1、 高三上学期数学期中第一次联考试卷 高三上学期数学期中第一次联考试卷一、单选题一、单选题1已知集合 ，则 （）A2BCD2已知复数 的共轭复数是 ，若 ，则 （）ABCD3若一个圆锥的母线长为 4，且其侧面积为其轴截面面积的 4 倍，则该圆锥的高为（）ABCD14将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象关于 y 轴对称，则 的值可以为（）ABCD5已知圆 ，直线 l 过点 且与圆 C 相切，若直线 l 与两坐标轴交点分别为MN，则 （）AB4CD6若 ，则 （）ABCD7已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线与双曲线在第二象限的交点为 A，若 ，则此双曲线的渐近线为（）A
2、BCD8已知 ，则（）ABCD二、多选题二、多选题9已知二项式 ，则下列说法正确的是（）A若 ，则展开式的常数为 60B展开式中有理项的个数为 3C若展开式中各项系数之和为 64，则 D展开式中二项式系数最大为第 4 项10抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件 M 为“向上的点数为 1 或 4”，事件 N 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）AM 与 N 互斥但不对立BM 与 N 对立CD11如图，是全等的等腰直角三角形，处为直角顶点，且 O，四点共线.，若点 ，分别是边 ，上的动点（包含端点），记 ，则（）ABCD12已知数列 满足 ，前 n 项和为 ，则下列选项中正确的是（）（参考
3、数据：，）ABCD 是单调递增数列，是单调递减数列三、填空题三、填空题13函数 的图象在点 处的切线方程为 .14已知椭圆的方程为 ，为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上在第一象限的一点，I 为 的内心，直线 PI 与 x 轴交于点 Q，椭圆的离心率为 ，若 ，则 的值为 .15已知函数 为奇函数，设 ，则 .16如图，已如平面四边形 ABCD，.沿直线 AC将 翻折成 ，则 ；当平面 平面 ABC 时，则异面直线 AC 与 所成角余弦值是 .四、解答题四、解答题17已知数列 满足 ，.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 前 n 项和 .18在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻，我
4、国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活新奋斗的起点.”某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为 2000 元，根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/）3040概率0.40.6（1）设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列；（2）若该农户从 2021 年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植
5、该农作物一亩至多一年的纯收入不少于 30000 元的概率.19如图，在四棱锥 中，底面 ABCD，E 为棱 PB 上一点.（1）若 E 为棱 PB 的中点，求证：直线 平面 PAD；（2）若 E 为棱 PB 上存在异于 PB 的一点，且二面角 的平面角的余弦值为 ，求直线AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值.20在 中，.（1）若 ，求 BC；（2）若 ，求 .21已知函数 ，.（1）讨论 的单调性；（2）已知 ，若函数 与 图像有两个交点，求 a 的取值范围.22如图所示，已知抛物线 的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，A 在 y 轴左侧且 AB的斜率大于 0.（1）当直
6、线 AB 的斜率为 1 时，求弦长 的长；（2）已知 为 x 轴上一点，弦 AB 过抛物线的焦点 F，且斜率 ，若直线 PA，PB 分别交抛物线于 C、D 两点，问是否存在实数 使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】解：由 得 ，解得 ，所以 ，又 ，所以 ，故答案为：D【分析】根据题意首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，从而得到集合 B，再由交集的定义即可得出答案。2【答案】A【解析】【解答】设 ，则 ，由 可得：，则 ，所以 ，故答案为：A【分析】由已知条件设出复数的代数式，由此即可求出共轭复数，再由复数代数形式的运算
7、性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。3【答案】B【解析】【解答】如图所示，设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则侧面积为 ，轴截面为等腰三角形 PAB，面积为 ，其侧面积为其轴截面面积的 4 倍，所以 ，解得：故答案为：B【分析】根据题意由圆锥的侧面积公式，结合三角形的面积公式以及已知条件代入数值整理即可得到答案。4【答案】B【解析】【解答】平移后解析式为 ，它的图象关于 轴对称，则 ，只有 B 满足 故答案为：B【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，再结合图象的对称性，从而求出，进而选出 可以取的值。5【答案】C【解析】【解答】解：由圆 ，得圆心 ，半径 ，又因为 为切点，所以
8、，所以直线 的斜率为-1，所以 ，即直线 ，则令 ，则 ，故答案为：C.【分析】由已知条件求出圆心坐标以及半径的值，再由斜率的坐标公式代入数值计算出结果，结合点斜式即可求出直线的方程，结合直线的截距的定义求出点的坐标，然后由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。6【答案】C【解析】【解答】因为 所以分子分母同除以 ，可得：原式=故答案为：C【分析】首先由二倍角的正、余弦公式整理化简原式，再把代入计算出结果即可。7【答案】D【解析】【解答】因为 ，所以 ，故三角形 是等腰三角形，即 ，又因为 ，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则 ，设 ，由勾股定理得：，解得：，故 ，把 A 点代入双曲线方程
9、，得：，解得：，显然 =0，所以 ，所以双曲线的渐近线为 故答案为：D【分析】根据题意由数量积的运算公式整理即可得到三角形的形状，结合题意作出辅助线，由此设出边的大小，结合勾股定理计算出从而得到点的坐标，并代入到双曲线的方程整理计算出，从而求出渐近线的方程。8【答案】A【解析】【解答】解：设 ，当 时，与 相交于点 和原点 时，即 故答案为：A.【分析】首先由不等式的简单性质即可比较出 c 与 b 的大小，再由正弦函数与直线的位置关系，由特殊点法代入整理即可比较出 a 与 b 的大小，从而即可得出答案。9【答案】A,D【解析】【解答】A 选项：当 时，其中 为整数，且 ，令 ，解得：，此时 ，
10、故常数项为 60；A 符合题意；B 选项：，其中 为整数，且 ，当 时，当 时，当 时，当 时，满足有理项要求，故有 4 项，B 不符合题意；C 选项：令 中的 得：，所以 或 ，C 不符合题意；D 选项：展开式共有 7 项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第 4 项，所以展开式中二项式系数最大为第 4 项，D 符合题意故答案为：AD【分析】利用二项展开式的通项公式判断选项 A，B，令 x=1，可得展开式中各项系数之和，求解出 a 的值即可判断选项 C，再由展开式中共有 7 项，即可判断选项 D，由此即可得出答案。10【答案】C,D【解析】【解答】A：，故事件 与事件 不互斥，A 不符合题
11、意；B：，故事件 与事件 不对立，B 不符合题意；C：表示事件 M 与事件 N 同时发生的概率，此时向上的点数为 1，此时 ；C 符合题意D：表示事件向上的点数为 1，3，4，5 的概率，D 符合题意故答案为：CD【分析】事件 M 与事件能 N 同时发生，从而 M 与 N 不是互斥事件，也不是对立事件，由此即可判断出选项A、B，再利用古典概型的概率公式，代入数值计算出结果由此即可判断出 C、D，从而得出答案。11【答案】A,B,C【解析】【解答】如图，以 O 为原点，建立直角坐标系，则 ，所以 ，A 符合题意；其中 ，所以 ，B 符合题意；其中 ，所以 ，C 符合题意，D 不符合题意；故答案为
12、：ABC【分析】根据题意，以 O 为原点，建立直角坐标系，由此即可求出各个点以及向量的坐标，再由向量的数量积坐标公式，对选项逐一判断即可得出答案。12【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于 A：由 得 ，令 ，即 ，则 ，又 ，所以 ，则 在 上单调递减，所以 ，所以 ，A 符合题意；对于 B：因为 ，B不正确；对于 C：因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，C 符合题意；对于 D：因为 ，令 ，所以 与 异号，与 同号，又 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 是单调递增数列，是单调递减数列，所以 是单调递增数列，是单调递减数列，D 符合题意，故答案为：ACD.【分析】根据题意整理
13、化简数列的递推公式由此得到数列的通项公式，结合函数的单调性以及对数的运算性质即可求出，由此即可判断出选项 A 正确；由选项 A 的结论结合数列前 n 项和公式整理即可得出选项 B 错误；由已知条件结合不等式的性质即可判断出选项 C 正确；由单调性的定义即可得出数列的单调性，由数列的单调性结合已知条件即可判断出选项 D 正确，由此即可得出答案。13【答案】【解析】【解答】因为 ，所以 ，则所求切线的斜率为 ，所以所求切线方程为 ，即 .故答案为：.【分析】根据题意对函数求导，然后由二倍角的正、余弦公式整理化简导函数的解析式，再把数值代入导函数的解析式，由此计算出导函数的值即为切线的斜率值，结合点
14、斜式即可求出切线的方程。14【答案】4【解析】【解答】解：如图所示，连接 ，是 的内心，所以 分别是 和 的角平分线，由于经过点 与 的内切圆圆心 的直线交 轴于点 ，则 为 的角平分线，则 到直线 的距离相等，所以 ，同理可得 ，由比例关系性质可知 .又椭圆的离心率 .所以 ，所以 ，故 ，故答案为：4.【分析】由已知条件结合椭圆的几何性质即可得到 是 的内心，所以 分别是 和 的角平分线，由平分线的性质结合三角形内的面积公式整理即可得到边之间的关系，结合直线的比例关系即可求出，由已知条件即可得到，由此即可求出的值。15【答案】4042【解析】【解答】解：函数 为奇函数，关于 对称 关于 对
15、称 关于 对称 故答案为：4042.【分析】根据题意由奇函数的性质，即可得到函数 f(x)的图像关于对称，由此即可得到 关于 对称，由对称的性质整理化简原式，代入数值计算出结果即可。16【答案】2；【解析】【解答】因为 ，由勾股定理得：，因为 ，所以三角形 ABC 为等腰三角形 取 AC 的中点 O，则 OBAC，以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，垂直于平面 ABC 为z 轴建立空间直角坐标系，则 ，所以 ，则 ；当平面 平面 ABC 时，在yoz 平面上，则 ，设异面直线 AC 与 所成角为 ，则 异面直线 AC 与 所成角余弦值是 故答案为：2，【分析】首
16、先由折叠问题即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系，从而求出点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可；再由题意结合异面直线的定义求出异面直线所成角，然后由夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。17【答案】（1）解：当 时，；由已知得 ，于是 ，即 ，又 也满足上式，所以（2）解：由（1）知 ，而 当 n 为奇数时，当 n 为偶数时，.综上，【解析】【分析】(1)根据题意由特殊值代入法整理即可得到数列的通项公式，然后代入验证即可得出答案。(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再对 n 分情况讨论，结合裂项相消法即可得出答案。18【答案】（1）解：由题意知：，X 的所
17、有可能取值为：25000，34000，46000，设 A 表示事件“作物亩产量为 900kg”，则 ，B 表示事件“作物市场价格为 30 元/kg”，则 ，则 ，X 的分布列为：X250003400046000P0.20.50.3（2）解：设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 30000 元”，则 ，设这三年中有 Y 年有纯收入不少于 30000 元，则有 ，这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年纯收入不少于 3000 元的概率为：【解析】【分析】(1)根据题意求出 X 的取值，再由概率公式计算出对应每个 X 的概率值，由此即可得出 的分布列。(2)由(1)的结论结合概率的计算
18、公式即可求出的值，从而得到，再由二项分布的性质，代入数值计算出结果由此即可得出答案。19【答案】（1）证明：取 PA 的中点 F，连 EF，DF，E 为 PB 的中点，且 ，又 ，且 ，所以四边形 CDFE 为平行四边形，又 平面 PAD，平面 PAD，故直线 平面 PAD（2）解：以 A 为坐标原点，以 AD，AB，AP 所在射线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，则 ，.设 ，则 ，.E 在棱 PB 上，可设 .故 ，解得 ，即 ，易知平面 ACB 的法向量为 ，设平面 ACB 的法向量 ，即 ，即 .取 ，则 ，故 .因为二面角 的平面角的余弦值为 ，所以 ，即 ，即
19、，解得 .，.因为 z 轴平面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为 .设 AE 与平面 ABCD 所成角为 ，则 .AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线平行，由此得出 四边形 CDFE 为平行四边形，进而得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面 ACB 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面 ACB 的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可计算出，从而计算出向量的坐标，再由线面角与夹角之间
20、的关系，结合数量积的坐标公式计算出夹角的正弦值，由此即可得出答案。20【答案】（1）解：由 ，得：.由 ，得：，则 ，所以（2）解：在 AC 上取点 D，使得 ，于是 ，则 ，由 和正弦定理，知：，于是 ，所以 .由 知：，所以 ，所以 .【解析】【分析】(1)首先由同角三角函数的基本关系式结合已知条件代入计算出 sinA 的值，再把数值代入到三角形内的面积公式计算出边的大小，然后由余弦定理代入数值计算出边的大小。(2)首先由同角三角函数的基本关系式结合已知条件代入计算出的值，然后由两角和的正弦公式代入数值计算出的值，再由正弦定理计算出边的大小，然后由余弦定理代入数值计算出边的大小，结合三角形
21、的面积公式计算出结果即可。21【答案】（1）解：定义域为：，若 时，当 ，递增；，递减.若 时，则 ，当 ，递增；当 ，递减；当 ，递增.若 时，则 ，时 ，递增.若 时，当 ，递增；当 ，递减；当 ，递增.综上所述：若 时，为递增区间，为递减区间；若 时，为递增区间，为递减区间；若 时，为递增区间，无递减区间；若 时，为递增区间，为递减区间.（2）解：由 得 ，即 ，即 ，所以 ，令 ，问题等价为直线 与函数 的图像有两个交点.，令 ，显然 在 递增，即 时，递增；当 时，递减，故 极大，当 时，当 时，取 ，故符合题意的必要条件是：.又当 ，由 ，而 ，这说明，在两个交点的横坐标位于区间
22、和 内，所以 是充分的.故符合题意的必要条件是：.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，再对 a 分情况讨论，即可得到导函数的正负情况，由此即可得出函数 f(x)的单调性以及单调区间。(2)由已知条件整理化简即可得到，构造函数结合题意即可得到 直线 与函数 的图像有两个交点，对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值，再由 x 的取值范围结合充分和必要条件的定义，由数形结合法即可得出满足题意的 a 的取值范围。22【答案】（1）解：设 ，.由题意知，点 F 坐标为 ，直线 AB 方程为 ，联立 ，得 ，所以 ，则（2）解：设 ，其中 ，显然 ，由 知 ，
23、且 ，于是 ，即 ，同理 ，显然 ，则 .设 ，代入 得 ，则 .若 ，则 ，此时 ，于是 ，舍去.若 ，则 ，此时 ，即 ，.由 得 ，即 ，.由 ，得 ，由 知 ，.故【解析】【分析】（1）设 ，由题意知，点 F 坐标为 ，再利用直线的点斜式求出直线 AB 方程，再转化为直线的斜截式方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，从而利用弦长公式求出弦长 的长。（2）设 ，其中 ，显然 ，由 结合向量共线定理知 ，且 ，于是 ，即 ，再结合向量共线的坐标表示得出，同理 ，显然 ，从而求出点 D 的坐标，再利用斜截式设出直线 AB 的方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，再利用分类讨论的方法结合两点求斜率公式，再结合向量共线的坐标表示，从而求出直线的斜率，进而求出实数的值。
