1、 高三上学期理数期中联考试卷 高三上学期理数期中联考试卷一、单选题一、单选题1设集合 ，则 （）ABCD2已知 ，则下列命题中，正确的是（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 3已知等比数列 中，则 的公比为（）A-1B1C2D4下列区间一定包含函数 的零点的是（）ABCD5已知命题 ：，命题 ：，使得 ，则下列命题是真命题的为（）ABCD6已知函数 是奇函数且其图象在点 处的切线方程 ，设函数 ，则 的图象在点 处的切线方程为（）ABCD7如图所示，矩形 的对角线相交于点 ，点 在线段 上且 ，若 （，），则 （）ABC1D8设数列 和 的前 项和分别为 ，已知数列 的等差数列，
2、且 ，则 （）ABCD9已知函数 的部分图象大致如图所示，则不等式 的解集为（）A，B，C，D，10已知函数 ，则“在 上单调递增”是“在 上单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，则（）ABCD12已知正实数 ，满足 ，则当 与 同时取得最大值时，（）ABCD二、填空题二、填空题13若向量 ，的夹角为 ，则 14若 ，满足约束条件 ，则 的最小值为 15已知 ，则 16某项测试有 道必答题，甲和乙参加该测试，用数列 和 记录他们的成绩若第 题甲答对，则 ，若第 题甲答错，则 ；若第 题乙答对，则 ，若第 题
3、乙答错，则 已知 ，则 三、解答题三、解答题17已知函数 （1）求函数 的最小正周期；（2）设函数 ，求 在区间 上的值域 18设 是公比为负数的等比数列，为 ，的等差中项，（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 19已知 的内角 ，所对的边分别为 ，且 （1）求 ；（2）若 ，求 的面积 20如图所示是一个长方体容器，长方体的上、下底面为正方形，容器顶部是一个圆形的盖子，圆与上底面四条边都相切，该容器除了盖子以外的部分均用铁皮制作，共使用铁皮的面积为 假设圆形盖子的半径为 ，该容器的容积为 ，铁皮厚度忽略不计 （1）求 关于 的函数关系式；（2）该容器的高 为多少分米时，取
4、最大值？21已知数列 和 的各项均为正数，且 ，（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；（2）若 ，且 是等差数列，求 和 的通项公式 22已知函数 （1）若函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为-2，求 ；（2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求满足条件的示数 的最大整数值 答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】集合 ，故得到：.故答案为：C.【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集，确定出 A 与 B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集.2【答案】D【解析】【解答】解：对于 A，若 ，则 ，所以 A 项错误；对于 B，若 ，则不满足，所以 B 项错误；对于 C，
5、若 ，则满足 ，而此时 ，所以 C 项错误；对于 D，因为 ，所以 ，所以 D 项正确故答案为：D【分析】取特殊值判断 A、C，根据不等式的基本性质判断 B、D.3【答案】C【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，因为 ，可得 ，可得 ，解得 .故答案为：C.【分析】根据题意，设等比数列 的公比为，由等比数列的通项公式可得，解得 q 的值，即可得答案.4【答案】C【解析】【解答】解：因为 ，所以区间 一定包含 的零点故答案为：C.【分析】根据零点判定定理，即可求出答案。5【答案】B【解析】【解答】当 时，所以命题 为假命题，则 为真命题；当 时，所以命题 为真命题，则 为假命题，所以 为假命题
6、，为真命题，为假命题，为假命题.故答案为：B.【分析】根据题意求得命题为假命题，命题为真命题，结合复合命题的真假判定方法，即可得出答案。6【答案】A【解析】【解答】解：由已知得 ，因为 是奇函数，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 的图象在点 处的切线方程为 .故答案为：A【分析】先求出，再求出切点的坐标，即可得出答案。7【答案】A【解析】【解答】因为四边形 为矩形，所以 ，所以 ，因为 （，），所以 ，所以 故答案为：A【分析】以为基底表示出，求得的值，可得答案。8【答案】D【解析】【解答】解：由 ，得 ，设等差数列 的公差为 ，所以 得 解得 所以 则 ，所以 所以数列 的前 项和 ，数列 的
7、前 项和 ，则 故答案为：D【分析】设等差数列 的公差为，进而根据等差数列的通项公式计算得，故，再根据等差数列前 n 项和公式求解即可。9【答案】B【解析】【解答】解：设 的最小正周期为 ，由图象知 ，解得 ，所以 .当 时，令 ，得 ，令 ，得 .所以 ，则 得 .所以 ，所以 ，可得 ，.当 时，令 ，得 ，令 ，得 .则 得 .所以 ，所以 ，所以 ，可得 ，.综合得选 B.故答案为：B【分析】根据已知求出，再分两种情况讨论，求出，把转化为，解三角不等式，即可得出答案。10【答案】C【解析】【解答】解：若 在 上单调递增，则 ，所以当 时，所以 在 上单调递增，既充分性成立 若 在 上不
8、是单调递增，则 ，易知 有零点 和 ，有一正一负两个零点，且正零点不等于 ，于是 在 上有两个零点，所以 在 上不可能单调递增，所以必要性也成立综上所述：“在 上单调递增”是“在 上单调递增”的充要条件.故答案为：C【分析】根据二次函数的单调性进行充分条件与必要条件的判断，必要性判断的时候利用非 p 是非 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件。11【答案】A【解析】【解答】因为偶函数 满足 ，所以 ，即 的周期为 ，所以 ；，时，因为 ，所以 ；，因为 ，所以 综上可得 故答案为：A【分析】由函数的周期性、奇偶性结合已知条件求解即可得答案。12【答案】B【解析】【解答】由 ，可得 ，则
9、，当且仅当 时等号成立；又由 ，当 时，等号成立，所以当 与 同时取得最大值时，则有 ，解得 ，此时 .故答案为：B.【分析】将代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用 x，z表示 y 后利用配方法求得的最大值时求出 x，y 的值，进而得答案.13【答案】【解析】【解答】因为 ，所以 .故答案为：.【分析】由已知中向量 ，的夹角为，进而计算出，开方后即可得到 .14【答案】4【解析】【解答】，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由 得 ，由图可知，当直线 经过点 时，取得最小值4故答案为：4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解
10、，把最优解的坐标代入目标函数得答案。15【答案】【解析】【解答】因为 ，所以 ，由 可得 ，整理可得 ，故答案为：【分析】结合二倍角公式，同角三角函数的基本关系式求得 的值。16【答案】39【解析】【解答】令 ，则 ，上述两式作差得 ，可知对每道题，那么甲和乙都答对，要么甲和乙都答错，又 ，可知乙仅有第 题答错，从而甲也仅有第 题答错，所以 .故答案为：39.【分析】分析可知乙仅有第 题答错，从而甲也仅有第 题答错，再利用等差数列的求和公式可求得结果。17【答案】（1）解：，所以 的最小正周期为（2）解：由已知得 当 时，所以 ，所以 ，即 在区间 上的值域为【解析】【分析】（1）利用三角形恒
11、等变形式化简可得，利用周期公式即可求出函数 的最小正周期；（2）由已知得，再利用不等式的性质结合三角函数的图象逐步求出三角函数的值域即可。18【答案】（1）解：设 的公比为 ，因为 为 ，的等差中项，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，即 ，所以 或 （舍去）所以（2）解：由（1）得 ，所以数列 是以 为首项，为公比的等比数列，所以【解析】【分析】（1）设 的公比为 ，由 为 ，的等差中项，可得，求出公比 q，从而可得数列 的通项公式；（2）由（1）的结论求出，然后根据等比数列的前 n 项和公式即可求解。19【答案】（1）解：由题意得：由正弦定理得 ，即 又 ，（2）解：若 ，由正弦定理 ，得 ，
12、则 ，则 ，所以【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换、正弦定理求出，进而求出，即可求出 ；（2）利用三角恒等变换、正弦定理嗯以及三角形的面积公式即可求出 的面积20【答案】（1）解：设 由题意得 ，可得 ，所以 由 ，得 ，解得 因此 ，（2）解：，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时，取最大值，此时 ，即该容器的高 为 时，取最大值【解析】【分析】（1）由面积公式与体积公式结合题意即可求出 关于 的函数关系式；（2）利用导数法求最值即可。21【答案】（1）解：由题意得 ，即 ，所以 是以 为首项，为公比的等比数列，所以（2）解：因为 ，所以 （*）设 的
13、公差为 ，若 ，则当 时，有 ，与（*）矛盾；若 ，则当 时，有 ，与（*）矛盾于是 ，即 ，所以 又 ，所以 是以 为公差的等差数列若 ，则 ，所以 ，又由 可得 ，因此 中的项最多有两个值，与 矛盾，故 从而 综上，【解析】【分析】（1）分析得到 是以 为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列 的通项公式；（2）通过分析得到，即得 是以 为公差的等差数列，求出，再分析得到，即可得 和 的通项公式22【答案】（1）解：函数 的定义域为 ，则在点 处切线的斜率为 ，又 ，所以函数 的图象在点 处的切线方程为：，即 ，所以 ，因为其在 轴上的截距为 ，所以 ，解得（2）解：即 ，又 ，所以 ，可得 对于 恒成立，当 时，令 ，则 再令 ，则 ，所以 在 上单调递增；又 ，所以 使 ，即 ，使 ，当 时，；当 时，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，又因为 ，所以实数 的最大整数值是 4【解析】【分析】（1）求，利用导数的几何意求得在点 处切线方程，由在 轴上的截距为-2，列方程即可得 的值；（2）由所给的不等式分离 a 可得，令，利用导数判断 的单调性和最小值，由即可求解。
