7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质微分性质7.2.4这个性质表明，一个函数求导后取拉普拉斯变换等于这个函数的拉普拉斯变换乘以参变数s，再减去函数的初值。推论 若Lf(t)=F(s)，则有Lf
7、(n)(t)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f(0)-sf(n-2)(0)-f(n-1)(0)。（7.2.6）特别的，当初值f(0)=f(0)=f(0)=f(n-1)(0)=0时，有 Lf(t)=sF(s)，Lf(t)=s2F(s)，Lf(n)(t)=snF(s)。（7.2.7）微分性质可将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。现在利用它推算一些函数的拉普拉斯变换。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质微分性质7.2.4例7.2.5 求函数Ltsinkt,7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质微分性质7.2.4例7
8、.2.6 利用微分性质求f(t)=tm(mZ*)的拉普拉斯变换。此外，由拉普拉斯变换存在定理，还可得到象函数的微分性质。若Lf(t)=F(s)，则有 F(s)=-Ltf(t)。（7.2.8）一般地，有F(n)(s)=(-1)nLtnf(t)。（7.2.9）利用象函数的微分性质也可以求形如tnf(t)的函数的拉普拉斯变换。7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质积分性质7.2.5若Lf(t)=F(s)，则 7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质积分性质7.2.5这个性质表明了一个函数积分后再取拉普拉斯变换等于这个函数的拉普拉斯变换除以复参数s。重复运用式（7.2.10）
9、，就可得到此外，由拉普拉斯变换的存在定理，还可以得到象函数的积分性质。若Lf(t)=F(s)，则有 7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质积分性质7.2.5 7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质积分性质7.2.5注意 通过例7.2.7可以得到一个启示，即在拉普拉斯变换及其一些性质中取s为某些特定值，就可以用来求一些函数的广义积分，如取s=0，则由式(7.2.1)、式(7.2.8)及式(7.2.12)有 7.2 7.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质积分性质7.2.5例7.2.8 计算下列积分。7.3 7.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换反演积分公式7.3.1
10、由拉普拉斯变换的概念可知，函数f(t)的拉普拉斯变换实际上就是f(t)u(t)e-t的傅里叶变换。因此，当f(t)u(t)e-t满足傅里叶变换存在定理的条件时，按照傅里叶积分公式，在f(t)连续点处，有 7.3 7.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换等式两端同乘以et，并考虑到它与积分变量无关，则有令+j=s，可得这就是由象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，称为拉普拉斯反演积分公式，记作 f(t)=L-1F(s)它和拉普拉斯变换公式，是一对互逆的积分变换公式由于式（7.3.1）是一个复变函数的积分，通常计算比较困难，下面讨论用留数方法来计算这个反演积分。7.3 7.3 拉普拉斯逆变换
11、拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换的计算7.3.2定理2（拉普拉斯反演定理）若s1,s2,sn是函数F(s)的所有奇点（适当选取使这些奇点全在Re(s)的范围内），且当s时，F(s)0，则有证明从略。该定理把求象原函数的积分问题转化为计算F(s)est在各奇点处的留数问题，下面仅就F(s)是有理函数这一特殊情形展开讨论。7.3 7.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换设F(s)=，其中A(s)，B(s)是不可约的多项式，并设B(s)的次数是n，A(s)的次数小于B(s)的次数，在这种情况下，F(s)满足定理2的条件，因此式（7.3.2）成立。)()(sBsA 7.3 7.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换
12、拉普拉斯逆变换的计算7.3.2这两个公式都称为海维塞德（Heaviside）展开式，它们在用拉普拉斯变换求解常微分方程时会经常遇到。7.3 7.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换的计算7.3.2除了可用留数计算拉普拉斯逆变换外，还可通过部分分式和查表的方法去求函数的拉普拉斯逆变换。7.3 7.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换的计算7.3.2 7.4 7.4 卷卷 积积卷积的概念7.4.1前面已经讨论了傅里叶变换的卷积性质，当f1(t)，f2(t)在(-,+)上绝对可积时，它们的卷积为于是得到如下定义。7.4 7.4 卷卷 积积卷积的概念7.4.1定义2 设f1(t)与
13、f2(t)满足当tclearsymst s;ft=(t-1)2*exp(t);Fs=laplace(ft,t,s)输出：Fs=2/(s-1)3-2/(s-1)2+1/(s-1)7.6 MATLAB7.6 MATLAB在拉普拉斯变换中的应用在拉普拉斯变换中的应用MATLAB求函数F(s)的拉普拉斯逆变换7.6.2在MATLAB中，命令ilaplace用于求函数的拉普拉斯逆变换。其调用格式有如下几种。（1）f=ilaplace(L)：返回函数L的拉普拉斯逆变换，且返回函数以t为默认自变量。（2）f=ilaplace(L,u)：返回函数L的拉普拉斯逆变换，且返回函数以u为自变量。（3）f=ilaplace(L,u,v)：返回函数L(u)的拉普拉斯逆变换，且返回函数以v为自变量。7.6 MATLAB7.6 MATLAB在拉普拉斯变换中的应用在拉普拉斯变换中的应用例7.6.2 求函数F(s)=的拉普拉斯逆变换22)1(1ss解 输入：clearsyms st;Fs=1/(s*(s2+1)2);ft=ilaplace(Fs,s,t)输出：ft=-cos(t)-1/2*t*sin(t)+1Thank You!
