1、 高三上学期期中数学试题 高三上学期期中数学试题一、单选题一、单选题1已知集合 ，则 （）ABCD2我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点 ，中“和谐点”的个数为（）A1B2C3D43已知 ，则 （）ABCD4函数 的图象大致为（）ABCD5为庆祝中国共产党成立 100 周年，某学校组织“红心向党”歌咏比赛，前三名被甲、乙、丙获得下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是（）A甲、乙、丙B乙、丙、甲C丙、甲、乙D乙、甲、丙6若函数 在 上无极值，则实数 的取值范围（）ABCD7已知 ，则
2、的最小值为（）AB12CD168“迪拜世博会”于 2021 年 10 月 1 日至 2022 年 3 月 31 日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为 ，外层底面直径为 ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为 的球面上.此模型的体积为（）ABCD二、多选题二、多选题9某位同学 10 次考试的物理成绩 与数学成绩 如下表所示：数学成绩 76827287937889668176物理成绩 8087751007993688577参数数据：已知 与 线性相关，且 关于 的回归
3、直线方程为 ，则下列说法正确的是（）AB 与 正相关C 与 的相关系数为负数D若数学成绩每提高 5 分，则物理成绩估计能提高 5.5 分10下列四个函数中，以 为周期且在 上单调递增的偶函数有（）ABCD11已知正方体 的棱长为 1，下列结论正确的有（）A异面直线 与 所成角的大小为 B若 是直线 上的动点，则 平面 C与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是 D若此正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截正方体所得截面面积的最大值是 12下列结论正确的有（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，均为正整数，则 三、填空题三、填空题13已知 ，且 ，则 的方差为 14
4、为迎接 2022 年北京冬奥会，将 4 名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰 2 个项目进行培训，每名志愿者分配到 1 个项目，每个项目至少分配到 1 名志愿者，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）15若函数 ，则 16学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满足以下三个条件：可将八个半径为 的乒乓球分两层放置在里面；每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；每个乒乓球与该容器的底面（或上盖）及侧面都相切，则该容器的高为 四、解答题四、解答题17已知函数 （为常数，）是 上的奇函数 （1）求实数 的值；（2）若函数 在区间 上的值域为 ，求 的值 18已知命题 ：“，关于 的方程 有两个不相等的负实根”是假
5、命题 （1）求实数 的取值集合 ；（2）在（1）的条件下，设不等式 的解集为 ，其中 若 是 的充分条件，求实数 的取值范围 19在；的面积 ；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题 问题：在 中，它的内角 ，所对的边分别为 ，为锐角，_（1）求 的最小值；（2）若 为 上一点，且满足 ，判断 的形状 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20如图，在三棱柱 中，点 在底面 内的射影恰好是点 ，是 的中点，且满足 （1）求证：平面 ；（2）已知 ，直线 与底面 所成角的大小为 ，求二面角 的大小 212021 年 7 月 18 日第 届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆
6、重举行为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了 50 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 40至 100 之间，将数据按照 ，分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数；（2）在这 50 名学生中用分层抽样的方法从成绩在，的三组中抽取了11 人，再从这 11 人中随机抽取 3 人，记 的分布列和数学期望；（3）转化为百分制后，规定成绩在 的为 A 等级，成绩在 的为 等级，其它为 等级以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取 100 人，其中获得 等级的人数设为 ，记
7、 等级的人数为 的概率为 ，写出 的表达式，并求出当 为何值时，最大？22已知 ，函数 ，（1）讨论 的单调性；（2）过原点分别作曲线 和 的切线 和 ，求证：存在 ，使得切线 和 的斜率互为倒数；（3）若函数 的图象与 轴交于两点 ，且 设 ，其中常数 、满足条件 ，试判断函数 在点 处的切线斜率的正负，并说明理由 答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】因为 ，且 ，所以 。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出集合 B，再利用交集的运算法则，进而求出集合 A和集合 B 的交集。2【答案】A【解析】【解答】设对数函数 ，指数函数 ，且 ，对于点 ：，所
8、以点 M 不在对数函数图象上，故点 M 不是“和谐点”；对于点 ：，解得 a=2，即点 N 在对数函数 上，又 ，解得 b=1，不符合题意，即点 N 不在指数函数图象上，故点 N 不是“和谐点”；对于点 ：，解得 ，即点 P 在对数函数图象 上，又 ，解得 ，即点 P 在指数函数图象 上，故点 P 为“和谐点”；对于点 ：，无解，故点 Q 不在指数函数图象上，故点 Q 不是“和谐点”；所以四个点中，“和谐点”个数为 1。故答案为：A【分析】利用同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，再结合点与指数函数的图象和对数函数的图象的位置关系，进而找出四个点 ，中“和谐点”的个数。
9、3【答案】B【解析】【解答】由二倍角的降幂公式可得 。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式和二倍角的正弦公式，进而求出的值。4【答案】A【解析】【解答】因为 定义域为 ，且 ，即 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 B、D；又因为 ，所以 ，故排除 C；故答案为：A【分析】利用奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用奇函数的图象的对称性结合特殊点法，再由排除法找出函数 的大致图象。5【答案】B【解析】【解答】若甲为第一名为正确的，则乙不是第一名也正确，不符合题意；若乙不是第一名为正确的，则甲为第一名为错误的，所以丙为第一名，此时丙不是第三名也是正确的，不符合题意，若丙
10、不是第三名为正确的，则甲为第一名为错误的，乙不是第一名为错误的，所以乙为第一名，丙为第二名，甲为第三名，符合题意。故答案为：B【分析】利用已知条件结合演绎推理的方法，从而推得获得第一、二、三名的依次的选项。6【答案】D【解析】【解答】由 可得 ，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数 在 上无极值，则 恒成立，所以 ，解得：，所以实数 的取值范围为 ，故答案为：D.【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的开口方向和，再利用函数 在 上无极值，则 恒成立，再结合判别式法求出实数 的取值范围。7【答案】C【解析】【解答】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立故答案为：C【分析】利用已知条件结合均
11、值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值。8【答案】C【解析】【解答】如图，该模型内层圆柱底面直径为 ，且其底面圆周在一个直径为 的球面上，可知内层圆柱的高，同理，该模型外层圆柱底面直径为 ，且其底面圆周在一个直径为 的球面上，可知外层圆柱的高，此模型的体积为。故答案为：C【分析】利用该模型内层圆柱底面直径为 ，且其底面圆周在一个直径为 的球面上，再利用弦长公式可知内层圆柱的高，同理，该模型外层圆柱底面直径为 ，且其底面圆周在一个直径为 的球面上，利用弦长公式可知外层圆柱的高，再结合圆柱的体积公式结合组合体求体积公式，进而求出此模型的体积。9【答案】A,B,D【解析】【解答】根据题意，由 关于
12、 的回归直线方程为 ，易知 与 正相关且 与 的相关系数为正数，B 符合题意，C 不符合题意；若数学成绩每提高 分，代入回归直线方程易得物理成绩估计能提高 分，D 符合题意；对于 A，因 ，所以 ，解得 ，A 符合题意.故答案为：ABD.【分析】根据题意，由 关于 的回归直线方程为 ，易知 与 正相关且 与 的相关系数为正数，再利用线性回归方程结合代入法，从而求出若数学成绩每提高 5 分，则物理成绩估计能提高 5.5 分，再利用已知条件结合表中的数据和平均数公式，再结合代入法和线性回归方程，进而求出 a 的值，从而找出说法正确的选项。10【答案】B,D【解析】【解答】对于 A，因为 在 上单调
13、递减，所以 上单调递减，A 不符合题意；对于 B，结合 的图象性质，易知 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，B 符合题意；对于 C，结合 的图象性质，易知 没有 周期性，C 不符合题意；对于 D，令 ，易知 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，因 也是单调递增的，所以 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，D 符合题意.故答案为：BD.【分析】利用已知条件结合周期函数的定义、偶函数定义和增函数的定义，从而找出满足要求的函数。11【答案】B,C【解析】【解答】A.如图所示：，则 平面 ，所以 ，所以异面直线 与 所成角的大小为 ，故错误；B.如图所示：，因为 ，平面 ，平面 ，所以 平面
14、，同理 平面 ，因为 ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，故正确；C.如图所示：，平面 为一个与正方体的每个面都有公共点，且截面面积最小的面，其面积为：，故正确；D.如图所示：，若此正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，只需平面 与过同一顶点的三条棱所成的角相等，设 ，则平面 PQR 与正方体过顶点 A 的三条棱所成角相等，若点 E，F，G，H，M，N 分别为相应棱的中点，可得平面 EFGHMN 平面 PQR，且六边形 EFGHMN 为正六边形，正方体的棱长为 1，则正六边形的边长为 ，此时正六边形的面积为 ，为截面的最大面积，故错误；故答案为：BC【分析】利用已知条件结合
15、正方体的结构特征，再利用异面直线所成的角的求解方法，从而求出异面直线 与 所成角的大小，再利用线面平行的判定定理结合已知条件，从而推出 平面 ，利用已知条结合平面 为一个与正方体的每个面都有公共点，再利用正方体的结构特征和几何法，得出截面面积为最小的面，再结合三角型的面积公式得出与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值，若此正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，只需平面 与过同一顶点的三条棱所成的角相等，设 ，则平面 PQR 与正方体过顶点 A 的三条棱所成角相等，若点 E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点，可得平面 EFGHMN 平面 PQR，且六边形 EFGHMN 为正六
16、边形，再利用正六边形的面积公式，从而求出此时正六边形的面积，且为截面的最大面积，进而找出结论正确的选项。12【答案】A,C,D【解析】【解答】A 因为函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ，而函数 在 上单调递减，故 ，即 ，且函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，因此 ，即 ，A 符合题意；B 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，因此 ，所以 ，从而 ，B 不符合题意；C 因为 ，所以有 ，由 得 ，由 得 ，即 ，因此 ，C 符合题意；D 因为 ，所以 ，故 因为 ，均为正整数，所以 是完全平方数，是可以开 4 次方的整数；又有 ，所以 ，则 ，因此 ，D 符合题意.故答案为：ACD.【
17、分析】利用已知条件结合函数的单调性、指数与对数的互化公式、换底公式根式与分式指数幂的互化公式，从而找出结论正确的选项。13【答案】18【解析】【解答】因为 ，所以 ，且 则 ，因此 的方差为 18。故答案为：18。【分析】利用已知条件结合二项分布求方差公式和方差的性质，从而求出随机变量 Y 的方差。14【答案】14【解析】【解答】先将 4 名志愿者分成 2 组，分别是每组 2 个人或者一组 3 人，一组 1 人，若每组 2 个人，分别分配给 2 个项目，则有 种分法；若一组 3 人，一组 1 人，分别分配给 2 个项目，则有 种分法；因此不同的分配方案共 14 种。故答案为：14。【分析】利用
18、已知条件结合组合数公式和分类加法计数原理，从而求出不同的分配方案种数。15【答案】【解析】【解答】因为 时，所以 ，即 ，故 ，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合代入法和函数的周期，进而求出函数值。16【答案】【解析】【解答】如图：设 、是下层四个球的球心，、是上层四个球的球心，每个球的球心与其相切球的球心距离等于 ，正方形 在平面 上的射影是一个正方形，相当于把正方形 绕其中心旋转 所得，设点 的射影为点 ，则 ，所以 ，所以 ，所以容器的高为 。故答案为：。【分析】设 、是下层四个球的球心，、是上层四个球的球心，每个球的球心与其相切球的球心距离等于 ，再利用正方形 在平面 上的射影是一
19、个正方形，相当于把正方形 绕其中心旋转 所得，设点 的射影为点 ，再结合射影的求解方法，进而求出 MN，EM 的长，再利用勾股定理求出 EN 的长，进而求出容器的高。17【答案】（1）解：由 是奇函数得 ，此时 是奇函数；（2）解：由复合函数的性质得 在定义域内是增函数，所以 ，或 （舍去），所以 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义，从而求出实数 k 的值。（2）利用已知条件结合增函数的定义，从而判断出函数为增函数，再利用增函数的性质，从而求出函数的值域，再结合已知条件函数 在区间 上的值域为 ，进而求出 m，n 的值，从而求出 的值。18【答案】（1）解：根据题意，若 ，关于
20、 的方程 有两个不相等的负实根，则 ，解得 ，故 .（2）解：由 且 ，得当 时，当 时，.因 是 的充分条件，所以 ，解得 或 .【解析】【分析】（1）利用已知条件结合全称命题的真假性判断方法，从而结合韦达定理和判别式法，进而求出实数 m 的取值集合 M。（2）利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而求出实数 a 的取值范围。19【答案】（1）解：选，由正弦定理得 ，又 是三角形内角，所以 ，而 为锐角，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 选，所以 ，是锐角，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 选，由余弦定理 ，是锐角，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 （2）解：设 ，则 ，中，中，所以
21、，从而 ，是直角三角形【解析】【分析】（1）选，结合正弦定理和三角形中角 B 的取值范围，进而求出角 A 的正弦值，再利用角 A 为锐角，从而求出角 A 的值，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法，从而求出实数 a 的最小值。选，利用已知条件结合三角形的面积公式，从而求 角 A 的正弦值，再利用角 A 为锐角，从而求出角 A 的值，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法，从而求出实数 a 的最小值。选，利用 结合余弦定理得出角 A 的余弦值，再利用角 A 为锐角，从而求出角 A 的值，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法，从而求出实数 a 的最小值。（2）设 ，则 ，在 中结合正弦定
22、理得出 ，在 中结合正弦定理和两角差的正弦公式，得出 ，再利用辅助角公式得出，再利用 ，从而求出角 C 的值，再利用已知条件结合三角形内角和为 180 度的性质，进而求出角 B 的值，从而结合直角三角形的定义，进而判断出三角形 的形状。20【答案】（1）证明：因为点 在底面 内的射影恰好是点 ，所以 面 .因为 面 ，所以 .因为 是 的中点，且满足 所以 ，所以 .因为 ，所以 ，即 ，所以 .因为 ，面 ，面 ，所以 平面 .（2）解：面 ，直线 与底面 所成角为 ，即 .因为 ，所以 由（1）知，因为 ，所以 ，.如图示，以 C 为原点，为 x、y、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则 ，
23、所以 ，设 ，由 得，即 .则 .设平面 BDC1的一个法向量为 ，则，不妨令 ，则 .因为 面 ，所以面 的一个法向量为 记二面角 的平面角为 ，由图知，为锐角.所以 ，即 .所以二面角 的大小为 .【解析】【分析】（1）利用点 在底面 内的射影恰好是点 ，所以 面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用 是 的中点，且满足 ，所以 ，所以 ，再利用 ，所以 ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。（2）利用 面 ，得出直线 与底面 所成角为 ，从而求出的值，再利用 结合正切函数的定义得出 的长，由（1）知，利用 ，所以 ，以 C 为原点，为 x、y、z 轴正方向
24、建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的大小。21【答案】（1）解：由题意得：，解得 ，因为 ，所以中位数在 内，设中位数为 x，则 ，解得 ，所以这 50 名学生成绩的中位数为 68.（2）解：，三组数据频率比为 ，所以从 ，三组中分别抽取 7 人，3 人，1 人，则 可取 0，1，2，3，则 的分布列0123P期望（3）解：B 等级的概率为 ，则 B 等级有 40 人，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，所以当 k=40 时，有最大值.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组矩形的面积等于各小组的
25、频率，再结合频率之和等于 1，从而求出 m 的值，再利用频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出这 50 名学生成绩的中位数。（2）利用已知条件结合分层抽样的方法，从而求出从 ，三组中分别抽取 7人，3 人，1 人，进而求出随机变量 可取的值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望。（3）利用频率分布直方图中各小组矩形的面积等于各小组的频率，从而求出 B 等级的概率，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而求出 B 等级的人数，再利用二项分布求概率公式，得出 ，所以 ，再结合组合数公式得出实数 k 的取值
26、范围，进而求出当 k=40 时，有最大值。22【答案】（1）解：的定义域是 ，时，恒成立，在 递增，时，时，时，的增区间是 ，减区间是 （2）解：，设 的切线方程是 ，则 ，显然 ，切点为 ，于是 ，解得 ，所以 的斜率为 ，于是 的斜率为 设 的切点坐标为 ，由 ，又 ，所以 ，整理得 ，设 ，当 时，递增，而 ，所以 ，时，递减，又 ，所以存在 ，使得 ，因此关于 的方程 有正数解所以存在 ，使得切线 和 的斜率互为倒数；（3）解：，因为函数 的图象与 轴交于两 2 点 ，且 所以 ，两式相减得：，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，下面考虑 即 的符号，令 ，设 ，因为 ，所以 ，所以 在 上
27、恒成立，所以 在 上是增函数，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ，即 ，所以函数 在点 处的切线斜率为正【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法，进而求出函数的定义域，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。（2）利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两切线的斜率互为倒数，进而求出两切线的斜率，设 的切点坐标为 ，再利用导数的几何意义，由 ，得出 ，再利用 ，整理得 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，所以存在 ，使得 ，因此关于 的方程 有正数解，所以存在 ，使得切线 和 的斜率互为倒数。（3）利用导数的运算法则得出函数的导函数，再利用函数 的图象与 轴交于两点 ，且 列出 ，两式相减得出 ，所以结合代入法得出，再利用 得出 ，令 ，得出 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，所以，再利用，所以 ，所以函数 在点 处的切线斜率为正。
