1、 高三上学期理数期中联考试卷 高三上学期理数期中联考试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合 则 （）ABCD2设 ，则 （）ABCD3“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4下列命题中错误的是（）A如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面，平面
2、平面，=l，那么 l平面 D如果平面 平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 5已知 ，那么 cos=（）ABCD6下列函数中最小值为 4 的是（）ABCD7函数 在 的图像大致为（）ABCD8已知 为等比数列,则 （）A7B5C-5D-79已知 是边长为 2 的等边三角形，为平面 内一点，则 的最小值是（）A-2BCD-110在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙11已知 ，则 a，b，
3、c 的大小关系是()ABCD12设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时，.若对任意 ，都有 ，则 m 的取值范围是（）ABCD二、填空题（本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）二、填空题（本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）13若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是 14设双曲线 C：(a0，b0)的一条渐近线为 y=x，则 C 的离心率为 15设函数 ，将 y=f（x）的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 16已知 是边长为 2 的等边三角形，当三棱锥 体积最大时，其外接球的表面积为 三、解
4、答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 .（1）求 ；（2）求数列 的前 项和 .18 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求 ；（2）若 为锐角三角形，且 c=1，求 面积的取值范围19如图，在三棱锥 中，O 为 的中点 （1）证明：平面 ；（2）若点 M 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值 20已知 ，分别是椭圆 的左，右焦点，当 在 上且 垂直 轴时，.（1）求 的标准方程；（2）A 为 的左顶点，为
5、的上顶点，是 上第四象限内一点，与 轴交于点 ，与 轴交于点 .求证：四边形 的面积是定值.21已知 ，.（1）求 在 处的切线方程；（2）若不等式 对任意 成立，求 的最大整数解。22已知直线 l 的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为 ，且直线 l 经过椭圆 右焦点 .（1）求椭圆 C 的内接矩形 面积的最大值；（2）若直线 l 与椭圆 C 交于 两点，求 的值.答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】由 解得 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故答案为：D.【分析】首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素
6、的特征求得 ，得到结果.2【答案】C【解析】【解答】解：设 z=a+bi，则，由得，即 4a+6bi=4+6i 则 a=1，b=1，则 z=1+i.故答案为：C【分析】根据共轭复数，结合复数的运算法则求解即可.3【答案】B【解析】【解答】解：由 ln(x+1)0 得 0 x+11，即-1x0，则则“”是“”的必要不充分条件，故答案为：B.【分析】根据对数不等式的解法，结合充分必要条件的判定求解即可.4【答案】D【解析】【解答】由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面 内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故
7、此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在、内作异于 l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与 l 平行，又两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的故此命题错误故答案为：D【分析】由面面垂直性质定理排除 A，由面面垂直的判定定理可排除 B，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可排除 C。5【答案】C【解析】【解答】解：sin（+）=sin（2+）=sin（+）=cos=故选 C【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化
8、简，即可求出 cos 的值6【答案】C【解析】【解答】对于 A：因为 y=(x+1)2+3,则 ymin=3;故 A 不符合题意；对于 B：因为，设 t=|sinx|(),则 y=g(t)=由双沟函数知，函数 yg(t)=是减函数，所以 ymin=g(1)=5，所以 B 选项不符合；对于 C：因为 当且仅当时“”成立，即ymin=4，故 C 选项正确；对于 D：当时，0，故 D 选项不符合，故答案为：C.【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。7【答案】B【
9、解析】【解答】设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除 C又 排除 D；，排除 A，故答案为：B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果8【答案】D【解析】【解答】或 .由等比数列性质可知 或 故答案为：D.【分析】由条件可得 的值，进而由 和 可得解.9【答案】B【解析】【解答】解：建立如下图所示的直角坐标系，B(-1，0)，C(1，0)，P(x，y)则有，当，取得最小值.故答案为：B 【分析】建立恰当的平面直角坐标系，根据向量的线性运算以及数量积运算的坐标表示求解即可.10【答案】A【解析】【解答】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙
10、成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故答案为：A【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果11【答案】C【解析】【解答】解：令 ，可得函数 在 上单调递减，同理可得：，.故答案为：C.【分析】令 ，用导数研究函数的单调性，即可得出的大小关系。12【答案】B【解析】【解答】由
11、 f(x+1)=2f(x)知，f(x+t)=，即 f(x)=，当 时，此时 ，当-1x0 时，即 ，则 时，时，若 ，则 ，当 时，令 ，解得 或 ，由于 时，则 。故答案为：B【分析】首先根据已知条件求出函数 f(x)的解析式，对 x 分情况讨论得出每个范围内的 f(x)的取值范围，并把几种情况并起来即可得出 m 的取值范围即可。13【答案】9【解析】【解答】解：抛物线的准线为 x=1，点 M 到焦点的距离为 10，点 M 到准线 x=1 的距离为 10，点 M 到 y 轴的距离为 9故答案为：9【分析】根据抛物线的性质得出 M 到准线 x=1 的距离为 10，故到 y 轴的距离为 9本题考
12、查了抛物线的性质，属于基础题14【答案】【解析】【解答】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，因为其一条渐近线为 ，所以 ，.故答案为：【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.15【答案】6【解析】【解答】解：将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得 ，所以，=6k(kz)最小值为 6 故答案为：6 【分析】根据余弦函数的图象与周期求解即可.16【答案】【解析】【解答】解：由题可知，平面 CAB平面 SAB，且 CA=CB 时，三棱锥 S-ABC 体积达到最大，如图所示 则点 D，点 E 分别为ASB，ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂线交于点O，点
13、O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径，在ACB 中，AB=2，ACB=45AEB=90，由正弦定理可知，延长 CE 交 AB 于点 F，则 F 为 AB 的中点，所以点 D 在直线 SF 上，四边形 EFDO 是矩形，且 OE平面 ACB，则有 OEAE，又，外接球的表面积为故答案为：【分析】由平面 CAB平面 SAB，且 CA=CB 时，三棱 S-ABC 的体积最大，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点 O，利用几何关系计算出球 O 的半径，然后利用球体表面积公式求解即可.17【答案】（1）解：由 可得，当 时，当 时，而 ，适合上式，故 ，又，（2）由（1）知
14、，.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由错位相减法整理化简计算出结果即可。18【答案】（1）解：根据题意 ，由正弦定理得 ，因为 ，故 ，消去 得 。，因为故 或者 ，而根据题意 ，故 不成立，所以 ，又因为 ，代入得 ，所以（2）解：因为 是锐角三角形，由（1）知 ，得到 ，故 ，解得 .又应用正弦定理 ，由三角形面积公式有：.又因 ,故 ，故 .故 的取值范围是【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，结合三角形的内
15、角和，即可求出 B；（2）根据正弦定理和三角形的面积公式，结合正切函数的单调性，即可求出三角形面积的取值范围.19【答案】（1）解：因为 ，O 为 AC 的中点，所以 ，且 .连结 OB.因为 ，所以 为等腰直角三角形，且 ，.由 知 .由 知 平面 ABC（2）解：如图，以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 .由已知得 取平面 PAC 的法向量 .设 ，则 .设平面 PAM 的法向量为 .由 得 ，可取 ，所以 .由已知得 所以 .解得 a=-4（舍去），.所以 .又 ，所以 .所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质得
16、PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论;(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.20【答案】（1）解：由题意知 ，则 ，得 ，又 ，解得 ，所以 的标准方程是 .（2）由题意知 ，设 ，因为 ，三点共线，则 ，解得 ，三点共线，则 ，解得 ，.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的定义整理化简已知条件，即可
17、计算出，然后由椭圆里 a、b、c 的关系，计算出 a 与 b 的取值，从而即可得出椭圆的方程。(2)由已知条件设出点的坐标，结合三点共线的性质，代入坐标整理即可得出，同理即可得出，结合数量积的坐标公式代入整理化简即可得出关于 m 的代数式，利用已知条件结合三角形的面积公式计算出结果即可。21【答案】（1）解：所以定义域为 ，所以切线方程为 ；（2）等价于 ，记 ，所以 为 上的递增函数，且 ，所以 ，使得 ，即 ，所以 在 上递减，在 上递增，且 ，所以 的最大整数解为 9；【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域，再对函数求导并把坐标代入到导函数的解析式，由此计算出直线的斜率，然后
18、由点斜式即可求出直线的方程。(2)由已知条件整理化简即可得出不等式，构造函数对其求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可得出函数的最值，由此即可得出答案。22【答案】（1）解：椭圆 C 化为 ，所以 ，则 .设椭圆 C 的内接矩形 中，的坐标为 ，所以 所以椭圆 C 的内接矩形 面积最大值为 .（2）由椭圆 C 的方程 ，得椭圆 的右焦点 ，由直线 l 经过右焦点 ，得 ，易得直线 l 的参数方程可化为 （为参数），代入到 ，整理得，所以 ，即 .【解析】【分析】(1)首先整理化简即可得出椭圆的方程，由此即可得出点 P 的坐标，结合三角形的面积公式以及基本不等式即可求出三角形面积的最大值。(2)根据题意即可得出椭圆的焦点坐标，由此计算出 m 的取值，再由直线的参数方程联立椭圆的方程整理，结合韦达定理即可求出两根之积的取值，由此即可得出答案。
