1、 高三上学期数学期中考试试卷 高三上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1已知集合 ，则 （）ABCD2若非零向量 的夹角为 ，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若 ，则 （）ABCD4设 ，则 的大小关系为（）ABCD5若 M 为 的边 AB 上一点，且 则 （）ABCD6函数 在其定义域上的图象大致为（）ABCD7牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间 后的温度 T 将满足 ，其中 是环境温度，h 称为半衰期.现有一杯 85的热茶，放置在 25的房间中，如果热茶降温到 55，需要 10 分
2、钟，则欲降温到 45，大约需要多少分钟？（）（1g20.3010，1g30.4771）A12B14C16D188已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（）ABCD二、多选题二、多选题9若 ，则（）ABCD10已知 是定义在 R 上的奇函数，且满足 ，则下列说法正确的是（）AB 在区间 上单调递增CD 是满足条件的一个函数11函数 ，（是常数，）的部分图象如图所示，则（）ABC 的对称轴为 D 的递减区间为 12已知函数 ，则下列结论正确的有（）A 在区间 上单调递减B若 ，则 C 在区间 上的值域为 D若函数 ，且 ，在 上单调递减三、填空题三、填空题13设 为单位向量，且
3、 ，则 14函数 的定义域为 15已知函数 是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 ，若对任意的正实数，则不等式 的解集为 16如图，C、D 是两所学校所在地，C、D 到一条公路的垂直距离分别为 .为了缓解上下学的交通压力，决定在 AB 上找一点 P，分别向 C、D 修建两条互相垂直的公路 PC 和 PD，设 ，则当 最小时，.四、解答题四、解答题17在平面直角坐标系 中，已知向量 .（1）若 ，求 的值；（2）若 在 上的投影向量长度为 ，求 的值.18某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市
4、场调查，改造后旅游增加值 y 万元投入 万元之间满足：（a，b 为常数），当 万元时，万元；当 万元时，万元.（参考数据：）（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润 万元与投入 万元的函数解析式；（利润=旅游增加值投入）（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到 0.1）19在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：在 中，它的内角 A，B，C 的对边分别为 ，若 的外接圆半径为 2，且 ，_.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20古希腊数学家海伦著作测地术中记载了著名的海伦公式，利
5、用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为 ，则其面积 ，这里 ，已知在 中，.（1）设 ，试将三角形的面积 s 表示成 的函数；（2）求 s 的最大值，并求三角形面积最大时 的值.21已知函数 （）.（1）讨论函数 的单调性；（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.22已知函数 .（1）若对任意的实数 ，函数 的图象与直线 有且只有两个交点，求 的取值范围；（2）设 ，若函数 有两个极值点 ，且 ，证明：.答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】由 ，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而求出集合 A 和集合 B 的交集。2【答案】
6、A【解析】【解答】化为 ，所以 ，“”是“”的充分不必要条件，故答案为：A。【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“”是“”的充分不必要条件。3【答案】B【解析】【解答】换元 ，则 ，且 ，则 ，故答案为：B.【分析】利用换元法令，则 ，再代入 ，得出，再利用代入法结合诱导公式、二倍角的余弦公式，从而求出的值。4【答案】D【解析】【解答】，所以 ，故答案为：D.【分析】利用指数函数的单调性、对数函数的单调性和特殊值对应的指数和对数与 a,b,c 三者大小关系比较，从而比较出 a,b,c 三者大小。5【答案】A【解析】【解答】解：根据题意做出图形，如图，所以 ，所以 .故
7、答案为：A.【分析】利用已知条件结合向量共线定理、三角形法则和平面向量基本定理，从而求出。6【答案】B【解析】【解答】首先求定义域，解得 ，所以 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 C、D，当 或 时，排除 A，故答案为：B.【分析】利用对数型函数求定义域和分式函数求定义域的方法结合交集的运算法则，从而求出函数的定义域，再利用偶函数定义推出函数为偶函数，再利用偶函数图象的对称性结合当 或 时，从而用排除法找出函数在定义域上的大致图象。7【答案】C【解析】【解答】根据题意有：，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合 ，从而求出 h 的值，从而结合代入法和 h 的值代入，从而求出欲降温到 45，
8、大约需要的时间。8【答案】D【解析】【解答】函数 有两个不同的零点等价于方程 有两个不同的根，令 ，在 递增，在 递减，且令 ，令 ，则 ，当 ，在 递增，在 递减，且，所以直线 与 有两个交点，可得 的取值范围为：，故答案为：D.【分析】函数 有两个不同的零点等价于方程 有两个不同的根，令 ，再利用求导的方法判断函数 u(x)的单调性，再令 ，令 ，则 ，再利用求导的方法判断函数 v(x)的单调性，所以直线 与 有两个交点，从而可得实数 a 的取值范围。9【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，A 符合题意；，是实数集上的增函数，所以 ，B 符合题意；，所以 ，C 不符合题意；
9、因为 ，所以 ，欲证 ，只需证明 ，即证 显然成立，D 符合题意.故答案为：ABD【分析】利用已知条件结合不等式的性质和指数函数的单调性，从而选出正确的选项。10【答案】A,C,D【解析】【解答】因为 是定义在 R 上的奇函数，所以 ,又 ，所以 ，即 ，所以 ，A 符合题意；无法得出 在区间 上单调递增，B 不符合题意；因为函数的周期为 8，所以 ，C 符合题意；因为 ,则 ，D 符合题意；故答案为：ACD【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而利用周期函数的定义推出，推出 A 正确，再利用已知条件无法推出函数在区间 上单调递增，所以 B 错误，再利用函数的周期性推出 C 正确，再利用特殊
10、函数满足条件推出 D 正确，从而找出说法正确的选项。11【答案】A,B【解析】【解答】解：显然 ，设函数的周期为 ，则 ，所以 ，又 ；所以 过点 ，所以 ，所以 ，根据 ，AB 符合题意；正弦函数的对称轴为 ，令 ，所以 的对称轴为 ，C 不符合题意；正弦函数的递减区间为 ，令 ，的递减区间为 ，D 不符合题意.故答案为：AB【分析】利用函数的部分图像结合函数最大值求出 A，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出的值，再利用特殊值五点对应法求出的值，从而求出函数解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的图象的对称性和单调区间。12【答案】A,C,D【解
11、析】【解答】，当 时，由三角函数线可知 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，当 ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递减，选项 A 符合题意；当 时，所以 ，即 ，选项 B 不符合题意；由三角函数线可知 ，所以 ，所以当 时，选项 C 符合题意；对 进行求导可得：所以有 ，所以 ，所以 在区间 上的值域为 ，所以 ，在区间 上单调递增，因为 ，从而 ，所以函数 在 上单调递减，选项 D 符合题意.故答案为：ACD.【分析】利用求导的方法判断函数的单调性、利用三角函数线结合 ，再利用求导的方法求出函数的值域、从而求出正确的结论。13【答案】【解析】【解答
12、】由 ，平方可得：，解得：，故答案为：。【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的方法，从而利用单位向量的定义，进而求出向量的模。14【答案】(0,1【解析】【解答】，故答案为：(0,1。【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合对数函数求定义域的方法，再利用交集的运算法则，从而求出函数 的定义域。15【答案】【解析】【解答】当 时，且 为偶函数，在 单调递减，解得：，故答案为：。【分析】当 时，且 为偶函数，在 单调递减，再利用偶函数的性质和减函数的性质，从而结合已知条件求出不等式 的解集。16【答案】12【解析】【解答】由题意得：，当 时，当 得：，当 得：，当 时，取得最小值，故答案为：
13、12。【分析】利用已知条件结合诱导公式得出，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性，从而求出当 最小时对应的 AP 的长。17【答案】（1）解：因为 ，所以 ，故 ，.（2）解：因为 在 上的投影向量长度为 ，所以 ，所以 ，所以 或 或 或 ，解得 或 或 或 ，因为 ，所以 .【解析】【分析】（1）利用两向量垂直数量积为 0，结合已知条件和数量积的坐标表示，从而结合同角三角函数基本关系式，从而求出 的值。（2）因为 在 上的投影向量长度为 ，结合投影的求解方法，从而 ，进而利用特殊角对应的余弦值，从而求出 x 的值。18【答案】（1）解：由已知得：，化简得：，则该景点改造升级
14、后旅游增加利润为：；（2）解：由（1）得：则 ，令 得 ，当 时，单调递增；当 单调递减；时，取得最大值，且 ，当投入 25 万元时，旅游增加利润最大，最大利润为 11.9 万元.【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合利润=旅游增加值投入，从而求出该景点改造升级后旅游增加利润 万元与投入 万元的函数解析式。（2）由（1）得：，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用单调性求出函数 L（x）的最大值，从而求出当投入 25 万元时，旅游增加利润最大，最大利润为 11.9 万元。19【答案】解：若选：因为 ，所以 所以 ，因为 ，所以 .因为 的外接圆半径为 2，所以 ，所以 所以 ，又因
15、为 所以 .若选：因为 因为 ，所以 因为 ，所以 .因为 的外接圆半径为 2，所以 所以 所以 若选：因为 ，由余弦定理得 所以 ，因为 的外接圆半径为 2，所以 所以 ，所以 又因为 所以 .【解析】【分析】利用代入法将每个条件分别代入题中，再利用正弦定理的性质求三角形外接圆的半径的方法、再结合余弦定理，从而结合已知条件分别解答出答案。20【答案】（1）解：设 ，所以 （）；（2）解：由（1）得，当 即 时，s 取得最大值 12，此时 ，由余弦定理得：，所以 .【解析】【分析】（1）设 ，再利用三角形面积公式 ，这里 ，从而将三角形的面积 s 表示成 的函数。（2）由（1）得，再利用二次函
16、数求最值的方法结合余弦定理，从而求出角 A的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系式，从而求出 时三角形面积取得最大值为 12。21【答案】（1）解：，令 ，则 或 ，当 时，函数 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减，当 时，函数 在 上单调递增，当 时，函数 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减；（2）解：原不等式化为：在 上恒成立，设 ，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，则函数 在 上单调递增，且 ，.【解析】【分析】（1）利用求导的方法结合分类讨论的方法，从而讨论出函数的单调性。（2）关于 的不等式 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立，设 ，再利用求导的方法判断函数的
17、单调性，从而利用不等式恒成立问题的求解方法，从而求出实数 a 的取值范围。22【答案】（1）解：由已知得：函数 的图象与直线 有两个交点，即方程 有两个不相等的实数解.设 ，令 ，单调递减，单调递增，且 时，函数 的图象与直线 有且只有两交点.（2）解：，函数 有两个极值点 有两个不同的实数解 .由（1）知：且 ，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，且 ，设 ，则 ，在 上单调递减，又 恒成立，即 ，又 在 单调递减，要证：，只须证：即证：，设 ，令 ，则 ，所以 在 单调递增，所以 在 单调递增，故当 ，所以 ，亦即：.【解析】【分析】（1）由已知得：函数 的图象与直线 有两个交点，即方程 有两个不相等的实数解，设 利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用函数求极限的方法，从而求出实数 a 的取值范围。(2)设 ，再利用函数 .，求出函数 g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用已知条件函数 有两个极值点 ，且，从而结合不等式恒成立问题的求解方法和分析法证出 。
