1、工 程 数 学 第第5 5章章 复变函数复变函数5.1复数5.2复变函数与解析函数5.3复变函数的积分5.4级数5.5留数5.6MATLAB软件在复变函数中的应用 5.1 5.1 复数复数注意 两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小。当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，即x-iy与x+iy互为共轭复数。复数z的共轭复数记为 。Z 5.1 5.1 复数复数复数及其表示5.1.11.1.复数的概念复数的概念 形如z=x+iy的数称为复数，其中x和y是任意实数，i是虚数单位（i2=-1），实数x和y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Rez，y=Imz。当y=0时，z=
2、x为实数；当y0时，z为虚数；当x=0且y0时，z为纯虚数。全体复数构成的集合为复数集，记为C，即C=z=x+iy|x,yR。当两个复数的实部和虚部对应相等时，两复数相等，即a+ib=x+iy当且仅当a=x,b=y。5.1 5.1 复数复数由复数z=x+iy的定义可以看出，复数由一对有序实数(x,y)唯一确定，于是在选定直角坐标系后，就建立了平面上的全部点与复数集C之间的一一对应关系，即可以借助横坐标为x、纵坐标为y的点P(x,y)来表示z=x+iy。这时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，表示复数z的平面称为复平面或z平面。2.2.复数的表示复数的表示 5.1 5.1 复数复数复数除了可以用复平面
3、内的点(x,y)表示外，还可以用向量表示，如图5.1.1所示。5.1 5.1 复数复数 Arg z是多值的，通常将满足条件-0的辐角0称为Argz的主值，记为0=arg z。于是 Argz=argz+2k(k=0,1,2,).当z=0时，规定z的模为0，辐角没有意义。利用直角坐标与极坐标的关系：x=rcos，y=rsin，得复数的三角形式：z=r(cos+isin)，再由欧拉公式ei=cos+isin可得复数的指数表示式：z=rei，而z=x+iy为复数的代数表示式。5.1 5.1 复数复数例5.1.1 将下列复数化为指数式。5.1 5.1 复数复数复数的运算5.1.21.1.四则运算四则运算
4、(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2)+i(b1b2)；(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1)；5.1 5.1 复数复数2.2.乘幂运算乘幂运算n个相同复数z的乘积称为z的n次幂，记为zn。若z=r(cos+isin)，则zn=rn(cos n+isinn)，即|zn|=|z|n，Argzn=nArg z。5.1 5.1 复数复数例5.1.2 求下列各式的值。5.1 5.1 复数复数复平面5.1.31.1.复平面的点集与区域复平面的点集与区域在复平面内添加一点，称为无穷远点，它与原点的距离为+。包括无穷远点的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远
5、点的复平面称为有限复平面。以后如无特殊说明，均为扩充复平面。由于复数与复平面上的点一一对应，我们可以通过满足一定条件的复数表示复平面的点集。5.1 5.1 复数复数定义1 设z0是复平面上的点，是一正数，则满足|zz0|的z的全体称为z0的一个邻域，记作N(z0,)。由满足条件0|zz0|的所有z组成的点集称为z0的一个去心邻域，记作N(，)。0z定义2 设D是复平面上的一个点集，z0D。若存在z0的一个邻域，使得该邻域内的点都属于D，则z0称为D的一个内点，所有点都是内点的点集称为开集。若z0的所有邻域中都既有D中的点，又有不是D中的点，则z0称为D的边界点，所有边界点的集合称为D的边界。区
6、域D连同它的边界C一起称为闭区域，记为 ，即 =D+C。DD 5.1 5.1 复数复数定义3 满足如下两个条件的平面点集D称为一个区域：（1）D是开集；（2）D中任意两点都可以用完全属于D的一条折线连起来（称D是连通的）。简单地说，区域是连通的开集。定义4 设D是复平面上的一个点集，若存在正数M，使得D中任意点z均满足|z|M，则称D为有界集，否则称为无界集.区域有界时为有界区域，否则为无界区域。5.1 5.1 复数复数2.2.曲线与区域的复数表示曲线与区域的复数表示 定义5 设x(t)与y(t)是,上的实连续函数，则由方程z=z(t)=x(t)+iy(t)(t)所确定的点集C称为复平面上的一
7、条连续曲线.若存在满足t1,t2且t1t2，使得z(t1)=z(t2)，则称曲线C有重点。无重点的连续曲线为简单曲线。除z()=z()外没有别的重点的连续曲线为简单闭曲线。5.1 5.1 复数复数例5.1.3 求方程z=t+(1+t)i表示的曲线。5.1 5.1 复数复数定义6 对于区域D内任意一条简单闭曲线C，如果C内部的所有点都在D中，则D为单连通区域，否则为复连通区域。直观上，单连通区域是“无洞”区域，而复连通区域为“有洞”区域。5.1 5.1 复数复数 5.2 5.2 复变函数与解析函数 复变函数5.2.11 1 复变函数的概念复变函数的概念定义7 设E为平面点集，若对于E中每个复数z
8、，按照某一确定的法则f，总有确定的复数w与之对应，则称w为z的函数，记作w=f(z)。E为定义域，z为自变量，w为因变量。在几何上，复变函数可以通过z平面与w平面的点集的对应关系给出，即w=f(z)在几何上可以看成是z平面的定义域E到w平面的值域G的一个变换或映射。5.2 5.2 复变函数与解析函数 设z=x+iy,w=u+iv，则w=f(z)可写成 w=u+iv=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)。这样，一个复变函数w=f(z)与一对二元实变函数u=u(x,y),v=v(x,y)相对应，其性质取决于u(x,y)与v(x,y)的性质。5.2 5.2 复变函数与解析函数 例5.2.1
9、将复变函数w=z2+1转化为一对二元实变函数。解 令z=x+iy，代入函数得 w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2ixy，其中，u(x,y)=x2-y2+1，v(x,y)=2xy。5.2 5.2 复变函数与解析函数 2 2 极限与连续极限与连续定义8 设w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0，存在0，当0|z-z0|（）时有|f(z)-A|，那么称A为z趋于z0时f(z)的极限。记为limf(z)=A。注意 定义中z趋于z0的方式是任意的。定义9 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0，当0|z-z0|（M，那么称z趋于z0时f(z)的极限为无穷大，记
10、为limf(z)=。5.2 5.2 复变函数与解析函数 5.2 5.2 复变函数与解析函数 复变函数的导数5.2.21.1.复变函数导数的概念复变函数导数的概念定义11 设函数w=f(z)在区域D上有定义，z0D，且z0+zD。若极限 5.2 5.2 复变函数与解析函数 5.2 5.2 复变函数与解析函数 2.2.复变函数导数的运算复变函数导数的运算复变函数导数的定义与实变函数类似，其极限运算性质也与实变函数类似。因此复变函数有类似于实变函数的求导法则。5.2 5.2 复变函数与解析函数（1）C=0（C为复常数）；（2）(zn)=nzn-1（n为正常数）；（3）f1(z)f2(z)=f1(z)
11、f2(z)；（4）f1(z)f2(z)=f1(z)f2(z)+f1(z)f2(z)；5.2 5.2 复变函数与解析函数 例5.2.3 问：函数f(z)=x+2yi是否可导？5.2 5.2 复变函数与解析函数 解析函数5.2.31.1.解析函数的概念解析函数的概念定义12 若函数f(z)在z0及z0的某一邻域内处处可导，则称f(z)在z0处是解析的，并称z0为f(z)的解析点。若f(z)在区域D内处处可导，则f(z)在区域D内解析，f(z)为D内的解析函数，D为f(z)的解析区域。若f(z)在点z0不解析，则z0为f(z)的奇点。由定义可以看出，函数在一点处可导与解析不同，但在区域内可导与解析等
12、价。5.2 5.2 复变函数与解析函数 2.2.复变函数解析性的判定复变函数解析性的判定定理2 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，z=x+iy是D内任意一点，则f(z)在点z可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处可微且满足柯西黎曼（Cauchy-Riemann）条件,简称C-R条件:由于函数f(z)在D内解析与在D内可导等价，因此有下面的定理。5.2 5.2 复变函数与解析函数 定理3 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内D解析的充要条件为 5.2 5.2 复变函数与解析函数 复变初等函数的解析性 5.2.41 1 指数函数指数函数定
13、义13 函数f(z)=ex(cosy+isiny)称为复变量z=x+iy的指数函数，记作ez，即 ez=ex+Iy=ex(cosy+isiny)。指数函数的性质：（1）指数函数ez在整个复平面内有定义，且处处不为零；（2）对任意z1，z2，有ez1ez2=ez1+z2；（3）ez是以2i为周期的周期函数；（4）ez在整个复平面内解析，且有(ez)=ez 5.2 5.2 复变函数与解析函数 2.2.三角函数三角函数 5.2 5.2 复变函数与解析函数 类似地，其他三角函数可定义为三角函数的性质：（1）sin z和cos z都是以2为周期的周期函数；（2）sin z是奇函数，cos z是偶函数；（
14、3）实变函数中的三角恒等式，复变函数中仍然成立，如sin2z+cos2z=1等；（4）|sin z|与|cos z|都是无界的；（5）sin z和cos z在整个复平面内解析，且(sin z)=cos z,(cosz)=-sin z 5.2 5.2 复变函数与解析函数 3.3.对数函数对数函数定义15 若z=ew，z0，则w称为复变量z的对数函数，记作Lnz。令w=u+iv，z=rei，则eu+iv=rei，得eu=r，v=，即u=ln r=ln|z|，v=Arg z，从而 w=Lnz=ln|z|+iArg z。由于Argz=arg z+2k（k=0,1,2,）是无穷多值，故Ln z为多值函数
15、。相应地，将ln|z|+iarg z称为Lnz的主值，记作lnz，即 ln z=ln|z|+iargz。注意 lnz在除去原点及负实轴的z平面内解析。5.2 5.2 复变函数与解析函数 例5.2.5 求Ln 2i及ln 2i的值。5.2 5.2 复变函数与解析函数 4.4.幂函数幂函数定义16 函数f(z)=za=eaLnz(z0)称为复变量z的幂函数，记作f(z)=za幂函数的性质：（1）za在除去原点与负实轴的z平面上解析，而zn在整个z平面上解析（当n为负整数时，除去原点）;（2）za是多值函数，而zn为单值函数;（3）复变量幂函数有类似于实变量函数的基本性质，即 5.3 5.3 复变函
16、数的积分复变函数积分的概念及其基本性质 5.3.11 1复变函数积分的概念复变函数积分的概念 若A为曲线C的起点，B为C的终点，假如从A到B的方向为曲线C的正方向，则从B到A的方向为曲线C的负方向，并把负方向曲线C记为C-。带有方向的曲线为有向曲线。若C为简单闭曲线，则规定：正向为C所围区域恒在其左侧的那个方向，如图5.3.1所示。5.3 5.3 复变函数的积分定义17 设函数w=f(z)在区域D内有定义，C是区域D内的一条以A为起点，以B为终点的光滑或分段光滑的有向曲线，把曲线C任意分为n个子弧段，设分点为A=z0,z1,z2,zn-1,zn=B，（如图5.3.2所示），且与曲线C上zk(k
17、=0,1,2,n)和k各点的取法无关，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分。5.3 5.3 复变函数的积分 5.3 5.3 复变函数的积分2.2.复变函数积分的性质及计算公式复变函数积分的性质及计算公式 复变函数积分有如下基本性质：5.3 5.3 复变函数的积分例5.3.1 设C是正向圆周z=1，计算下列各积分的值。5.3 5.3 复变函数的积分柯西积分定理 5.3.2定理4（柯西积分定理）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，则Cf(z)dz=0。注意 （1）柯西积分定理是复变函数积分基本定理，是其理论基石。（2）该定理说明单连通区域D内解析函数的积分与路径无关
18、，故利用此积分可以将复杂路径转换为简单路径进行积分。5.3 5.3 复变函数的积分 5.3 5.3 复变函数的积分定理5（复合闭路定理）设简单闭曲线C所包围区域内有n个互不相交互不包围的简单闭曲线C1,C2,Cn，并且以C1,C2,Cn为边界的区域完全包含于C内（如图5.3.3所示），若函数f(z)在以C和C1,C2,Cn为边界的复连通区域上解析，则 Cf(z)dz=C1f(z)dz+C2f(z)dz+Cnf(z)dz，其中C1,C2,Cn的正向均为逆时针方向。5.3 5.3 复变函数的积分 5.3 5.3 复变函数的积分 5.3 5.3 复变函数的积分 5.3 5.3 复变函数的积分解析函数
19、积分的基本公式5.3.3定理6（柯西积分公式）设函数f(z)在以一条简单正向闭曲线C为边界的有界闭区域上解析，且C包围z0，则 柯西积分公式是解析函数的基本公式，借助该公式，可详细研究解析函数的各种整体和局部性质。5.3 5.3 复变函数的积分 5.3 5.3 复变函数的积分定理7（高阶导数公式）设函数f(z)在以简单正向闭曲线C为边界的有界闭区域D上解析，则f(z)在区域D内有任意阶导数，且 5.4 5.4 级 数 幂级数5.4.11.1.复数项级数及其敛散性复数项级数及其敛散性 定义18 设zn=xn+iyn为复数序列，对于复数项无穷级数 令sn=z1+z2+zn为部分和，若复数序列sn以
20、有限复数s为极限，即 5.4 5.4 级 数 5.4 5.4 级 数 2.2.幂级数及其敛散性幂级数及其敛散性 定义20 形如 cn(z-z0)n=c0+c1(z-z0)+c2(z-z0)2+cn(z-z0)n+的级数为幂级数，其中z是复变数，系数cn(n=0,1,2,)和z0是复常数。若z0=0，则幂级数有如下形式：cnzn=c0+c1z+c2z2+cnzn+做变量代换z-z0=t，则两种级数可以相互转化，故只讨论第二种形式的幂级数的敛散性。5.4 5.4 级 数 理论上可以证明，幂级数 的收敛范围是以0为圆心，R为收敛半径的圆域（称为收敛圆），即 在（1）|z|R内发散；（3）在|z|=R
21、上可能收敛也可能发散.关于幂级数 的收敛半径R的求法，有如下定理。5.4 5.4 级 数 5.4 5.4 级 数 例5.4.2 确定下列幂级数的收敛半径。5.4 5.4 级 数 3.3.解析函数的泰勒展开式解析函数的泰勒展开式定理10(泰勒展开定理)设函数f(z)在以z0为圆心，R为半径的圆盘|z-z0|R内解析，那么在此圆内f(z)可以展开成幂级数例5.4.3 求ez的麦克劳林级数。解 由于f(z)=ez在z=0处的各阶导数均为1，所以 5.4 5.4 级 数 5.4 5.4 级 数 洛朗级数5.4.21.1.洛朗级数的概念洛朗级数的概念 5.4 5.4 级 数 2.2.解析函数的洛朗展开式
22、解析函数的洛朗展开式 注意 （1）定理中cn不能由高阶导数公式计算。（2）洛朗展开式一般采取间接展开法。（3）泰勒展开式为洛朗展开式的特殊情形。5.4 5.4 级 数 5.5 5.5 留 数留数的概念与计算 5.5.11 1留数的定义与求法留数的定义与求法定义22 设z=z0为f(z)的孤立奇点，函数f(z)在0|z-z0|R内解析，C是任意正向圆周：|z-z0|R，则积分 的值称为f(z)在z0处的留数，记为 Resf(z),z0=5.5 5.5 留 数下面利用f(z)在0|z-z0|R内的洛朗展式求留数。因为f(z)在0|z-z0|z=2+3i 输出：z=2.0000+3.0000i 复数
23、可以由z=a+b*i或z=r*exp(i*)的语句生成。其中，为复数辐角的弧度数，r为复数的模。5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 输入复数矩阵的方法有两种：(1)b=3 4;5 6+i*7 8;1 2；(2)b=3+7*i 4+8*i;5+i 6+2*i.输出结果均为：b=3.0000+7.0000i 4.0000+8.0000i 5.0000+1.0000i 6.0000+2.0000i 5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 注意 (1)当复数的虚部为一个确定的数值(不是变量或矩阵)时，输入时可以省略i(或j)前面的“*”号，如3+7*i可写为3+7i，但a+
24、b*i不可写成a+bi,3 4+i*7 8也不能写成3 4+i7 8。(2)当复数作为矩阵元素时，复数内不能留有空格，否则会被MATLAB视为两个元素。任何矩阵元素的内部都不能有空格，否则都会被MATLAB视为两个元素。(3)如果i,j被定义为其他变量（在程序设计中常习惯将i,j作为循环变量），则应定义另外一个新的复数单位,如i1=sqrt(-1),z=2+3*i1 5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 2.2.复数的运算复数的运算MATLAB除了对所有变量提供了通用的运算，如加(+)、减(-)、乘(*)、除(/或)、乘方()、转置()等外，还提供了专门用于复数运算的基本函数，见
25、表5.6.1。5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 这里需注意的是，矩阵的转置在MATLAB中由“”实现，但是若z是复数矩阵，则z为它的复数共轭转置，若要进行非共轭转置运算，使用z。或conj(z)求得。例如:输入：z=2+i 3-4i;z 输出：ans=2.0000-1.0000i 3.0000+4.0000i 5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 MATLAB求函数的级数展开5.6.2在MATLAB中，求函数f(x)的泰勒级数展开可由命令taylor来实现。其调用格式如下：（1）taylor(f)：计算符号表达式f在默认自变量等于0处的5阶泰勒级数展开式；（2）
26、taylor(f,n,v)：计算符号表达式f在自变量v=0处的n-1阶泰勒级数展开式；（3）taylor(f,a)：计算符号表达式f在默认自变量等于a处的5阶泰勒级数展开式；（4）taylor(f,n,v,a)：计算符号表达式f在自变量v=a处的n-1阶泰勒级数展开式。5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 例5.6.1 求函数f(z)=在z0=-1处的5阶Taylor级数展开式。解 输入：syms z;taylor(1/z2,-1)输出：ans=3+2*z+3*(z+1)2+4*(z+1)3+5*(z+1)4+6*(z+1)5 5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 用MATLAB求留数5.6.3在MATLAB中,函数f(z)在点a的留数Resf(z),a由命令residue实现。其调用格式为 r，p，k=residue（b，a），其中，b,a分别是分子、分母多项式系数向量,r,p,k分别是留数、极点和两个多项式比值b(z)a(z)的部分分式展开的直接项。5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 注意 对于多项式b(z)与无重根的n阶多项式a(z)之比,其部分分式展开为 5.6 5.6 MATLAB软件在复变函数中的应用 Thank You!
